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Exponentialverteilung: Kontrolle + Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 So 26.02.2006
Autor: s0ck3

Hallo.
Die Aufgabe: Die Haltbarkeit eines Anstrichs (in Jahren) wird als exponentialverteilt angenommen. Die durchschnittliche Haltbarkeit  bträgt 2 Jahre.
a) Wie viel Prozent der Latten bleibt zwischen ein und drei Jahren wetterfest?
->  [mm] \mu [/mm] = 1/ [mm] \lambda [/mm] = 1/2  
x sei die Anzahl der Jahre in denen der Anstrich haltbar ist

Also Dichtefunktion: f(x) =1/2  [mm] e^{-1/2*x} [/mm]
P(1 [mm] \le [/mm] x  [mm] \le [/mm] 3) = P(x [mm] \le [/mm] 3) - P (x  [mm] \le [/mm] 1)

=  [mm] \integral_{0}^{3}{1/2 e^{-1/2*x}} [/mm] -  [mm] \integral_{0}^{1}{ 1/2 e^{-1/2*x}} [/mm]
=[-e^-1/2*x] in den Grenzen 0 bis 3  -  [-e^-1/2*x] in den Grenzen 0 bis 1
= (-e^-3/2 + 1) - (-e^-1/2 + 1)
=-0,31+1+0,6065-1 = 0,3834

b)Bei wie viel Prozent weicht die Haltbarkeit um weniger als ein halbes Jahr vom Erwartungswer ab?

P(1,5  [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2,5) = [mm] \integral_{1,5}^{2,5}{1/2 e^{-1/2*x}} [/mm]
= [-e^-1/2*x] in den Grenzen 1,5 bis 2,5 = -0,2865+0,4724 = 0,1859

c)Welche Mindesthaltbarkeitsdauer kann für den Anstrich bei 90% aller Latten garantiert werden?

[mm] \mu [/mm] = 0,5  [mm] \delta [/mm] =  [mm] \wurzel{1/2²} [/mm] = 0,5

Gesucht K  [mm] \in \IN [/mm]

P(x  [mm] \ge [/mm] K) = 0,9
1-P(x  [mm] \le [/mm] k-1) = 0,9
P(x  [mm] \le [/mm] k-1) = 0,1
"Groß Phi" [(k-1-0,5) :0,5 = 0,1
(k-1,5):0,5 = -1,281
k=0,8595


so bis dahin

und

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 100 Latten nach 3 Jahren noch mindestens 30 Stück wetterfest?

hier fehlt mir leider jeglicher ansatz. Habt ihr vllt einen Tipp ?

Schon mal Vielen Dank und liebe Grüße

Philip

        
Bezug
Exponentialverteilung: Nochmal
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Mo 27.02.2006
Autor: s0ck3

Kann mir hier echt keiner helfen. Das ist ne Aufgabe wie sie im Vorbaitur drankommen wird und wir haben in der schule keine zeit mehr sie zu besprechen, also waer das schon wirklich super wichitg wenn jem mal drüberscheun könnte..

ich habe bei d) versucht:

P(x [mm] \ge [/mm] 3)  [mm] \ge [/mm] 0,3
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 - P(x [mm] \le [/mm] 3) = 0,3
[mm] \gdw \Phi [/mm] [(3-0,5):0,5] = 0,7
aber da kommt doch nur murks raus?

Danke schonmal Philip

Bezug
                
Bezug
Exponentialverteilung: Mehr Geduld!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 Mo 27.02.2006
Autor: Astrid

Hallo Philip,

während du die Mitteilung geschrieben hast, hab ich doch schon deine Frage beantwortet!

[stop] Sei bitte nicht ganz so ungeduldig, du kannst nicht nach nicht einmal einem Tag eine Antwort erwarten! Alle Antwortenden machen das völlig freiwillig und haben nicht immmer Zeit (und Lust) dazu!

Viele Grüße
Astrid

Bezug
                        
Bezug
Exponentialverteilung: Sorry :D
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Mo 27.02.2006
Autor: s0ck3

Hey sorry, ich dachte meine Frage verfällt nach einem Tag. Aber besten Dank werd mir das jetzt mal angucken.
Danach muss ich ncoh ein wenig attische Demokratie lernen :P

Schönen Tag noch und danke Astrid

Bezug
                                
Bezug
Exponentialverteilung: Fälligkeitszeitraum
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:24 Mo 27.02.2006
Autor: Astrid

Hallo Philip,

du kannst deinen Fälligkeitszeitraum festlegen, wenn du die Frage stellst. Wenn es dir also reicht, z.B. innerhalt einer Woche eine Antwort zu bekommen, dann kannst du das entsprechend einstellen:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Viele Grüße
Astrid

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Mo 27.02.2006
Autor: Astrid

Hallo Philip,

kurz ein paar Tipps: :-)

>  P(1 [mm]\le[/mm] x  [mm]\le[/mm] 3) = P(x [mm]\le[/mm] 3) - P (x  [mm]\le[/mm] 1)
>  
> =  [mm]\integral_{0}^{3}{1/2 e^{-1/2*x}}[/mm] -  [mm]\integral_{0}^{1}{ 1/2 e^{-1/2*x}}[/mm]
>  
> =[-e^-1/2*x] in den Grenzen 0 bis 3  -  [-e^-1/2*x] in den
> Grenzen 0 bis 1
> = (-e^-3/2 + 1) - (-e^-1/2 + 1)
> =-0,31+1+0,6065-1 = 0,3834

[ok]

>  
> b)Bei wie viel Prozent weicht die Haltbarkeit um weniger
> als ein halbes Jahr vom Erwartungswer ab?
>  
> P(1,5  [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2,5) = [mm]\integral_{1,5}^{2,5}{1/2 e^{-1/2*x}}[/mm]
> = [-e^-1/2*x] in den Grenzen 1,5 bis 2,5 = -0,2865+0,4724 =
> 0,1859

[ok]

>  
> c)Welche Mindesthaltbarkeitsdauer kann für den Anstrich bei
> 90% aller Latten garantiert werden?
>  
> [mm]\mu[/mm] = 0,5  [mm]\delta[/mm] =  [mm]\wurzel{1/2²}[/mm] = 0,5
>  
> Gesucht K  [mm]\in \IN[/mm]
>  
> P(x  [mm]\ge[/mm] K) = 0,9

[ok]

>  1-P(x  [mm]\le[/mm] k-1) = 0,9

[notok]

Es gibt ja nicht nur ganzzahlige Jahre, die bei der Exponentialverteilung vorkommen können, sondern jede beliebige positive Zahl!

Deshalb:

[mm]P(X\geq k)=0,9[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]P(X\leq k)=0,1[/mm]

Nun ist $X$ aber exponentialverteilt und nicht normalverteilt, daher:

[mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]\int_0^k \bruch{1}{2}e^{-\bruch{1}{2}t} \, dt=0,1[/mm]

> d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 100 Latten nach
> 3 Jahren noch mindestens 30 Stück wetterfest?

Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Latte mindestens 3 Jahre hält? Die kannst du berechnen:

[mm]P(X\geq3)=1-\int_0^3 \bruch{1}{2}e^{-\bruch{1}{2}t} \, dt[/mm]

und nennst sie [mm]p[/mm].

Nun ist doch die Anzahl der Latten, die nach 3 Jahren noch intakt sind, binomialverteilt mit Parametern [mm]n=100[/mm] und [mm]p[/mm]!

Viele Grüße
Astrid

Bezug
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