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Exponent: Modulo
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 So 29.05.2016
Autor: b.reis

Aufgabe
Beweisen Sie folgende Aussage

[mm] \exists z\in\IZ [/mm] . [mm] 3^{3^{3}}=5z+2 [/mm]

Hallo

Es geht um Modulo Rechnungen und ich hab mehrere Probleme.

Zum einen bin ich mir nicht sicher was [mm] 3^{3^{3}} [/mm] ist, da der Taschenrechner bei [mm] 3^{9} [/mm] anderes berechnet als [mm] 3^{3^{3}}. [/mm]

Also mit welcher Zahl soll ich rechnen, denn eigentlich würde ich 3 hoch 3 ist 27 und das dann hoch 3 nehmen.

Dann habe ich 19683 durch 5 gerechnet, aber da bleibt dann ein Rest von 3 und nicht von 2. Somit muss die Zahl falsch sein.

Dann habe ich versucht die Zahl  [mm] 3^{3^{3}} [/mm]
zu zerlegen in irgendwas das Modulo 2 ergibt.


[mm] 3^{1}mod [/mm] 5=3

[mm] 3^{2}mod [/mm] 5=(3*3)mod 5=4

[mm] 3^{4}mod [/mm] 5=(4*4)mod 5=1

[mm] 3^{8}mod [/mm] 5=(1*1)mod 5 =1

dann habe ich mod (3*1)mod 5=4

Ich komme auf keine ganze Zahl z die, so dass die Gleichung [mm] 3^{3^{3}}=5z+2 [/mm] Stimmt

Irgendwelche Tipps ?

Die Aufgabe soll mit mod gelöst werden.
Danke

Benni


        
Bezug
Exponent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 So 29.05.2016
Autor: angela.h.b.


> Beweisen Sie folgende Aussage
>
> [mm]\exists z\in\IZ[/mm] . [mm]3^{3^{3}}=5z+2[/mm]
>  Hallo
>  
> Es geht um Modulo Rechnungen und ich hab mehrere Probleme.
>  
> Zum einen bin ich mir nicht sicher was [mm]3^{3^{3}}[/mm] ist, da
> der Taschenrechner bei [mm]3^{9}[/mm] anderes berechnet als
> [mm]3^{3^{3}}.[/mm]

Hallo,

das ist kein Wunder: [mm] 3^9=3^{3^2}\not=3^{3^3} [/mm]

>  
> Also mit welcher Zahl soll ich rechnen, denn eigentlich
> würde ich 3 hoch 3 ist 27 und das dann hoch 3 nehmen.

Nein, die Türme werden in der anderen Richtung abgearbeitet:

[mm] 3^{3^3}=3^{(3^3)}. [/mm]

>  
> Dann habe ich 19683 durch 5 gerechnet, aber da bleibt dann
> ein Rest von 3 und nicht von 2. Somit muss die Zahl falsch
> sein.
>
> Dann habe ich versucht die Zahl  [mm]3^{3^{3}}[/mm]
>  zu zerlegen in irgendwas das Modulo 2 ergibt.

Du meinst: was bei Division durch 5 den Rest 2 liefert.


> [mm]3^{1}mod[/mm] 5=3
>  
> [mm]3^{2}mod[/mm] 5=(3*3)mod 5=4

> [mm]3^{4}mod[/mm] 5=(4*4)mod 5=1
>  
> [mm]3^{8}mod[/mm] 5=(1*1)mod 5 =1

Bis hierher folge ich Dir.

>  
> dann habe ich mod (3*1)mod 5=4

Das verstehe ich nicht.

Du mußt herausfinden, wozu [mm] 3^3^3=3^{27} [/mm] äquivalent ist, wenn man modulo 5 rechnet.

Wenn Du Deine Vorarbeiten verwendest, bekommst Du

[mm] 3^3^3=3^{27}=3^{8+8+8+3}=3^8*3^8*3^8*3^3=... [/mm]

Oder Du kennst den "kleinen Fermat": [mm] a^{p-1}=1 [/mm] für p Primzahl und a kein Vielfaches von p.

Da hast Du dann [mm] 3^3^3=3^{27}=3^{6*4+3} [/mm] und frickelst nun weiter.

LG Angela


>  
> Ich komme auf keine ganze Zahl z die, so dass die Gleichung
> [mm]3^{3^{3}}=5z+2[/mm] Stimmt
>
> Irgendwelche Tipps ?
>
> Die Aufgabe soll mit mod gelöst werden.
> Danke
>  
> Benni
>  


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