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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Erste Bsp Differentialgl
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Erste Bsp Differentialgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:34 Mi 02.03.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Finden Sie die vollständige Lösung für die Differentialgleichung
1) f'(t) + a f(t)=0
2) f'(t)+ a f(t)=b mit a,b [mm] \in \mathbb{R} [/mm]
Versuchen Sie [mm] f(t)=e^{\lambda t} [/mm] und/oder f(t)=pt+q

Hallo,
Wir setzen bei den Bsp keine Vorkenntnisse in Gewöhnliche Differentialgleichungen vorraus.

1) Sei F(t):= f(x) [mm] e^{at} [/mm]
F'(t)= f'(t) [mm] e^{at} [/mm] + f(t) a [mm] e^{at} [/mm] = [mm] e^{at} [/mm] (f'(t) + f(t) [mm] a)=e^{at}*0=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] F(t)= constant
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] c [mm] \in \mathbb{R}: [/mm] f(t) [mm] e^{at}=c \Rightarrow f(t)=c*e^{-at} \forall [/mm] t [mm] \in \mathbb{R} [/mm]

2) Hab ich noch nicht gelöst. f(t)=b/a ist eine Lösung
[mm] \phi(t)=c e^{-at} [/mm] ist die allgemeine Lösung für b=0
Setze f(t)= [mm] \phi(t) [/mm] * u(t) so ist [mm] f'(t)=\phi'(t)* [/mm] u(t) + [mm] \phi(t) [/mm] u'(t).
Da [mm] \phi'(t)=- [/mm] a [mm] \phi(t) [/mm] ist formt sich das um auf: b-a*f(t) = u'(t) [mm] \phi(t) [/mm] + u(t) *a * [mm] \phi(t). [/mm]

LG,
sissi

        
Bezug
Erste Bsp Differentialgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:14 Mi 02.03.2016
Autor: fred97



> Finden Sie die vollständige Lösung für die
> Differentialgleichung
>  1) f'(t) + a f(t)=0
>  2) f'(t)+ a f(t)=b mit a,b [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
>  Versuchen Sie
> [mm]f(t)=e^{\lambda t}[/mm] und/oder f(t)=pt+q
>  Hallo,
>  Wir setzen bei den Bsp keine Vorkenntnisse in Gewöhnliche
> Differentialgleichungen vorraus.
>  
> 1) Sei F(t):= f(x) [mm]e^{at}[/mm]

Hier setzt Du wohl voraus, dass f eine Lösung der DGL ist.


>  F'(t)= f'(t) [mm]e^{at}[/mm] + f(t) a [mm]e^{at}[/mm] = [mm]e^{at}[/mm] (f'(t) + f(t)
> [mm]a)=e^{at}*0=0[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] F(t)= constant
>  [mm]\Rightarrow \exists[/mm] c [mm]\in \mathbb{R}:[/mm] f(t) [mm]e^{at}=c \Rightarrow f(t)=c*e^{-at} \forall[/mm]
> t [mm]\in \mathbb{R}[/mm]

Hiermit ist gezeigt: ist f eine Lösung der DGL, so gibt es ein c [mm] \in \IR [/mm] mit:

    [mm] f(t)=c*e^{-at} \forall [/mm] t [mm] \in \IR. [/mm]


>  
> 2) Hab ich noch nicht gelöst. f(t)=b/a ist eine Lösung
>  [mm]\phi(t)=c e^{-at}[/mm] ist die allgemeine Lösung für b=0
>  Setze f(t)= [mm]\phi(t)[/mm] * u(t) so ist [mm]f'(t)=\phi'(t)*[/mm] u(t) +
> [mm]\phi(t)[/mm] u'(t).
>  Da [mm]\phi'(t)=-[/mm] a [mm]\phi(t)[/mm] ist formt sich das um auf:
> b-a*f(t) = u'(t) [mm]\phi(t)[/mm] + u(t) *a * [mm]\phi(t).[/mm]

Das stimmt nicht. Richtig ist:

b-a*f(t) = u'(t) [mm]\phi(t)[/mm] - u(t) *a * [mm]\phi(t).[/mm]

FRED

>  
> LG,
>  sissi


Bezug
                
Bezug
Erste Bsp Differentialgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:36 Mi 02.03.2016
Autor: sissile

Na klar ;) War wohl schon zu spät!

Daraus erhalte ich b= u'(t) [mm] \phi(t). [/mm]
[mm] \iff [/mm] b= u'(t) c [mm] e^{-at} [/mm]
[mm] \Rightarrow \int \frac{b}{c} e^{at} [/mm] = [mm] \int [/mm] u'(t) dt
[mm] \Rightarrow \frac{b}{c} \frac{e^{at}}{a}= [/mm] u(t) + const
[mm] \Rightarrow [/mm] u(t)= [mm] \frac{b}{c} \frac{e^{at}}{a} [/mm] + [mm] C_1 [/mm] mit [mm] C_1 \in \mathbb{R} [/mm]

Daraus erhalte ich f(x)=c [mm] e^{-at} C_1 [/mm] + [mm] \frac{b}{a}= C_2 e^{-at} [/mm] + [mm] \frac{b}{a} [/mm] mit [mm] C_2 \in \mathbb{R} [/mm]

Okay?
LG,
Sissi


Bezug
                        
Bezug
Erste Bsp Differentialgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:53 Mi 02.03.2016
Autor: fred97


> Na klar ;) War wohl schon zu spät!
>  
> Daraus erhalte ich b= u'(t) [mm]\phi(t).[/mm]
>  [mm]\iff[/mm] b= u'(t) c [mm]e^{-at}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \int \frac{b}{c} e^{at}[/mm] = [mm]\int[/mm] u'(t) dt
>  [mm]\Rightarrow \frac{b}{c} \frac{e^{at}}{a}=[/mm] u(t) + const
>  [mm]\Rightarrow[/mm] u(t)= [mm]\frac{b}{c} \frac{e^{at}}{a}[/mm] + [mm]C_1[/mm] mit
> [mm]C_1 \in \mathbb{R}[/mm]
>  
> Daraus erhalte ich f(x)=c [mm]e^{-at} C_1[/mm] + [mm]\frac{b}{a}= C_2 e^{-at}[/mm]
> + [mm]\frac{b}{a}[/mm] mit [mm]C_2 \in \mathbb{R}[/mm]
>  
> Okay?

Ja

FRED

>  LG,
>  Sissi
>  


Bezug
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