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Forum "mathematische Statistik" - Erwartungstreuer Schätzer
Erwartungstreuer Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erwartungstreuer Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Fr 18.07.2014
Autor: Trikolon

Aufgabe
Es seinen  [mm] X_1,...,X_ [/mm] unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit unbekanntem Parameter p [mm] \in [/mm] [0,1].
Untersuche ob der Schätzer T ein erwartungstreuer Schätzer für [mm] p^2 [/mm] ist.
T= [mm] \bruch{1}{n(n-1)} [/mm] ( ( [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i)^2 [/mm] - [mm] (\summe_{j=1}^{n} X_j)) [/mm]

E(T)= [mm] \bruch{1}{n(n-1)} [/mm] E(( [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i)^2 [/mm] - [mm] (\summe_{j=1}^{n} X_j)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n(n-1)} (E(\summe_{i=1}^{n} X_i)^2) [/mm] - [mm] np^2) [/mm]
= [mm] \bruch{1}{n(n-1)} (np^2 (1-p^2)+n^2p^4-np^2 [/mm] )= [mm] p^4. [/mm] Also ist T kein erwartungstreuer Schätzer. Ist das so ok?

        
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:32 Sa 19.07.2014
Autor: luis52

> Es seinen  [mm]X_1,...,X_[/mm] unabhängige Bernoulli-verteilte
> Zufallsvariablen mit unbekanntem Parameter p [mm]\in[/mm] [0,1].
>  Untersuche ob der Schätzer T ein erwartungstreuer
> Schätzer für [mm]p^2[/mm] ist.
>  T= [mm]\bruch{1}{n(n-1)}[/mm] ( ( [mm]\summe_{i=1}^{n} X_i)^2[/mm] -
> [mm](\summe_{j=1}^{n} X_j))[/mm]
>  E(T)= [mm]\bruch{1}{n(n-1)}[/mm] E((
> [mm]\summe_{i=1}^{n} X_i)^2[/mm] - [mm](\summe_{j=1}^{n} X_j))[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n(n-1)} (E(\summe_{i=1}^{n} X_i)^2)[/mm] - [mm]np^2)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n(n-1)} (np^2 (1-p^2)+n^2p^4-np^2[/mm] )= [mm]p^4.[/mm] Also
> ist T kein erwartungstreuer Schätzer. Ist das so ok?

Nein, z.B. ist [mm] $E[\sum X_i]\ne np^2$. [/mm]




Bezug
                
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:37 Sa 19.07.2014
Autor: Trikolon

Ich dachte man muesste hier als EW [mm] np^2 [/mm] statt np nehmen,  weil man ja den schaetzer für [mm] p^2 [/mm] bestimmen will

Bezug
                        
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Sa 19.07.2014
Autor: Trikolon

Der vorherige Post war eigentlich eine Frage, auch wenn er als Mitteilung deklariert wurde.

Bezug
                                
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:33 Sa 19.07.2014
Autor: luis52

ich sehe keine Frage, sondern nur eine fragwuerdige Feststellung. Es gilt $ [mm] E[\sum X_i]= [/mm] np$, also ist deine Rechnung falsch.


Bezug
        
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Sa 19.07.2014
Autor: Trikolon

Also obwohl gefragt ist ob das ein schaetzer für [mm] p^2 [/mm] ist, rechne ich es ganz normal durch und gucke ob [mm] p^2 [/mm] heraus kommt?

Bezug
                
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Sa 19.07.2014
Autor: luis52


> Also obwohl gefragt ist ob das ein schaetzer für [mm]p^2[/mm] ist,
> rechne ich es ganz normal durch und gucke ob [mm]p^2[/mm] heraus
> kommt?

Jep.


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