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Exakte DGL wieder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Aufgabe
Gegeben sei folgendes ANfangswertproblem:

[mm] x^2*y+y+1+(x+x^3)y' [/mm] = 0

y(1) = pi/4

x>1, y>0

a) Zeigen sie ,dass die DGL nicht exakt ist

b) Bestimmen sie einen Integrierenden Faktor.

c) Bestimmen sie die explizite Lösung des Anfangswertproblems.

Ansatz a)

rechte Seite nach x  abgeleitet:
[mm] (x+x^3) [/mm]

dM/dX =  [mm] 1+3x^2 [/mm]



Das jetzt : x^2y+y+1 nach y ableiten ?

Wäre dm/dy = y+1


Bin mir nicht so ganz sicher?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Exakte DGL wieder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Di 20.03.2018
Autor: fred97


> Gegeben sei folgendes ANfangswertproblem:
>  
> [mm]x^2*y+y+1+(x+x^3)y'[/mm] = 0
>  
> y(1) = pi/4
>  
> x>1, y>0
>  
> a) Zeigen sie ,dass die DGL nicht exakt ist
>
> b) Bestimmen sie einen Integrierenden Faktor.
>  
> c) Bestimmen sie die explizite Lösung des
> Anfangswertproblems.
>  
> Ansatz a)
>  
> rechte Seite nach x  abgeleitet:
>  [mm](x+x^3)[/mm]
>  
> dM/dX =  [mm]1+3x^2[/mm]

Stimmt.


>  
>
>
> Das jetzt : x^2y+y+1 nach y ableiten ?
>  
> Wäre dm/dy = y+1

Stimmt nicht. Die Ableitung  nach y ist: [mm] x^2+1 [/mm]

>  
>
> Bin mir nicht so ganz sicher?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Exakte DGL wieder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Wie soll ich den genau den integrierenden Faktor berechnen ?
Kennt sich jemand aus?

Bezug
                
Bezug
Exakte DGL wieder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Di 20.03.2018
Autor: fred97


> Wie soll ich den genau den integrierenden Faktor berechnen
> ?

Habt  Ihr dazu in der Vorlesung keine Regeln gehabt ?

Bestimmt!

>  Kennt sich jemand aus?

Ja, ich. Versuchs aber erst selbst.


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Exakte DGL wieder: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:43 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Es handelt sich um eine alte Klausur Aufgabe bei der die Leute überrascht wurden ,weil das Thema nicht behandelt wurde und abgefragt wurde .

Daher bin ich auch beim verzweifeln?

Bezug
                                
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Exakte DGL wieder: Rechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Ich habe es jetzt in den letzten Stunden mal ein wenig selbst probiert und etwa zum folgenden Ergebnis gekommen siehe Foto.

Danach wollte ich den Faktor oberhalb des Exponenten integrieren aber schon schwer .

Ist die rechnung überhaupt richtig?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Exakte DGL wieder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Di 20.03.2018
Autor: Martinius

Hallo Cash33,

dieses Zwischenergebnis:  [mm] $\frac{1+2x^2-1}{-x-x^3}$ [/mm]  ist noch richtig. Danach wird es aber fehlerhaft.

[mm] $\frac{1+2x^2-1}{-x-x^3}\;=\;\frac{-2x^2}{x+x^3}\;=\;\frac{-2x}{1+x^2}$ [/mm]   Nun integriere:  [mm] $-\int\frac{2x}{1+x^2}\;dx\;=\;-ln(1+x^2)\;=\;ln\left( \frac{1}{1+x^2}\right)$ [/mm]


Nun erhebe zum Exponenten von e:  [mm] $I(x)\;=\; [/mm] exp [mm] \left(ln\left( \frac{1}{1+x^2}\right) \right)\;=\;\frac{1}{1+x^2}$ [/mm]


Das ist Dein integrierender Faktor. Berechne nun die Lösung.

LG, Martinius

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Exakte DGL wieder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Wie hast du denn das Vorzeichen gedreht ?
Einfach das Minus hoch geholt ?

Oder einfach alle Vorzeichen gedreht ?

Da waren schon paar Tricks dabei

Als Integral kommt arctan(x) raus denke ich .

Wie geht es weiter ?

Bezug
                                                        
Bezug
Exakte DGL wieder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Di 20.03.2018
Autor: Martinius

Hallo Cash33,

> Wie hast du denn das Vorzeichen gedreht ?
>  Einfach das Minus hoch geholt ?
>  
> Oder einfach alle Vorzeichen gedreht ?


Man kann einen Bruch ja erweitern: hier mit -1.


>  
> Da waren schon paar Tricks dabei
>  Als Integral kommt arctan(x) raus denke ich .
>  
> Wie geht es weiter ?

Da fehlt noch etwas.

Wenn  [mm] $M\;dx [/mm] + [mm] N\;dy=0$ [/mm] , dann musst Du sowohl M als auch N mit I(x) multiplizieren und dann integrieren.

Das Endergebnis ist:  [mm] $y(x)\;=\; \frac{C}{x}-\frac{arctan(x)}{x}$ [/mm]


LG, Martinius

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Exakte DGL wieder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Ich verstehe jetzt nicht so ganz was das I(x) ist ?

Was für einen Wert hat das?

Bezug
                                                                        
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Exakte DGL wieder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Di 20.03.2018
Autor: Martinius

Hallo Cash33,

> Ich verstehe jetzt nicht so ganz was das I(x) ist ?
>  
> Was für einen Wert hat das?

Den integrierenden Faktor habe ich I(x) getauft. [mm] $I(x)\;=\; \frac{1}{1+x^2}$ [/mm]

LG, Martinius

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Bezug
Exakte DGL wieder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Was muss ich denn jetzt bei der c) machen ?

Da bin ich aktuell am Ende meines Wissens

Bezug
                                                                                        
Bezug
Exakte DGL wieder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Di 20.03.2018
Autor: Martinius

Hallo Cash33,

> Was muss ich denn jetzt bei der c) machen ?
>  
> Da bin ich aktuell am Ende meines Wissens  


Die Lösung lässt sich explizit darstellen, d,h.  [mm] $y(x)\;=\; [/mm] f(x)$

- weil nur ein y vorkommt.

Bist Du denn auf die richtige Lösung gekommen?

LG, Martinius

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Exakte DGL wieder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:37 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Ich habe gerade auch gemerkt dass ich nicht darauf komme wie du auf dein Endergebnis kommst?

Habe die Ursprungs Dgl mit 1/1+x multipliziert
Ursprung DGl:
[mm] \bruch{x^2*y+y+1}{1+x^2} +\bruch{(x+x^3)}{1+x^2} [/mm]

Bezug
        
Bezug
Exakte DGL wieder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Explizit ist ja nach der höchtsen Ableitung aufgelöst .

In meiner Mitteilung stehen meine Ansätze ,aber ich komme nicht auf das Ergebnis ?

Bezug
                
Bezug
Exakte DGL wieder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Di 20.03.2018
Autor: Martinius

Hallo Cash33,

$ [mm] (x^2\cdot{}y+y+1)+(x+x^3)y' \;=\;0$ [/mm]

$ [mm] (x^2\cdot{}y+y+1)\;dx+(x+x^3)\;dy\;=\;0 [/mm] $

Mit dem integrierenden Faktor multiplizieren.

[mm] $\left(\frac{x^2*y+y+1}{x^2+1} \right)\;dx+\left(\frac{x+x^3}{x^2+1} \right)\;dy\;=\;0$ [/mm]

[mm] $\left(y*\frac{x^2*+1}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1} \right)\;dx+\left(x*\frac{1+x^2}{x^2+1} \right)\;dy\;=\;0$ [/mm]

[mm] $\left(y+\frac{1}{1+x^2} \right)\;dx+(x)\;dy\;=\;0$ [/mm]

Integrieren:

[mm] $F(x)\;=\;\int \left(y+\frac{1}{1+x^2} \right)\;dx\;=\;x*y+arctan(x)+f(y)+C_1\;=\;0$ [/mm]   und   [mm] $F(y)\;=\;\int x\;dy\;=\; x*y+f(x)+C_2\;=\;0$ [/mm]

wobei f(y) = 0   und   [mm] $f(x)\;=\; [/mm] arctan(x)$

Damit:  $F(x,y) [mm] \;=\; x*y+arctan(x)+C_3\;=\;0$ [/mm]

Oder explizit:  [mm] $y(x)\;=\;\frac{C}{x}-\frac{arctan(x)}{x}$ [/mm]

Hoffentlich ohne Fehler.


LG, Martinius

Bezug
                        
Bezug
Exakte DGL wieder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:18 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Danke ,das hätte ich ehrlich gesagt am Ende doch nicht selber geschafft .

Wieso integrierst du am Ende einmal nach x und einmal nach y ?

Muss ich das immer so machen?

Das war also auch der letzte Teil der Aufgabe ?

Bezug
                                
Bezug
Exakte DGL wieder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 Di 20.03.2018
Autor: Martinius

Hallo Cash33,

> Danke ,das hätte ich ehrlich gesagt am Ende doch nicht
> selber geschafft .
>  
> Wieso integrierst du am Ende einmal nach x und einmal nach
> y ?

Das geben die Differentiale vor, die man von Anfang an mitnimmt.
  

> Muss ich das immer so machen?

Bei exakten DGL schon.
  

> Das war also auch der letzte Teil der Aufgabe ?


Du könntest höchstens noch C berechnen - mit dem Anfangswert.


Vielleicht kann einer der studierten Mathematiker hierzu noch etwas schreiben.


LG, Martinius

Bezug
                                        
Bezug
Exakte DGL wieder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:14 Mi 21.03.2018
Autor: fred97


> Hallo Cash33,
>  
> > Danke ,das hätte ich ehrlich gesagt am Ende doch nicht
> > selber geschafft .
>  >  
> > Wieso integrierst du am Ende einmal nach x und einmal nach
> > y ?
>  
> Das geben die Differentiale vor, die man von Anfang an
> mitnimmt.
>    
> > Muss ich das immer so machen?
>  
> Bei exakten DGL schon.
>    
> > Das war also auch der letzte Teil der Aufgabe ?
>
>
> Du könntest höchstens noch C berechnen - mit dem
> Anfangswert.
>  
>
> Vielleicht kann einer der studierten Mathematiker hierzu
> noch etwas schreiben.

Dann mach ich das mal: sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet im [mm] \IR^2 [/mm] und $M,N: G [mm] \to \IR$ [/mm] seien stetig differenzierbar.

Vorgelegt sei die Differentialgleichung

(*) $M(x,y)dx+M(x,y) dy=0$

Die DGL (*) heißt exakt, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion $F:G [mm] \to \IR$ [/mm] gibt mit

    [mm] F_x=M [/mm] und [mm] F_y=N [/mm]  auf G.

Da M und N stetig differenzierbar sind ist dann F 2-mal stetig differenzierbar.

Man kann nun zeigen: (*) ist exakt [mm] \gdw M_y=N_x [/mm] auf G (Integrabilitätsbedingungen).

Auf den Beweis gehe ich nicht ein, nur soviel: u.a. braucht man den Satz von Schwarz.

Von nun an sei (*) exakt und F wie oben (F heißt dann Stammfunktion von (M,N)).

Wie kommt man zu Lösungen von (*) ?

So: ist I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und $y:I [mm] \to \IR$ [/mm] eine differenzierbare Funktion, so kann man leicht zeigen:

y ist eine Lösung von (*) auf I  [mm] \gdw [/mm] es ex. eine Konstante C mit  F(x,y(x))=C  für alle x [mm] \in [/mm] I.

Grob: die Lösungen von (*) bekommt man, in dem man die Gleichung F(x,y)=C nach y "auflöst"

(Manchmal geht das nicht explizit, dann muss man (leider) die Lösungen in impliziter Form F(x,y)=C stehen lassen)

Ist noch eine Anfangsbedingung [mm] y(x_0)=y_0 [/mm] gegeben, so bestimmt man die Lösung des Anfangswertproblems, indem man die Konstante C über [mm] C=F(x_0,y_0) [/mm] ausrechnet.

Wie man sieht, läuft alles auf die Bestimmung eine Stammfunktion F hinaus. Wie kriegt man eine solche ?

So:  es gilt ja  [mm] F_x=M [/mm] und [mm] F_y=N [/mm]  auf G.

integriert man die erste Gleichung bezüglich x, so ergibt sich:

$F(x,y)= [mm] \int [/mm] M(x,y) dx+D(y)$,

wobei D eine nur von y abhängige differenzierbare Funktion ist. Die letzte Gleichung differenzieren wir nach y und bekommen

[mm] $F_y(x,y)= (\int [/mm] M(x,y) [mm] dx)_y+D'(y)$, [/mm]

und dass muss nun [mm] $=N_y$ [/mm] sein. Daraus bekommt man D'(y) und dann D(y).

Nehmen wir, als Beispiel,  die Aufgabe von oben her. Dort war

M(x,y)=y [mm] +\frac{1}{1+x^2} [/mm] und N(x,y)=x.

Gesucht ist nun eine Stammfunktion F von (M,N).

Wir haben [mm] F_x=M, [/mm] also ist F(x,y)=xy + arctan(x)+D(y). Es folgt [mm] F_y(x,y)=x+D'(y) [/mm] =N(x,y)=x,

also D'(y)=0. Da wir nur an einer Stammfunktion interessiert sind, wählen wir D(y)=0.

Damit ist  F(x,y)=xy + arctan(x) und die Lösungen der DGL bekommt man aus


xy + arctan(x) =C

>  
>
> LG, Martinius


Bezug
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