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Forum "komplexe Zahlen" - Exponentialform in Normalform
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Exponentialform in Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Do 06.02.2014
Autor: bavarian16

Aufgabe
Addieren Sie folgende komplexe Zahlen:

a) [mm](4-2i)+\wurzel{2}e^{-i\bruch{\pi}{4}} [/mm]

Zuerst muss ich die beiden in die gleiche Form bringen:
[mm]\wurzel{2}e^{-i\bruch{\pi}{4}} [/mm]in Normalform.
Der Betrag [mm] (\wurzel{2}) [/mm] ist ja [mm] \wurzel{a^2+b^2}. [/mm]
Und das Argument [mm] (\pi/4) [/mm] ist [mm] arctan(\bruch{b}{a}) [/mm]

Wie komm ich jetzt auf a bzw. b?
Und auch wenn es einfacher wär die andere komplexe Zahl in die exp. Form umzuschreiben, wäre es nett wenn ihr mir die Umformung von normalenform in Exp.form zeigen könntet.

        
Bezug
Exponentialform in Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Do 06.02.2014
Autor: Sax

Hi,

> Addieren Sie folgende komplexe Zahlen:
>  
> a) [mm](4-2i)+\wurzel{2}e^{-i\bruch{\pi}{4}}[/mm]
>  Zuerst muss ich die beiden in die gleiche Form bringen:
>  [mm]\wurzel{2}e^{-i\bruch{\pi}{4}} [/mm]in Normalform.
>  Der Betrag [mm](\wurzel{2})[/mm] ist ja [mm]\wurzel{a^2+b^2}.[/mm]
>  Und das Argument [mm](\pi/4)[/mm] ist [mm]arctan(\bruch{b}{a})[/mm]

Das Argument der zweiten Zahl ist [mm] -\bruch{\pi}{4}. [/mm]
Das heißt, dass die Zahl auf der Winkelhalbierenden des IV. Quadranten liegt, also auf der Halb-Geraden b=-a mit a>0. Zusammen mit der Gleichung für den Betrag, die du schon angegeben hast, kannst du damit a und b bestimen.

>  
> Wie komm ich jetzt auf a bzw. b?
>  Und auch wenn es einfacher wär die andere komplexe Zahl
> in die exp. Form umzuschreiben, wäre es nett wenn ihr mir
> die Umformung von normalenform in Exp.form zeigen könntet.

Die Addition komplexer Zahlen ist einfacher, wenn sie in der Form z=a+bi vorliegen. Die andere Umwandlung käme bei der Multiplikation in Betracht, denn die ist in Polarkoordinaten einfacher.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Exponentialform in Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Do 06.02.2014
Autor: bavarian16


> Hi,
>  
> > Addieren Sie folgende komplexe Zahlen:
>  >  
> > a) [mm](4-2i)+\wurzel{2}e^{-i\bruch{\pi}{4}}[/mm]
>  >  Zuerst muss ich die beiden in die gleiche Form
> bringen:
>  >  [mm]\wurzel{2}e^{-i\bruch{\pi}{4}} [/mm]in Normalform.
>  >  Der Betrag [mm](\wurzel{2})[/mm] ist ja [mm]\wurzel{a^2+b^2}.[/mm]
>  >  Und das Argument [mm](\pi/4)[/mm] ist [mm]arctan(\bruch{b}{a})[/mm]
>  
> Das Argument der zweiten Zahl ist [mm]-\bruch{\pi}{4}.[/mm]
>  Das heißt, dass die Zahl auf der Winkelhalbierenden des
> IV. Quadranten liegt, also auf der Halb-Geraden b=-a mit
> a>0. Zusammen mit der Gleichung für den Betrag, die du
> schon angegeben hast, kannst du damit a und b bestimen.

Wie mach ich das? Ich kann dir nicht ganz folgen.
Das mit dem 4. Quatranten und der Winkelhalbierenden hab ich verstanden. Aber das ist ja nur ein Spezialfall oder? Meißten ist das Argument ja in irgendeiner Weise mit [mm] \pi [/mm] angegeben. Wie würde ich jetzt zB a und b für das Argument [mm] \pi/6 [/mm] bestimmen?
Hat das was mit dem Einheitskreis zu tun?


Bezug
                        
Bezug
Exponentialform in Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Do 06.02.2014
Autor: Sax

Hi,


> > Das Argument der zweiten Zahl ist [mm]-\bruch{\pi}{4}.[/mm]
>  >  Das heißt, dass die Zahl auf der Winkelhalbierenden
> des
> > IV. Quadranten liegt, also auf der Halb-Geraden b=-a mit
> > a>0. Zusammen mit der Gleichung für den Betrag, die du
> > schon angegeben hast, kannst du damit a und b bestimen.
>  
> Wie mach ich das? Ich kann dir nicht ganz folgen.

Nun, du setzt b=-a in die Gleichung [mm] \wurzel{2}=\wurzel{a^2+b^2} [/mm] ein und erhälst [mm] 2=a^2+(-a)^2=2a^2 [/mm] und damit [mm] a=\pm1, [/mm] wobei wir wegen a>0 nur a=1 gebrauchen können, damit wird b=-1 und schließlich [mm] \wurzel{2}*e^{-\bruch{\pi}{4}}=1-i. [/mm]

>  Das mit dem 4. Quatranten und der Winkelhalbierenden hab
> ich verstanden. Aber das ist ja nur ein Spezialfall oder?
> Meißten ist das Argument ja in irgendeiner Weise mit [mm]\pi[/mm]
> angegeben. Wie würde ich jetzt zB a und b für das
> Argument [mm]\pi/6[/mm] bestimmen?

Genau wie oben, nur ist diesmal der Tangens des Arguments nicht -1, sondern [mm] \bruch{\wurzel{3}}{3}, [/mm] die Halbgerade ist also [mm] b=\bruch{\wurzel{3}}{3}*a [/mm] (a>0)

>  Hat das was mit dem Einheitskreis zu tun?

Es ist [mm] a=|z|*\cos\(arg(z)) [/mm] und [mm] b=|z|*\sin\(arg(z)) [/mm]

Gruß Sax.


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