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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Exponentialverteilung
Exponentialverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Exponentialverteilung: Faltung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Do 30.10.2014
Autor: GeMir

Aufgabe
Seien $X, Y [mm] \overset{iid}{\sim} Exp(\lambda), \quad \lambda [/mm] > 0$. Sei $Z = X + Y$. Bestimmen Sie die Dichtefunktion von $Z$.




$f(z) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)g(z-t)dt} [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\lambda\cdot\exp(-\lambda t)\cdot\lambda\cdot\exp\big(-\lambda (z-t)\big)dt}\\ [/mm]
= [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\lambda^2\cdot\exp(-\lambda t -\lambda z +\lambda t))dt} [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\lambda^2\cdot\exp(-\lambda z)dt} [/mm] = [mm] \lambda^2\cdot\exp(-\lambda z)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{1dt}$ [/mm]

So weit so gut. Ich weiß auch, dass ich eigentlich nur den Integral [mm] $\int_{0}^{\infty}$ [/mm] brauche,
aber trotzdem verstehe ich nicht, wie ich zum Ergebnis $f(z) = [mm] \lambda^2\cdot\exp(-\lambda z)\cdot [/mm] z$ kommen soll.

        
Bezug
Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Do 30.10.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> So weit so gut. Ich weiß auch, dass ich eigentlich nur den Integral [mm]\int_{0}^{\infty}[/mm] brauche

Erstmal: DAS Integral.
Dann: So ganz stimmt das eben auch nicht.

Wie lautet die vollständige Dichtefunktion, wenn du sie sauber mit Indikatorfunktion aufschreibst.
Dann wird dir auch klar, wenn du das sauber durchziehst, wo dein z her kommt.

Dann steht da nämlich eben nicht mehr [mm] $\int_{-\infty}^\infty [/mm] 1 dt$ sondern sowas wie [mm] $\int_0^z [/mm] 1 dt$

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Exponentialverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Do 30.10.2014
Autor: GeMir

$f(z) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\lambda\cdot\exp(-\lambda t)\cdot 1_{(0, \infty)}(t)\cdot\lambda\cdot\exp\big(-\lambda (z-t)\big)\cdot 1_{(0, \infty)}(z-t)}dt\\ [/mm]
= [mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot 1_{(0, \infty)}(t)\cdot 1_{(0, \infty)}(z-t)}dt\\ [/mm]
= [mm] \lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{1_{(0, \infty)}(t)\cdot 1_{(0, \infty)}(z-t)}dt\\ [/mm]
[mm] \overset{?}{=} \lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{1_{(0, \infty)}(z)dt}\\ [/mm]
[mm] \overset{?}{=} \lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot\int_{0}^{z}{1dt}\\$ [/mm]
= [mm] \lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot [/mm] z$

Etwa so?

Bezug
                        
Bezug
Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Do 30.10.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> = [mm]\lambda^2\exp(-\lambda z)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{1_{(0, \infty)}(t)\cdot 1_{(0, \infty)}(z-t)}dt\\[/mm]

bis hierhin ok, danach wirds Blödsinn.

Mach dir mal klar und begründe, dass gilt: [mm] $1_{(0, \infty)}(t)\cdot 1_{(0, \infty)}(z-t) [/mm] = [mm] 1_{(0,z)}(t)$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Exponentialverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Do 30.10.2014
Autor: GeMir

[mm] $1_{(0, \infty)}(t)$ [/mm] nimmt genau dann DEN Wert 1 an, wenn $t [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm] ist, sonst nimmt DIE Funktion DEN Wert 0 an.
[mm] $1_{(0, \infty)}(z-t)$ [/mm] nimmt genau dann DEN Wert 1 an, wenn $(z-t) [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm] ist, sonst nimmt DIE Funktion DEN Wert 0 an.

DAS Produkt beider Funktionen wird wohl dann (und nur dann) gleich 1 sein, wenn sowohl $t [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$ [/mm] als auch $(z - t) [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$. [/mm]
Also muss $t > 0$ sein und gleichzeitig $z > t$.

[mm] $1_{(0, z)}(t)$ [/mm] nimmt genau dann DEN Wert 1 an, wenn $t [mm] \in [/mm] (0, z)$ ist. Also $t > 0$ und $t < z$.

Also [mm] $\lambda^2\cdot\exp(-\lambda z)\cdot\int_{-\infty}^{\infty}{1_{(0, z)}(t)dt} [/mm] = [mm] \lambda^2\cdot\exp(-\lambda z)\cdot\int_{0}^{z}{1dt}$ [/mm]


Bezug
                                        
Bezug
Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Do 30.10.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

[ok]

Gruß,
Gono

Bezug
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