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Exakte DGL 2: DGL
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:49 Mo 19.03.2018
Autor: Cash33

Hallo Guten Abend habe aktuell Probleme bei dieser Aufgabe und bitte um Tipps.

i) Überprüfen sie folgende DGL auf Exaktheit:

[mm] x+\bruch{1}{y(x)} -\bruch{x}{y(x)^2}*y'(x) [/mm] = 0

ii) Bestimmen Sie gegebenenfalls ein zugehöriges Potential.
(iii) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Exakte DGL 2: zu i) und iii)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:30 Di 20.03.2018
Autor: Martinius

Hallo Cash33,

> Hallo Guten Abend habe aktuell Probleme bei dieser Aufgabe
> und bitte um Tipps.
>  
> i) Überprüfen sie folgende DGL auf Exaktheit:
>  
> [mm]x+\bruch{1}{y(x)} -\bruch{x}{y(x)^2}*y'(x)[/mm] = 0
>  
> ii) Bestimmen Sie gegebenenfalls ein zugehöriges
> Potential.
>  (iii) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


zu i)

[mm]x+\bruch{1}{y(x)} -\bruch{x}{y(x)^2}*y'(x)\;=\;0[/mm]

[mm]\left(x+\bruch{1}{y}\right)*dx -\left(\bruch{x}{y^2}\right)*dy\;=\;0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

   soll sein:   $M*dx+N*dy\;=\;0$


$\frac{\partial M}{\partial y}\;=\;- \frac{1}{y^2}$   und  $\frac{\partial N}{\partial x}\;=\;- \frac{1}{y^2}$   Damit wäre die DGL exakt.


zu iii)

$F(x)\;=\;\int \left(x+\bruch{1}{y}\right)\;dx\;=\; \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y}+f(y)+C_1\;=\;0$   und   $F(y)\;=\; \int -\left(\bruch{x}{y^2}\right)\;dy\;=\; \frac{x}{y}+f(x)+C_2$

wobei $f(y)=0$   und   $f(x)\;=\:\frac{x^2}{2}$

damit:  $F\;=\; \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y}+C_3\;=\;0$

$\frac{x}{y}\;=\;C-\frac{x^2}{2}\;=\;\frac{2C-x^2}{2}$

$\frac{y}{x}\;=\;\frac{2}{2C-x^2}$

$y(x)\;=\; \frac{2x}{2C-x^2$


Hoffentlich ohne Fehler. (Was ein Potential ist weiß ich leider nicht.)

LG, Martinius

Bezug
                
Bezug
Exakte DGL 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:37 Di 20.03.2018
Autor: chrisno

Das Potential ist die Funktion V(x,y), für die gilt
$ [mm] \br{\partial V}{\partial x} [/mm] = x + [mm] \bruch{1}{y(x)}$ [/mm]
und
$ [mm] \br{\partial V}{\partial y} [/mm] = [mm] -\bruch{x}{y(x)^2} [/mm] $

Bezug
                
Bezug
Exakte DGL 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:34 Di 20.03.2018
Autor: Cash33


> Hallo Cash33,
>  
> > Hallo Guten Abend habe aktuell Probleme bei dieser Aufgabe
> > und bitte um Tipps.
>  >  
> > i) Überprüfen sie folgende DGL auf Exaktheit:
>  >  
> > [mm]x+\bruch{1}{y(x)} -\bruch{x}{y(x)^2}*y'(x)[/mm] = 0
>  >  
> > ii) Bestimmen Sie gegebenenfalls ein zugehöriges
> > Potential.
>  >  (iii) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> > Differentialgleichung.
>  >  
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> zu i)
>  
> [mm]x+\bruch{1}{y(x)} -\bruch{x}{y(x)^2}*y'(x)\;=\;0[/mm]
>
> [mm]\left(x+\bruch{1}{y}\right)*dx -\left(\bruch{x}{y^2}\right)*dy\;=\;0[/mm]
>   soll sein:   [mm]M*dx+N*dy\;=\;0[/mm]
>  
>
> [mm]\frac{\partial M}{\partial y}\;=\;- \frac{1}{y^2}[/mm]  

Wieso steht oben ein dx und du leitest nach y diesen Term ab ?
Ist diese Schreibweise üblich?

und  

> [mm]\frac{\partial N}{\partial x}\;=\;- \frac{1}{y^2}[/mm]   Damit
> wäre die DGL exakt.
>  
>
> zu iii)
>  
> [mm]F(x)\;=\;\int \left(x+\bruch{1}{y}\right)\;dx\;=\; \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y}+f(y)+C_1\;=\;0[/mm]
>   und   [mm]F(y)\;=\; \int -\left(\bruch{x}{y^2}\right)\;dy\;=\; \frac{x}{y}+f(x)+C_2[/mm]


>  
> wobei [mm]f(y)=0[/mm]   und   [mm]f(x)\;=\:\frac{x^2}{2}[/mm]
>  
> damit:  [mm]F\;=\; \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y}+C_3\;=\;0[/mm]
>  
> [mm]\frac{x}{y}\;=\;C-\frac{x^2}{2}\;=\;\frac{2C-x^2}{2}[/mm]
>  
> [mm]\frac{y}{x}\;=\;\frac{2}{2C-x^2}[/mm]
>  
> [mm]y(x)\;=\; \frac{2x}{2C-x^2[/mm]
>  


>
> Hoffentlich ohne Fehler. (Was ein Potential ist weiß ich
> leider nicht.)
>  
> LG, Martinius

Müsste es nicht x/y = -C3 - [mm] x^2/2 [/mm] sein ?

Kannst du bisschen genauer erklären wie man das Potential bestimmt?

Bezug
                        
Bezug
Exakte DGL 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 Di 20.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> > > i) Überprüfen sie folgende DGL auf Exaktheit:
> > >
> > > [mm]x+\bruch{1}{y(x)} -\bruch{x}{y(x)^2}*y'(x)[/mm] = 0
> > >
> > > ii) Bestimmen Sie gegebenenfalls ein zugehöriges
> > > Potential.
> > > (iii) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> > > Differentialgleichung.
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
> >
> > zu i)
> >
> > [mm]x+\bruch{1}{y(x)} -\bruch{x}{y(x)^2}*y'(x)\;=\;0[/mm]
> >
> > [mm]\left(x+\bruch{1}{y}\right)*dx -\left(\bruch{x}{y^2}\right)*dy\;=\;0[/mm]
> > soll sein: [mm]M*dx+N*dy\;=\;0[/mm]
> >
> >
> > [mm]\frac{\partial M}{\partial y}\;=\;- \frac{1}{y^2}[/mm]
> Wieso steht oben ein dx und du leitest nach y diesen Term
> ab ?

Martinius hat die DGL mit dem Differential dx durchmultipliziert, das erklärt, wie sie zu

[mm]M*dx+N*dy=0[/mm]

umgeformt wurde.

> Ist diese Schreibweise üblich?

Das weiß ich ehrlich gesagt auch nicht genau, aber es ist äquivalent zu

[mm] M+N*\frac{dy}{dx}=0 [/mm]

Als nächstes hat Martinius die sog. []Integrabilitätsbedingung überprüft und kommt hier:

>

> und
> > [mm]\frac{\partial N}{\partial x}\;=\;- \frac{1}{y^2}[/mm] Damit
> > wäre die DGL exakt.
> >

folgerichtig zum Ergebnis, dass die Differnzialgleichung exakt ist.

> >
> > zu iii)
> >
> > [mm]F(x)\;=\;\int \left(x+\bruch{1}{y}\right)\;dx\;=\; \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y}+f(y)+C_1\;=\;0[/mm]
> > und [mm]F(y)\;=\; \int -\left(\bruch{x}{y^2}\right)\;dy\;=\; \frac{x}{y}+f(x)+C_2[/mm]

>
>

> >
> > wobei [mm]f(y)=0[/mm] und [mm]f(x)\;=\:\frac{x^2}{2}[/mm]
> >
> > damit: [mm]F\;=\; \frac{x^2}{2}+\frac{x}{y}+C_3\;=\;0[/mm]
> >
> > [mm]\frac{x}{y}\;=\;C-\frac{x^2}{2}\;=\;\frac{2C-x^2}{2}[/mm]
> >
> > [mm]\frac{y}{x}\;=\;\frac{2}{2C-x^2}[/mm]
> >
> > [mm]y(x)\;=\; \frac{2x}{2C-x^2[/mm]
> >

>
>

> >
> > Hoffentlich ohne Fehler. (Was ein Potential ist weiß ich
> > leider nicht.)
> >
> > LG, Martinius

>

> Müsste es nicht x/y = -C3 - [mm]x^2/2[/mm] sein ?

>

Hier wurde einfach nur wieder eine Konstante umbenannt. Mit [mm] C=-C_3 [/mm] erhält man aus deiner Version die von Martinius.

> Kannst du bisschen genauer erklären wie man das Potential
> bestimmt?

Martinius hat dir das sehr ausführlich vorgerechnet, seine Funktion F(x,y) ist das Potential.

Die Definition der Potentialfunktion findest du []hier.

Ein erneuter Hinweis von meiner Seite: immer erst die Begrifflichkeiten studieren, und dann Übungsaufgaben rechnen. Das spart letztendlich Zeit ein, ist wirklich als Anregung gedacht und entstammt eigener Erfahrung (die zugegebenermaßen Jahrzehnte zurückliegt).

Vielleicht könntest du auch in deinem Profil noch etwas über deinen Studiengang schreiben, um uns zu helfen, deine Kenntnisse besser einzuschätzen.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Exakte DGL 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:25 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Danke für die schnelle Hilfe .

Studiere etechnik .

Vorlesungen nicht gerade die besten.

Lerne bei euch mehr als in der Vorlesung.

Bezug
                                        
Bezug
Exakte DGL 2: Buch-Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:42 Di 20.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Danke für die schnelle Hilfe .

>

Gerne.

> Studiere etechnik .

>

Trage das doch mal noch in deinem Profil ein, dann sehen es alle Antwortschreiber sofort im Kopf deiner Frage-Artikel.

> Vorlesungen nicht gerade die besten.

>

> Lerne bei euch mehr als in der Vorlesung.

Einerseits gut (das wir hier helfen können), andererseits natürlich nicht (das mit der Vorlesung).

Wenn es dein Budget erlaubt, würde ich mir an deiner Stelle ein Lehrbuch für die Grundlagen der höheren Mathematik kaufen, etwas in der Art:

[]Goebbels/Ritter: Mathematik verstehen und anwenden

Da bekommt man insofern ein gutes Preis-Leistungsverhältnis geboten, als es gemessen am Preis viele Seiten hat. :-)

Die Erklärungen sind sprachlich unbeholfen, aber sehr verständlich geschrieben.


Gruß, Diophant

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