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Euler und Additionstheorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Mo 27.04.2015
Autor: murmel

Aufgabe
Es soll die Superposition aus [mm] $g_1(x,t) [/mm] + [mm] g_2(x,t)$ [/mm] gebildet und in [mm] $B(\varphi) \cos\left(kx-\omega t+\frac{\varphi}{2}\right)$ [/mm] überführt werden!




Ich bin soweit gekommen:

[mm] g_1(x,t)= A\,\cos(kx - \omega t)[/mm]
[mm]g_2(x,t) = A\,\cos(kx - \omega t + \varphi)[/mm]


Allgmein ist gegeben:
[mm] \cos(\gamma) =\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma} +\frac{1}{2}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\gamma} [/mm]
(korrigiert, danke Fred97!)

[mm]\gamma_1 = kx - \omega t[/mm]
[mm]\gamma_2 = kx - \omega t + \varphi[/mm]

[mm] g_1(x,t)+ g_2(x,t) = A \left[\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_1} +\frac{1}{2}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\gamma_1} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_2} +\frac{1}{2}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\gamma_2}\right][/mm]

[mm] g_1(x,t)+ g_2(x,t) = A \left[\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx - \omega t)} +\frac{1}{2}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kx - \omega t)} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx - \omega t + \varphi)} +\frac{1}{2}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kx - \omega t + \varphi)}\right][/mm]

[mm] g_1(x,t)+ g_2(x,t) = A \left[\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} +\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} \,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}\right][/mm]

Durch weiteres Sortieren und Umformen erhalte ich:

[mm] g_1(x,t)+ g_2(x,t) = A \left[\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} \,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}\right][/mm]


Ausklammern:

[mm] g_1(x,t)+ g_2(x,t) = A \left[\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \left(1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\right) + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \left( 1 + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}\right)\right][/mm]


Ab hier bin ich mit meinem Latein am Ende. Muss ich den Klammerausdruck durch ein Additionstheorem ersetzen oder habe ich etwas übersehen und komme schon viel früher auf das zu zeigende Resultat?


Danke für Hilfe im Voraus
Murmel

        
Bezug
Euler und Additionstheorem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:34 Mo 27.04.2015
Autor: Pi_Quadrat

>Klammerausdruck durch ein Additionstheorem ersetzen

Probier mal genau das. :-)

Bezug
                
Bezug
Euler und Additionstheorem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 Mo 27.04.2015
Autor: murmel

Danke :o)

Das mache ich mal...

Bezug
        
Bezug
Euler und Additionstheorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Mo 27.04.2015
Autor: fred97


> Es soll die Superposition aus [mm]g_1(x,t) + g_2(x,t)[/mm] gebildet
> und in [mm]B(\varphi) \cos\left(kx-\omega t+\frac{\varphi}{2}\right)[/mm]
> überführt werden!
>  
> Ich bin soweit gekommen:
>  
> [mm]g_1(x,t)= A\,\cos(kx - \omega t)[/mm]
>  [mm]g_2(x,t) = A\,\cos(kx - \omega t + \varphi)[/mm]
>  
>
> Allgmein ist gegeben:
>  [mm] 2 \cos(\gamma) = \cos(\gamma)+\mathrm{i} \, \sin(\gamma)+ \cos(\gamma) - \mathrm{i} \, \sin(\gamma) =\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma} +\frac{1}{2}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\gamma} [/mm]


Das letzte "=" ist falsch

Es ist [mm] 2cos(x)=e^{ix}+e^{-ix} [/mm]


FRED

>  
>
> [mm]\gamma_1 = kx - \omega t[/mm]
>  [mm]\gamma_2 = kx - \omega t + \varphi[/mm]
>  
> [mm]g_1(x,t)+ g_2(x,t) = A \left[\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_1} +\frac{1}{2}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\gamma_1} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma_2} +\frac{1}{2}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\gamma_2}\right][/mm]
>  
> [mm]g_1(x,t)+ g_2(x,t) = A \left[\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx - \omega t)} +\frac{1}{2}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kx - \omega t)} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx - \omega t + \varphi)} +\frac{1}{2}\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kx - \omega t + \varphi)}\right][/mm]
>  
> [mm]g_1(x,t)+ g_2(x,t) = A \left[\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} +\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} \,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}\right][/mm]
>  
> Durch weiteres Sortieren und Umformen erhalte ich:
>  
> [mm]g_1(x,t)+ g_2(x,t) = A \left[\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} \,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}\right][/mm]
>  
>
> Ausklammern:
>  
> [mm]g_1(x,t)+ g_2(x,t) = A \left[\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \left(1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\right) + \frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kx)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \left( 1 + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}\right)\right][/mm]
>  
>
> Ab hier bin ich mit meinem Latein am Ende. Muss ich den
> Klammerausdruck durch ein Additionstheorem ersetzen oder
> habe ich etwas übersehen und komme schon viel früher auf
> das zu zeigende Resultat?
>  
>
> Danke für Hilfe im Voraus
>  Murmel


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Euler und Additionstheorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mo 27.04.2015
Autor: leduart

Halloi
wenn du das Ziel vor Augen hast, (die [mm] \ph/2 [/mm] im Ergebnis) ist leichter zu zerlegen
du hast
[mm] cos(a)+cos(a+\phi) [/mm] schreibe um in
[mm] cos(a)=cos(a+\phi/2-\phi/2) [/mm]
[mm] cos(a+\phi)=cos(a+\phi/2+\phi/2) [/mm]
dann die Additionstheoreme für cos(x+y) und cos(x-y) mit [mm] x=a+\phi/2; y=\phi/2 [/mm]
ob du dabei die Eulerformel verwendest oder nicht ist egal.
Gruß leduart

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Euler und Additionstheorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Mo 27.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Es soll die Superposition aus [mm]g_1(x,t) + g_2(x,t)[/mm] gebildet
> und in [mm]B(\varphi) \cos\left(kx-\omega t+\frac{\varphi}{2}\right)[/mm]
> überführt werden!
>  
>
>
> Ich bin soweit gekommen:
>  
> [mm]g_1(x,t)= A\,\cos(kx - \omega t)[/mm]
>  [mm]g_2(x,t) = A\,\cos(kx - \omega t + \varphi)[/mm]

nur mal so als Alternativansatz: Versuche, aus der geforderten Gleichung

    [mm] $A\,\cos(kx [/mm] - [mm] \omega t)+A\,\cos(kx [/mm] - [mm] \omega [/mm] t + [mm] \varphi)\red{\;\stackrel{!}{=}\;}B(\varphi) \cos\left(kx-\omega t+\frac{\varphi}{2}\right)$ [/mm]

[mm] $B:=B(\varphi)$ [/mm] zu berechnen [mm] ($B\,$ [/mm] darf also von [mm] $\varphi$ [/mm] abhängen; nicht
aber von [mm] $k\,$ [/mm] oder [mm] $x\,$ [/mm] oder ...):

    [mm] $B=A*\frac{\exp(i(kx-\omega t))+\exp(\,-i(kx-\omega t))+\exp(i(kx-\omega t+\varphi))+\exp(\,-i(kx-\omega t+\varphi))}{\exp(i(kx-\omega t+\varphi/2))+\exp(\,-i(kx-\omega t+\varphi/2))}$ [/mm]

    [mm] $=A*\frac{\exp(i(kx-\omega t+\varphi/2-\varphi/2))+\exp(\,-i(kx-\omega t+\varphi/2-\varphi/2))+\exp(i(kx-\omega t+\varphi/2+\varphi/2))+\exp(\,-i(kx-\omega t+\varphi/2+\varphi/2))}{\exp(i(kx-\omega t+\varphi/2))+\exp(\,-i(kx-\omega t+\varphi/2))}$ [/mm]

usw.

Sollte also i.W. der selbe Trick sein, wie Leduart vorgeschlagen hat, den
man am Ende *braucht*.

P.S. Bedenke, dass [mm] $\exp(z+w)=\exp(z)*\exp(w)$ [/mm] auch für $z,w [mm] \in \IC\,.$ [/mm] Und dann
schau, wo Du "im Zähler den Nenner wiederfindest" (ggf. auch auf
"konjugiert komplex" achten).

P.P.S. Oben habe ich *direkt* schon sowas wie [mm] $\frac{1/2}{1/2}=1$ [/mm] ausgenutzt!
Und strenggenommen müßte man auch noch einen Hinweis setzen - denn
durch Null wollen wir nicht teilen. ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Euler und Additionstheorem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Mo 27.04.2015
Autor: Marcel

Achja, zur Kontrolle mal meine Lösung mit Wolframalpha gegengetestet:

    []https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*A*cos%28phi%2F2%29*cos%28k*x-w*t%2Bphi%2F2%29


Falls Dich der Ausdruck bei *Alternate forms* verwirrt: Bedenke [mm] $\cos(-x)=\cos(x)\,.$[/mm]

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