Ermittlung von Grenzwerten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Di 14.03.2006 | | Autor: | krispel |
| Aufgabe | Existieren die folgenden Grenzwerte lim x->0 lim y->0 f(x, y), limy->0 limx->0 f(x, y) bzw. lim(x,y)->(0,0) f(x, y) für folgende Funktionen?
(a)
f(x, y) = [mm] (sin^2 [/mm] (x) ) / [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)
[/mm]
(b) f(x, y) = (xy) / [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] |
Wie geht man bei diesem beispiel vor?
Was ist mit diesen Grenzwerten gemeint? Wo genau liegt der Unterschied zwischen den Einzelnen?
lg Tony
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und guten Morgen,
wenn Du Funktionen [mm] f\colon \IR\times \IR\to\IR [/mm] betrachtest, so lauten die Konvergenz-Definitionen wie folgt:
[mm] \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} f(x,y)\:\: =\:\: [/mm] g
bedeutet per def., dass fuer eine Umgebung [mm] -\delta \leq x\leq \delta [/mm] um den x-Wert 0 herum der Grenzwert
[mm] \lim_{y\to 0}f(x,y) =g_x [/mm] existiert und ausserdem [mm] \lim_{x\to 0,-\delta\leq x\leq \delta} g_x=g [/mm] gilt.
Dabei gilt allgemein fuer die Konvergenz von Funktionen [mm] g\colon\IR\to\IR [/mm] (zB die Funktion [mm] g(x):=fg_x [/mm] in diesem Fall),
dass [mm] \lim_{x\to x_0}g(x)=L [/mm] bedeutet, dass fuer jede gegen [mm] x_0 [/mm] konvergente Folge reeller Zahlen [mm] x_n,n\in \IN [/mm] die Folge [mm] (g(x_n)) [/mm] gegen L konvergiert.
Daraus wird auch sofort klar, was der Unterschied zw. [mm] \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} [/mm] und [mm] \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0} [/mm] sein kann.
Mit [mm] \lim_{(x,y)\to (0,0}f(x,y) [/mm] = Z wäre gemeinty, dass fuer jede Folge [mm] (x_n,y_n) [/mm] von Punkten [mm] in\IR^2 [/mm] mit
[mm] \lim_{n\to\infty} \parallel (x_n,y_n)- (0,0)\parallel [/mm] ( zB bezuegl. Euklidischer Norm) die Folge [mm] (f(x_n,y_n)) [/mm] gegen Z konvergiert.
Zu Deinem ersten Beispiel [mm] f(x,y)=\frac{\sin^2(x)}{x^2+y^2}.
[/mm]
Es ist fuer alle [mm] y\neq [/mm] 0 [mm] \lim_{x\to 0}f(x,y)=0.
[/mm]
Damit ist auch [mm] \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y)=\lim_{y\to 0}\: (\lim_{x\to 0}f(x,y)\: )=\lim_{y\to 0} [/mm] 0 =0
Weiterhin gilt allgemein die Regel von l'Hospital, die man hier anwenden kann.
danach ist fuer jedes feste y
[mm] \lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x)}{x^2+y^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin (x)\cdot \cos (x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\cos^2 (x) -2\sin^2(x)}{2}=1.
[/mm]
Da man nun gegen (0,0) konvergente Folgen zum einen mit [mm] x=0,y\to 0,y\neq [/mm] 0 und zum anderen mit [mm] x\to 0,x\neq [/mm] 0,y=0
im Defbereich von f nehmen kann und fuer beide Faelle laut meiner Rechnung was verschiedenes sich ergaebe, waere demnach,
wenn ich richtig gerechnet habe, der Grenzwert
[mm] \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y) [/mm] nicht existent.
Gruss,
Mathias
|
|
|
|
