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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Exakte Dgl
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Exakte Dgl: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:22 Di 18.09.2012
Autor: judithlein

Hallo,

ich habe eine Frage zur exakten Dgl:

f(x,y) + g(x,y)*y' =0

Dazu haben wir folgenden Satz aufgeschrieben:
Vorgelegt sei eine Dgl wie oben beschrieben. Ferner seien I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall, y [mm] \in [/mm] D(I) mit (x,y(x)) [mm] \in \IR \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I.
Ferner sei F eine Stammfunktion zu (f,g) auf R. Dann gilt:
(y,I) ist eine Lösung von der obigen Dgl gdw. F(x,y(x)) ist konstant auf I.

Beweis:
(y,I) Lösung von obiger Dgl. auf I gdw. f(x,y(x)) + g(x,y(x))*y'(x)=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
gdw. [mm] F_{x}(x,y(x))+F_{y}(x,y(x))*y'(x)=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
gdw. [mm] \bruch{d}{dx}(F(x,y(x))= [/mm] 0 auf I gdw. F(x,y(x))=const. auf I

Zu meinen Fragen:
1. Wieso muss F konstant sein? F ist doch eine Funktion in Abhängigkeit von x und y, die nach x differenziert g ergibt und nach y differenziert f ergibt. Irgendwie verstehe ich den Satz anscheinend nicht richtig...

2. Wenn ich den Satz nicht richtig verstehe, kann ich erst recht den Beweis nicht verstehen...?

DANKE !

Gruß

        
Bezug
Exakte Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:46 Di 18.09.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zur exakten Dgl:
>  
> f(x,y) + g(x,y)*y' =0
>  
> Dazu haben wir folgenden Satz aufgeschrieben:
>  Vorgelegt sei eine Dgl wie oben beschrieben. Ferner seien
> I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall, y [mm]\in[/mm] D(I) mit (x,y(x)) [mm]\in \IR \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] I.
>  Ferner sei F eine Stammfunktion zu (f,g) auf R. Dann
> gilt:
>  (y,I) ist eine Lösung von der obigen Dgl gdw. F(x,y(x))
> ist konstant auf I.
>  
> Beweis:
>  (y,I) Lösung von obiger Dgl. auf I gdw. f(x,y(x)) +
> g(x,y(x))*y'(x)=0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I
>  gdw. [mm]F_{x}(x,y(x))+F_{y}(x,y(x))*y'(x)=0 \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I
>  gdw. [mm]\bruch{d}{dx}(F(x,y(x))=[/mm] 0 auf I gdw.
> F(x,y(x))=const. auf I
>  
> Zu meinen Fragen:
>  1. Wieso muss F konstant sein? F ist doch eine Funktion in
> Abhängigkeit von x und y, die nach x differenziert g
> ergibt und nach y differenziert f ergibt. Irgendwie
> verstehe ich den Satz anscheinend nicht richtig...


Sei (y,I) eine Lsg der DGL. Nicht F muß konstant auf I sein, sondern die Funktion x [mm] \to [/mm] F(x,y(x)).

FRED

>  
> 2. Wenn ich den Satz nicht richtig verstehe, kann ich erst
> recht den Beweis nicht verstehen...?
>  
> DANKE !
>  
> Gruß


Bezug
                
Bezug
Exakte Dgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:54 Di 18.09.2012
Autor: judithlein

In dem Beweis steht ja

[mm] \bruch{d}{dx}(F(x,y(x))=0 [/mm]

Wieso =0? Denn F(x,y(x)) differenziert nach x soll doch eigentlich f(x,y) ergeben.

Bezug
                        
Bezug
Exakte Dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Di 18.09.2012
Autor: fred97


> In dem Beweis steht ja
>  
> [mm]\bruch{d}{dx}(F(x,y(x))=0[/mm]
>  
> Wieso =0? Denn F(x,y(x)) differenziert nach x soll doch
> eigentlich f(x,y) ergeben.

Nein. Setze h(x)=F(x,y(x))

Die Kettenregel liefert:

     [mm] $h'(x)=F_x(x,y(x))*1+F_y(x,y(x))*y'(x)= [/mm] f(x,y(x))+g(x,y(x))*y'(x)$

Nun sieht man:

    y ist eine Lösung der DGL auf I  [mm] \gdw [/mm]  h'(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] I [mm] \gdw [/mm] h ist auf I konstant.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Exakte Dgl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:05 Di 18.09.2012
Autor: judithlein

Ah ja, ich glaube ich habe falsch gedacht.
Ich muss ja die Form meiner gegebenen Dgl berücksichtigen. Und da

f(x,y) +  g(x,y)*y' =0

ist, so muss die Stammfunktion konstant sein.


Bezug
                                        
Bezug
Exakte Dgl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:27 Di 18.09.2012
Autor: fred97


> Ah ja, ich glaube ich habe falsch gedacht.
>  Ich muss ja die Form meiner gegebenen Dgl
> berücksichtigen. Und da
>
> f(x,y) +  g(x,y)*y' =0
>  
> ist, so muss die Stammfunktion konstant sein.

Nein. Nochmal: nicht F muß konstant sein, sondern die Fkt. sondern die Funktion x $ [mm] \to [/mm] $ F(x,y(x)).

FRED

>  


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