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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Euklidischer Raum zeigen
Euklidischer Raum zeigen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Euklidischer Raum zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Sa 07.12.2013
Autor: mathe-antifreak

Aufgabe
Sei V ein euklidischer Raum mit dem Skalarprodukt [mm] \langle \\-,- \rangle. [/mm] Zeigen Sie:
Wenn W ein Untervektorraum von V ist, dann ist die Einschränkung von [mm] \langle \\-,- \rangle [/mm] auf W×W ein Skalarprodukt auf W, und mit diesem Skalarprodukt ist W selbst ein euklidischer Raum.

Hallo und schönes Wochenende.

Ein euklidischer Raum ist bei uns laut Definition: Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt heißt euklidischer Raum.
Das war im Prinzip alles, was über den euklidischen Raum erklärt wurde.

Informell könnte ich wie folgt argumentieren:
Wenn W ein Untervektorraum von V ( V ist offensichtlich endlichdimensional ) ist ( d.h W erfüllt die 3 Untervektorraumaxiome ), dann ist W wiederum ein ( endlichdimensionaler ) Vektorraum. W besitzt ein Skalarprodukt, also muss es ein euklidischer Raum sein.

Aber wie kann ich das zeigen?

Mit freundlichen Grüßen
Patrik



        
Bezug
Euklidischer Raum zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 So 08.12.2013
Autor: GorkyPark

Hallo,

Du hast einen Vektorraum V mit einem Skalarprodukt  <,>_{V}. Man nehme einen Untervektorraum W und definiere die folgende Operation darauf:

W [mm] \times [/mm] W [mm] \to \IR, (w_{1},w_{2}) \mapsto _{V}. [/mm]

Zeige nun, dass diese Operation ein Skalarprodukt auf W definiert. Überprüfe also, dass diese Operation die Eigenschaften eines Skalarprodukts erfüllt (bilinear, positiv definit, symmetrisch).

Beachte dabei, dass nach Voraussetzung <,>_{V} ein Skalarprodukt auf V ist.

Hoffe, das hilft weiter.

Gruss,
GP



Bezug
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