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Erw. Länge von proj. Vektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:36 Mo 16.10.2017
Autor: Teufel

Aufgabe
Sei [mm] $R\in\IR^{n\times k}$ [/mm] eine zufällige Matrix, in der die $k$ Spalten eine orthonormale Basis bilden. Zeige: [mm] $\forall u\in\IR^n\colon\mathbb{E}(\|\sqrt{\frac{n}{k}}R^Tu\|^2)=\|u\|^2$ [/mm]

Hallo, Leute!

Es geht darum zu zeigen, dass ein in einen zufälligen Unterraum projizierter und dann skalierter Vektor die Länge beibehält. Meine Gedanken dazu:  Der Fall $k=n$ ist einfach, da man [mm] $R^TR=I_n$ [/mm] ausnutzen kann. Hier gilt die Aussage sogar ohne den Erwartungswert.

Da ich jetzt nicht weiter weiß, wollte ich erst mal den Spezialfall [mm] $u=e_1=(1,0,0,\ldots,0)$ [/mm] betrachten. Natürlich gilt dann [mm] $\|e_1\|^2=1$, [/mm] aber mir gelingt es nicht zu zeigen, warum [mm] $\mathbb{E}(\|\sqrt{\frac{n}{k}}R^Te_1\|^2)=1 \gdw \mathbb{E}(\|R^Te_1\|^2)=\frac{k}{n}$ [/mm] sein soll, obwohl es doch eigentlich nicht so schwierig sein sollte.

Weiß jemand Rat? Vielen Dank!

        
Bezug
Erw. Länge von proj. Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 Mo 16.10.2017
Autor: donquijote


> Sei [mm]R\in\IR^{n\times k}[/mm] eine zufällige Matrix, in der die
> [mm]k[/mm] Spalten eine orthonormale Basis bilden. Zeige: [mm]\forall u\in\IR^n\colon\mathbb{E}(\|\sqrt{\frac{n}{k}}R^Tu\|^2)=\|u\|^2[/mm]
>  
> Hallo, Leute!
>  
> Es geht darum zu zeigen, dass ein in einen zufälligen
> Unterraum projizierter und dann skalierter Vektor die
> Länge beibehält. Meine Gedanken dazu:  Der Fall [mm]k=n[/mm] ist
> einfach, da man [mm]R^TR=I_n[/mm] ausnutzen kann. Hier gilt die
> Aussage sogar ohne den Erwartungswert.
>  
> Da ich jetzt nicht weiter weiß, wollte ich erst mal den
> Spezialfall [mm]u=e_1=(1,0,0,\ldots,0)[/mm] betrachten. Natürlich
> gilt dann [mm]\|e_1\|^2=1[/mm], aber mir gelingt es nicht zu zeigen,
> warum [mm]\mathbb{E}(\|\sqrt{\frac{n}{k}}R^Te_1\|^2)=1 \gdw \mathbb{E}(\|R^Te_1\|^2)=\frac{k}{n}[/mm]
> sein soll, obwohl es doch eigentlich nicht so schwierig
> sein sollte.

Hallo,
so einfach finde ich die Sache nicht. Erstmal musst du zufällige Matrix spezifizieren, d.h. sagen, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung du betrachtest. Ich würde es wie folgt versuchen:
Sei oBdA [mm]\|u\|=1[/mm]. Ergänze die Spalten von R zu einer Orthonormalbasis des [mm]\mathbb{R}^n[/mm] und erhalte so die quadratische Matrix [mm]\hat{R}[/mm].
[mm]v=\hat{R}^Tu[/mm] ist dann ein zufälliger Einheitsvektor, dessen erste Komponenten [mm]v_1,...,v_k[/mm] den Vektor [mm]R^Tu[/mm] bilden. Es ist [mm]1=E\|v\|^2=\sum_{j=1}^nEv_j^2[/mm]. Unter vernünfigten Annahmen an die Verteilung (Symmetrie bezüglich der Komponenten) folgt dann [mm]Ev_j^2=\frac 1n[/mm] für alle j und daraus das Gewünschte.

>  
> Weiß jemand Rat? Vielen Dank!


Bezug
                
Bezug
Erw. Länge von proj. Vektor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:00 Mo 16.10.2017
Autor: Teufel

Hi!

Sorry, $R$ soll uniform zufällig gewählt sein. Deine Lösung sieht gut aus! Die Frage ist halt nur noch, wie die Komponenten verteilt sind. Aber das hilft schon mal sehr, vielen Dank!

Bezug
        
Bezug
Erw. Länge von proj. Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Mo 16.10.2017
Autor: HJKweseleit

Ich versuche mal eine geometrisch-anschauliche Argumentation:

Wir sind im [mm] \IR^n [/mm] mit der Standardbasis und haben einen beliebigen Vektor u aus [mm] \IR^n. [/mm] Das Produkt eines Basisvektors [mm] e_s [/mm] mit u gibt die s-te Komponente von u, quadriert  man alle solchen Produkte und summiert sie auf, gibt das gerade [mm] ||u||^2. [/mm] Wegen der Zufälligkeit von u folgt mit der Tatsache, dass keine Komponente gegenüber einer anderen bevorzugt ist, dass jedes Produkt [mm] e_s*u [/mm] nach dem Quadrieren im Durchschnitt (=Erwartungswert) den selben Beitrag zu dieser Summe, also [mm] ||u||^2/n, [/mm] liefert.

Bildet man nur mit einer Anzahl k<n die Produkte, ergibt diese Summe nur k statt n Summanden und daher imn Mittel nur den Wert [mm] ||u||^2*k/n. [/mm]

Dieser Vorgang lässt sich beschreiben durch das Produkt der Matrix [mm] E_k*u, [/mm] wobei [mm] E_k [/mm] zunächst die Einheitsmatrix ist, bei der dann von den n Zeilen so viele (beliebig) gestrichen wurden, dass nur k übrig geblieben sind, wobei die k auch noch beliebig vertauscht wurden. Dann enthält [mm] E_k*u [/mm] genau k Komponenten und hat im Mittel den Wert [mm] ||u||^2*k/n. [/mm]

Ersetzt man nun die orthonormalen Vektoren aus [mm] E_k [/mm] durch andere Orthonormalvektoren, entspricht dies nur einer Drehung des Koordinaten"kreuzes" im Raum. Man erhält so [mm] R^T [/mm] und berechnet nun [mm] R^T*u. [/mm] Dreht man das "Kreuz" anschließend - nun mit dem Vektor u - wieder zurück, kann man wieder mit [mm] E_k, [/mm] allerdings einem verdrehten u, nennen wir es v,  rechnen. Dann ist [mm] R^T*u=E_k*v. [/mm] Da aber u beliebig war, liefern die nun "verdrehten" us, also die beliebigen vs, im Mittel wieder den selben Wert [mm] ||u||^2*k/n, [/mm] da jeweils ||u|| = ||v|| ist.



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