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Forum "Uni-Stochastik" - Erwartungstreuer Schätzer
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Erwartungstreuer Schätzer: Tipp|Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:48 Fr 07.07.2017
Autor: TimeForCoffee

Aufgabe
Sei $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] und seien die Zufallsvariablen [mm] $X_1, X_2, \dots [/mm] , [mm] X_n$ [/mm] unabhängig und exponentialverteilt zum (unbekannten) Parameter [mm] $\lambda \in [/mm] (0, [mm] \infty)$. [/mm] Wir betrachten Schätzer für [mm] $\frac{1}{\lambda} [/mm] = [mm] \mathbb{E}[X_1]$ [/mm] von der Form [mm] $\nu_c [/mm] := [mm] \frac{1}{c(n)} \sum_{k=1}^{n} X_k$, [/mm] wobei $c(n) [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm]

(a) Für welche Wahl von $c(n)$ ist [mm] $\nu_c$ [/mm] ein erwartungstreuer Schätzer von [mm] $\mathbb{E}[X_1]$? [/mm]
(b) Für welche Wahl von $c(n)$ wird der erwartete quadratische Fehler [mm] $\mathbb{E}[(\nu_c [/mm] - [mm] \mathbb{E}[X_1])^2]$ [/mm] minimal?

Hallo zusammen,

ich versuche mich gerade an der obigen Aufgabe und bin mir sehr unsicher darüber ob meine Ansätze sinnvoll sind..

Zu (a):
Hier habe ich einfach eingesetzt und ausgerechnet, dass
[mm] $\mathbb{E}[\nu_c] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[\frac{1}{c(n)} \sum_{k=1}^{n} X_k] [/mm] = [mm] \frac{1}{c(n)} \mathbb{E}[\sum_{k=1}^{n} X_k] [/mm] = [mm] \frac{1}{c(n)} \sum_{k=1}^{n} \mathbb{E}[X_k] [/mm] = [mm] \frac{1}{c(n)} \frac{n}{\lambda} [/mm] = [mm] \frac{1}{\lambda}$ [/mm] für $c(n) = n$ erfüllt ist.

Zu (b):
Hier bin ich versucht den selben Weg zu gehen, allerdings weiß ich schon ab
[mm] $\mathbb{E}[(\nu_c [/mm] - [mm] \mathbb{E}[X_1])^2] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[(\frac{1}{c(n)} \sum_{k=1}^{n} X_k [/mm] - [mm] \frac{1}{\lambda})^2]$ [/mm] nicht wirklich weiter.. gibt es einen einfachen Weg das aufzulösen oder muss ich den Erwartungswert zu Fuß (über die Integraldarstellung) ausrechnen?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 Fr 07.07.2017
Autor: luis52

Moin TimeForCoffee

[willkommenmr]

> Sei [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] und seien die Zufallsvariablen [mm]X_1, X_2, \dots , X_n[/mm]
> unabhängig und exponentialverteilt zum (unbekannten)
> Parameter [mm]\lambda \in (0, \infty)[/mm]. Wir betrachten Schätzer
> für [mm]\frac{1}{\lambda} = \mathbb{E}[X_1][/mm] von der Form [mm]\nu_c := \frac{1}{c(n)} \sum_{k=1}^{n} X_k[/mm],
> wobei [mm]c(n) \in \mathbb{N}[/mm].
>  
> (a) Für welche Wahl von [mm]c(n)[/mm] ist [mm]\nu_c[/mm] ein
> erwartungstreuer Schätzer von [mm]\mathbb{E}[X_1][/mm]?
>  (b) Für welche Wahl von [mm]c(n)[/mm] wird der erwartete
> quadratische Fehler [mm]\mathbb{E}[(\nu_c - \mathbb{E}[X_1])^2][/mm]
> minimal?
>  Hallo zusammen,
>  
> ich versuche mich gerade an der obigen Aufgabe und bin mir
> sehr unsicher darüber ob meine Ansätze sinnvoll sind..
>  
> Zu (a):
>  Hier habe ich einfach eingesetzt und ausgerechnet, dass
>  [mm]\mathbb{E}[\nu_c] = \mathbb{E}[\frac{1}{c(n)} \sum_{k=1}^{n} X_k] = \frac{1}{c(n)} \mathbb{E}[\sum_{k=1}^{n} X_k] = \frac{1}{c(n)} \sum_{k=1}^{n} \mathbb{E}[X_k] = \frac{1}{c(n)} \frac{n}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}[/mm]
> für [mm]c(n) = n[/mm] erfüllt ist.

[ok]

>  
> Zu (b):
>  Hier bin ich versucht den selben Weg zu gehen, allerdings
> weiß ich schon ab
> [mm]\mathbb{E}[(\nu_c - \mathbb{E}[X_1])^2] = \mathbb{E}[(\frac{1}{c(n)} \sum_{k=1}^{n} X_k - \frac{1}{\lambda})^2][/mm]
> nicht wirklich weiter.. gibt es einen einfachen Weg das
> aufzulösen

Ja.

> oder muss ich den Erwartungswert zu Fuß (über  die Integraldarstellung) ausrechnen?

Nein, ich glaube, du siehst den Wald vor lauter Baeumen nicht. ;-)

Es gilt [mm] $\mathbb{E}[(\nu_c [/mm] - [mm] \mathbb{E}[X_1])^2]=\mathbb{V}[\nu_c]$ [/mm] (Varianz von [mm] $\nu_c$). [/mm]



Bezug
                
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:53 Fr 07.07.2017
Autor: TimeForCoffee

Hi Luis,

vielen Dank, das hilft mir sehr weiter! :)

Allerdings habe ich noch ein paar Fragen..

Womit kann ich das hier begründen?  

> Es gilt [mm]\mathbb{E}[(\nu_c - \mathbb{E}[X_1])^2]=\mathbb{V}[\nu_c][/mm]
> (Varianz von [mm]\nu_c[/mm]).

Also wie kann ich folgern, dass [mm] $X_1 [/mm] = [mm] \nu_c$? [/mm]

Aber unabhängig davon wäre meine weitere Rechnung nach deinem Tipp:
[mm] $\mathbb{V}[\nu_c] [/mm] = [mm] \mathbb{V}[\frac{1}{c(n)} \sum_{k=1}^{n} X_k] [/mm] = [mm] \frac{1}{c(n)^2} \mathbb{V}[\sum_{k=1}^{n} X_k]$ [/mm]
(, da die [mm] $X_1, \dots, X_n$ [/mm] unabhängig und damit unkorreliert sind, folgt weiter,)
$= [mm] \frac{1}{c(n)^2} \sum_{k=1}^{n} \mathbb{V}[X_k] [/mm] = [mm] \frac{1}{c(n)^2} \frac{n}{\lambda^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{\lambda^2}$ [/mm] für $c(n) := [mm] \sqrt{n}$. [/mm] Ist diese Argumentation/Rechnung sinnvoll?


Bezug
                        
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Fr 07.07.2017
Autor: luis52


> Hi Luis,
>  
> vielen Dank, das hilft mir sehr weiter! :)
>  
> Allerdings habe ich noch ein paar Fragen..
>  
> Womit kann ich das hier begründen?  
> > Es gilt [mm]\mathbb{E}[(\nu_c - \mathbb{E}[X_1])^2]=\mathbb{V}[\nu_c][/mm]
> > (Varianz von [mm]\nu_c[/mm]).
>  Also wie kann ich folgern, dass [mm]X_1 = \nu_c[/mm]?

Das habe ich nicht behauptet, vielmehr gilt nur [mm]\mathbb{E}[X_1] = \mathbb{E}[\nu_c][/mm].

>  
> Aber unabhängig davon wäre meine weitere Rechnung nach
> deinem Tipp:
>  [mm]\mathbb{V}[\nu_c] = \mathbb{V}[\frac{1}{c(n)} \sum_{k=1}^{n} X_k] = \frac{1}{c(n)^2} \mathbb{V}[\sum_{k=1}^{n} X_k][/mm]
> (, da die [mm]X_1, \dots, X_n[/mm] unabhängig und damit
> unkorreliert sind, folgt weiter,)
> [mm]= \frac{1}{c(n)^2} \sum_{k=1}^{n} \mathbb{V}[X_k] = \frac{1}{c(n)^2} \frac{n}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}[/mm]
> für [mm]c(n) := \sqrt{n}[/mm]. Ist diese Argumentation/Rechnung
> sinnvoll?

Sinnvoll ja, wenn sie korrekt waere. Oben hast (korrekt) herausgefunden [mm]c(n) = n[/mm] ...
  


Bezug
                                
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Fr 07.07.2017
Autor: TimeForCoffee


> > Womit kann ich das hier begründen?  
> > > Es gilt [mm]\mathbb{E}[(\nu_c - \mathbb{E}[X_1])^2]=\mathbb{V}[\nu_c][/mm]
> > > (Varianz von [mm]\nu_c[/mm]).
>  >  Also wie kann ich folgern, dass [mm]X_1 = \nu_c[/mm]?
>  
> Das habe ich nicht behauptet, vielmehr gilt nur
> [mm]\mathbb{E}[X_1] = \mathbb{E}[\nu_c][/mm].

Mh.. ich würde also sagen, dass der Fehler für $c(n) := n$ minimal wird, da (für $c(n) = n$) nach (a) die Identität [mm] $\mathbb{E}[X_1] [/mm] = [mm] \frac{1}{\lambda} [/mm] = [mm] \mathbb{E}[\nu_c]$ [/mm] gilt und sich der Ausdruck damit zu [mm] $\mathbb{V}[\nu_c]$ [/mm] reduziert. Es ist [mm] $\mathbb{V}[\nu_c]$ [/mm] der kleinste quadratische Fehler zwischen [mm] $\nu_c$ [/mm] und [mm] $\mathbb{E}[X_1]$ ($=\mathbb{E}[\nu_c]$). [/mm]

Ist das schon ausreichend zur Beantwortung der Frage? Falls nein, hast du bitte noch einen Tipp für mich? Worauf muss ich bei Aufgaben dieses Typs (oder zumindest dieser einen Aufgabe) achten? Habe ich etwas wichtiges übersehen? Entschuldige, es mag simpel sein, aber ich verstehe es noch nicht.

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Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Sa 08.07.2017
Autor: luis52

Mea culpa, ich habe die Aufgabenformulierung unter b) nicht richtig gelesen.

Die Funktion $g(c)= [mm] \mathbb{E}[(\nu_c [/mm] - [mm] \mathbb{E}[X_1])^2]=\mathbb{E}[(\nu_c [/mm] - [mm] 1/\lambda)^2]=$ [/mm] ist bzgl. $c_$ zu minimieren. Es gilt [mm] $g(c)=(\mathbb{E}[\nu_c] [/mm] - [mm] 1/\lambda)^2+\operatorname{Var}[\nu_c]$ [/mm] ...

Bezug
                                                
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:18 So 09.07.2017
Autor: TimeForCoffee


> Die Funktion [mm]g(c)= \mathbb{E}[(\nu_c - \mathbb{E}[X_1])^2]=\mathbb{E}[(\nu_c - 1/\lambda)^2]=[/mm]
> ist bzgl. [mm]c_[/mm] zu minimieren. Es gilt [mm]g(c)=(\mathbb{E}[\nu_c] - 1/\lambda)^2+\operatorname{Var}[\nu_c][/mm]
> ...

Vielen Dank, das habe ich mal versucht, aber ich habe leider immer noch ein paar Fragen.

Deinen Tipp habe ich wie folgt hergeleitet und weiter verfolgt:
[mm] $\mathbb{E}[(\nu_c [/mm] - [mm] \mathbb{E}[X_1])^2] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[(\nu_c [/mm] - [mm] \frac{1}{\lambda})^2] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[\nu_c^2 [/mm] -2 [mm] \frac{1}{\lambda} \nu_c [/mm] + [mm] (\frac{1}{\lambda})^2] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[\nu_c^2] [/mm] -2 [mm] \lambda \mathbb{E}[\nu_c] [/mm] + [mm] (\frac{1}{\lambda})^2 [/mm] = [mm] \mathbb{E}[\nu_c^2] [/mm] -2 [mm] \lambda \mathbb{E}[\nu_c] [/mm] + [mm] (\frac{1}{\lambda})^2 [/mm] + [mm] \mathbb{E}[\nu_c]^2 [/mm] - [mm] \mathbb{E}[\nu_c]^2$ [/mm]
$= [mm] \mathbb{V}[\nu_c] [/mm] + [mm] (\mathbb{E}[\nu_c] [/mm] - [mm] \frac{1}{\lambda})^2$ [/mm]
(beides habe ich in vorherigen Posts schon berechnet, also)
$= [mm] \frac{1}{c(n)^2}\frac{n}{\lambda^2} [/mm] + [mm] (\frac{1}{c(n)}\frac{n}{\lambda} [/mm] - [mm] \frac{1}{\lambda})^2$ [/mm]

Und schließlich
(*) [mm] $\mathbb{E}[(\nu_c [/mm] - [mm] \mathbb{E}[X_1])^2] [/mm] = [mm] \frac{1}{\lambda^2} \left( \frac{n + (n-c(n))^2}{c(n)^2} \right)$ [/mm]

Nun möchte ich (*) in Abhängigkeit von c minimieren. Dabei ist mir aufgefallen, dass es kein Minimum geben kann.. (?!) Sei $c(n)=m [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] irgendeine Wahl von $c$. Dann gilt doch

[mm] $\frac{\frac{n + (n-m)^2}{m^2}}{\frac{n + (n-(m+1))^2}{(m+1)^2}} [/mm] = [mm] \frac{[n+(n-m)^2] (m+1)^2}{[n+(n-[m+1])^2] m^2} \geq \frac{[n+(n-m)^2] m^2}{[n+(n-[m+1])^2] m^2} \geq \frac{[n+(n-m -1)^2] m^2}{[n+(n-[m+1])^2] m^2} [/mm] = 1$

Damit spielt es keine Rolle welche Wahl $c(n) = m$ ich treffe, da $c(n) = m+1$ stets besser sein wird. Es kann also keine feste Wahl vorgenommen werden.

Möglicherweise ist aber auch nach einer Wahl für $c(n)$ gesucht bei der (*) möglichst nahe an [mm] $\mathbb{E}[(X_1 [/mm] - [mm] \mathbb{E}[X_1])^2] [/mm] = [mm] \mathbb{V}[X_1] [/mm] = [mm] \frac{1}{\lambda^2}$ [/mm] herankommen?

Sollte dem so sein, dann können wir folgendes angeben: $c(n) := [mm] \frac{n+1}{2}$, [/mm] falls $n$ ungerade und $c(n) := n$, falls $n$ gerade ist. Die Werte habe ich bestimmt, indem ich (*) gleich [mm] $\frac{1}{\lambda^2}$ [/mm] gesetzt habe.

Das scheint mir aber alles etwas zu viel Pulver für diese kleine Aufgabe zu sein.. Habe ich etwas übersehen oder geht es prinzipiell anders/besser?

Bezug
                                                        
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 So 09.07.2017
Autor: luis52


> > Die Funktion [mm]g(c)= \mathbb{E}[(\nu_c - \mathbb{E}[X_1])^2]=\mathbb{E}[(\nu_c - 1/\lambda)^2]=[/mm]
> > ist bzgl. [mm]c_[/mm] zu minimieren. Es gilt [mm]g(c)=(\mathbb{E}[\nu_c] - 1/\lambda)^2+\operatorname{Var}[\nu_c][/mm]
> > ...
>
> Vielen Dank, das habe ich mal versucht, aber ich habe
> leider immer noch ein paar Fragen.
>  
> Deinen Tipp habe ich wie folgt hergeleitet und weiter
> verfolgt:
>  [mm]\mathbb{E}[(\nu_c - \mathbb{E}[X_1])^2] = \mathbb{E}[(\nu_c - \frac{1}{\lambda})^2] = \mathbb{E}[\nu_c^2 -2 \frac{1}{\lambda} \nu_c + (\frac{1}{\lambda})^2] = \mathbb{E}[\nu_c^2] -2 \lambda \mathbb{E}[\nu_c] + (\frac{1}{\lambda})^2 = \mathbb{E}[\nu_c^2] -2 \lambda \mathbb{E}[\nu_c] + (\frac{1}{\lambda})^2 + \mathbb{E}[\nu_c]^2 - \mathbb{E}[\nu_c]^2[/mm]
> [mm]= \mathbb{V}[\nu_c] + (\mathbb{E}[\nu_c] - \frac{1}{\lambda})^2[/mm]
>  
> (beides habe ich in vorherigen Posts schon berechnet,
> also)
>  [mm]= \frac{1}{c(n)^2}\frac{n}{\lambda^2} + (\frac{1}{c(n)}\frac{n}{\lambda} - \frac{1}{\lambda})^2[/mm]
>  
> Und schließlich
>  (*) [mm]\mathbb{E}[(\nu_c - \mathbb{E}[X_1])^2] = \frac{1}{\lambda^2} \left( \frac{n + (n-c(n))^2}{c(n)^2} \right)[/mm]
>

[ok]

> Nun möchte ich (*) in Abhängigkeit von c minimieren.
> Dabei ist mir aufgefallen, dass es kein Minimum geben
> kann.. (?!)

[notok]

> Sei [mm]c(n)=m \in \mathbb{N}[/mm] irgendeine Wahl von
> [mm]c[/mm]. Dann gilt doch
>  
> [mm]\frac{\frac{n + (n-m)^2}{m^2}}{\frac{n + (n-(m+1))^2}{(m+1)^2}} = \frac{[n+(n-m)^2] (m+1)^2}{[n+(n-[m+1])^2] m^2} \geq \frac{[n+(n-m)^2] m^2}{[n+(n-[m+1])^2] m^2} \geq \frac{[n+(n-m -1)^2] m^2}{[n+(n-[m+1])^2] m^2} = 1[/mm]

Gegenbeispiel: $n=2$ und $m=5$. Der linke Quotient ist dann $0.88_$.


>  
> Damit spielt es keine Rolle welche Wahl [mm]c(n) = m[/mm] ich
> treffe, da [mm]c(n) = m+1[/mm] stets besser sein wird. Es kann also
> keine feste Wahl vorgenommen werden.
>  
> Möglicherweise ist aber auch nach einer Wahl für [mm]c(n)[/mm]
> gesucht bei der (*) möglichst nahe an [mm]\mathbb{E}[(X_1 - \mathbb{E}[X_1])^2] = \mathbb{V}[X_1] = \frac{1}{\lambda^2}[/mm]
> herankommen?
>
> Sollte dem so sein, dann können wir folgendes angeben:
> [mm]c(n) := \frac{n+1}{2}[/mm], falls [mm]n[/mm] ungerade und [mm]c(n) := n[/mm],
> falls [mm]n[/mm] gerade ist. Die Werte habe ich bestimmt, indem ich
> (*) gleich [mm]\frac{1}{\lambda^2}[/mm] gesetzt habe.
>  
> Das scheint mir aber alles etwas zu viel Pulver für diese
> kleine Aufgabe zu sein.. Habe ich etwas übersehen oder
> geht es prinzipiell anders/besser?


Du kannst z.B. die Funktion [mm] $g:(0,\infty)\to\IR$ [/mm] mit $g(c) =  [mm] \left( \frac{n + (n-c)^2}{c^2} \right) [/mm] $ bzgl $c_$ minimierien um zu sehen, wohin die Reise geht. Fuer den minimierenden Wert erhalte *ich* [mm] $c_0=n+1/2$, [/mm] was freilich keine natuerliche Zahl ist ...



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