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Erwartungstreuer Schätzer: Münzwurf, Schätzer finden
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 Sa 30.09.2017
Autor: sandroid

Aufgabe
Es wird eine Münze mit Kopfwahrscheinlichkeit $p$ $n$-mal geworfen. Man erhält $r$ Mal Kopf.

Finde einen erwartungstreuen Schätzer für $p(1-p)$.

Mein Ansatz: Ich vermute, dass der Schätzer $T(r) = [mm] \frac{r}{n}(1-\frac{r}{n})$ [/mm] erwartungstreu ist. Das entspricht meiner Intuition und mir fällt nichts anderes ein.

Zu zeigen: [mm] $\mathbb{E}_p[T(r)] [/mm] = p(1-p)$

Das führt mich zu [mm] $$\mathbb{E}_p[T(r)] [/mm] = [mm] \sum_{r=0}^n T(r)\mathbb{P}[r [/mm] Mal Kopf] = [mm] \sum_{r=0}^n \frac{r}{n}(1-\frac{r}{n}) \binom{n}{r}p^n (1-p)^{n-r}$$ [/mm]

Weiter weiß ich nicht. Vielleicht ist mein Schätzer ja auch gar nicht erwartungstreu?

Vielen Dank für jede Hilfe.

        
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 Sa 30.09.2017
Autor: luis52

Moin, schau mal []hier, Seite 229-30.



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Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:16 Sa 30.09.2017
Autor: sandroid


Sorry, ich werde unter den von dir angegebenen Seitenzahlen in dem verlinkten Buch nicht fündig. Ich habe Seite 229 gemäß Zählung des PDF-Readers als auch die Buchseite Br. 229 ausprobiert, und auch frei das Buch durchgestöbert, ohne Erfolg.

Bezug
                        
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Sa 30.09.2017
Autor: luis52

Gruebel gruebel? Das verstehe ich nicht. Dort steht sinngemaess: Ist [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] eine Stichprobe aus einer Verteilung mit Varianz [mm] $\sigma^2$, [/mm] so ist [mm] $S^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2/(n-1)$ [/mm] erwartungstreu fuer [mm] $\sigma^2$. [/mm]

Bezug
                                
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Erwartungstreuer Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:58 Sa 30.09.2017
Autor: sandroid


Okay, jetzt habe ich den Zusammenhang verstanden.

Aber wie kann man denn darauf kommen, was ist die Intuition? Und wieso ist der von mir vorgeschlagene Schätzer nicht erwartungstreu?

Ich denke, dass ich solche Aufgaben in der anstehenden Klausur können muss, und daher bin ich sehr am Lösungsweg interessiert.

Bezug
                                        
Bezug
Erwartungstreuer Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Sa 30.09.2017
Autor: luis52


>
> Okay, jetzt habe ich den Zusammenhang verstanden.
>  
> Aber wie kann man denn darauf kommen, was ist die  Intuition?

Sorry, mit Intuition kann ich nicht dienen. So was weiss man halt nach 100 Jahren Beschaeftigung mit Statistik. ;-)

> Und wieso ist der von mir vorgeschlagene
> Schätzer nicht erwartungstreu?

Deine Idee ist naheliegend, nur ist $T(r)$ leider eben nicht e.t.  Schreibe

$ T(r) = [mm] \frac{r}{n}(1-\frac{r}{n}) =\frac{r}{n}-\frac{r^2}{n^2} [/mm] $

Betrachte $r$. Du argumentierst  zurecht, dass $r$ binomialverteilt ist. Bestimme damit [mm] $\operatorname{E}[r]$ [/mm] und [mm] $\operatorname{E}[r^2]$. [/mm]



>  
> Ich denke, dass ich solche Aufgaben in der anstehenden
> Klausur können muss, und daher bin ich sehr am Lösungsweg
> interessiert.

In der Tat, eine huebsche Aufgabe.


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Erwartungstreuer Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Sa 30.09.2017
Autor: luis52

A popo Intuition. Sei [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] eine Stichprobe aus einer Verteilung mit Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und Varianz [mm] $\sigma^2$. [/mm] Ist [mm] $\mu$ [/mm] bekannt, so ist

$T':= [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2$ [/mm]

offensichtlich e.t. fuer [mm] $\sigma^2$. [/mm] Was aber soll man verwenden, wenn [mm] $\mu$ [/mm] unbekannt ist? Da [mm] $\bar [/mm] X$ e.t. ist fuer [mm] $\mu$, [/mm] liegt es nahe

$T:= [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$ [/mm]


zu verwenden. in der  oben erwaehnten Quelle wird gezeigt, dass $T$ nicht e.t. ist fuer [mm] $\sigma^2$, [/mm] sondern

[mm] $S^2:=\frac{n}{n-1}\cdot [/mm] T= [mm] \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$. [/mm]


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