Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es sei [mm] $f(x,y)=6x-exp(3x-2y)-x^2-2y+2506215 [/mm] -->max$
und $x [mm] \ge [/mm] 4$ , [mm] $2x^2-x+y^2 \le [/mm] 7$
a) Handelt es sich um eine konkave Funktion?
b)Löse die Extremwertaufgabe |
Hallo,
Also ad konkav :
Die Hessematrix lautet :
[mm] $\pmat{ -9exp(3x-2y)-2 & 6exp(3x-2y) \\ 6exp(3x-2y) & -4exp(3x-2y) }$
[/mm]
Der erste Hauptminor lautet : $-9exp(3x-2y) $
Der zweite : $8exp(3x-2y) $
Da alternierende Vorzeichen vorliegen folgt, dass die Matrix negativ definit und damit die Funktion konkav ist.
Muss ich für die Extrema nun Lagrangemultiplikatoren verwenden oder kann ich einfach
[mm] $f_{x}, f_{y} [/mm] =0$ setzen und schauen ob der Extrempunkt diese Bedingungen erfüllt?
aus
$-3exp(3x-2y)-2x+6= 0$ und $2exp(3x-2y)-2=0$
erhält man : $x=0,5$ und [mm] $y=\frac{9}{4}$
[/mm]
Passt das so ?
Lg
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Bzw.
Wie kann man denn generell Ungleichungen einabauen ?
Hier eine weitere Aufgabe
[mm] $f(x,y)=x^2 +y^2 [/mm] $
1) Hat das Problem [mm] $f(x,y)=x^2 +y^2 [/mm] --->min$ mit $x [mm] \ge [/mm] -3$ eine Lösung
2) [mm] $f(x,y)=x^2 +y^2 [/mm] --->max$ [mm] $\x \ge [/mm] -3$ eine Lösung?
Ich verstehe die Aufgabe irgendwie nicht - der einzige Extrempunkt ist doch (0,0) und das ist ein Minimum
Kann mir jemand erklären, was da genau gemeint ist?
Lg und vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mi 27.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
> Bzw.
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> Wie kann man denn generell Ungleichungen einabauen ?
Da gibt es wohl mehrere Moeglichkeiten. Eine waere, erstmal ganz "normal" die Extrema zu bestimmen, danach die Ungleichheit zu ueberpruefen und danach noch den Rand anzuschauen.
>
>
> Hier eine weitere Aufgabe
>
> [mm]f(x,y)=x^2 +y^2[/mm]
>
> 1) Hat das Problem [mm]f(x,y)=x^2 +y^2 --->min[/mm] mit [mm]x \ge -3[/mm]
Ich verstehe das mit dem Pfeil nicht genau? Ist damit gemeint, dass das Minimum/Maximum gesucht ist?
> eine Lösung
> 2) [mm]f(x,y)=x^2 +y^2 --->max[/mm] [mm]x \ge -3[/mm] eine Lösung?
>
>
> Ich verstehe die Aufgabe irgendwie nicht - der einzige
> Extrempunkt ist doch (0,0) und das ist ein Minimum
Ok. Das heisst, dass offensichtlich $x = 0$.
Erste Frage: Ist [mm] $x\ge [/mm] -3$ erfuellt!?
Zweite Frage: Was passiert auf dem Rand $x=-3$ deiner Ungleichheitsmenge!?
(Entsprechend bei deinem ersten Post: Erfuellt: $x=0.5$ (ich hab's nicht nachgerechnet...) [mm] $x\ge [/mm] 4$?)
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> Kann mir jemand erklären, was da genau gemeint ist?
>
>
> Lg und vielen dank
Gruss,
Chris
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> Huhu,
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> > Bzw.
> >
> > Wie kann man denn generell Ungleichungen einabauen ?
>
> Da gibt es wohl mehrere Moeglichkeiten. Eine waere, erstmal
> ganz "normal" die Extrema zu bestimmen, danach die
> Ungleichheit zu ueberpruefen und danach noch den Rand
> anzuschauen.
>
> >
> >
> > Hier eine weitere Aufgabe
> >
> > [mm]f(x,y)=x^2 +y^2[/mm]
> >
> > 1) Hat das Problem [mm]f(x,y)=x^2 +y^2 --->min[/mm] mit [mm]x \ge -3[/mm]
>
> Ich verstehe das mit dem Pfeil nicht genau? Ist damit
> gemeint, dass das Minimum/Maximum gesucht ist?
genau
>
> > eine Lösung
> > 2) [mm]f(x,y)=x^2 +y^2 --->max[/mm] [mm]x \ge -3[/mm] eine Lösung?
> >
> >
> > Ich verstehe die Aufgabe irgendwie nicht - der einzige
> > Extrempunkt ist doch (0,0) und das ist ein Minimum
>
> Ok. Das heisst, dass offensichtlich [mm]x = 0[/mm].
> Erste Frage:
> Ist [mm]x\ge -3[/mm] erfuellt!?
natürlich.
> Zweite Frage: Was passiert auf dem Rand [mm]x=-3[/mm] deiner
> Ungleichheitsmenge!?
dort ist [mm] $f(-3,y)=9+y^2 [/mm] $ , aber was bringt mir das ?
>
> (Entsprechend bei deinem ersten Post: Erfuellt: [mm]x=0.5[/mm] (ich
> hab's nicht nachgerechnet...) [mm]x\ge 4[/mm]?)
natürlich nicht.
Und wie meinst du das genau mit den Randpunkten ?
Also ich berechne mal ganz generell Kandidaten für Extrema durch Nullsetzen der Ableitungen und dann, sehe ich mal nach ob die Ungleichungen erfüllt sind - aber wie genau meisnt du das mit den Randpunkten?
>
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> >
> > Kann mir jemand erklären, was da genau gemeint ist?
> >
> >
> > Lg und vielen dank
>
> Gruss,
> Chris
Gruß
Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 29.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 29.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
Also ich habe mir das Optimierungsproblem
$f(x,y)= [mm] 6x-e^{3x-2y}-x^2 [/mm] -2y + 25062015 -->max$
unter den Bedingungen : x [mm] \ge [/mm] 4 und [mm] 2x^2-x+y^2 \le [/mm] 70
nochmal angesehen.
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] 6-2x-3e^{3x-2y}
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y) [/mm] = [mm] 2e^{3x-2y}-2
[/mm]
Das GLS [mm] f_{x} [/mm] = 0 , [mm] f_{y} [/mm] = 0
hat die Lösung : $x= [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] , $y= [mm] \frac{9}{4}$
[/mm]
aber:
$(1/2 , 9/4) [mm] \not \in \{(x,y) | x > 4 & 2x^2 -x+y^2 <70 \}$
[/mm]
also müssen nur noch die Randextrema untersucht werden ...
Das würde z.B. mittels Lagrange gehen :
[mm] \phi(x,y,\lambda [/mm] , [mm] \psi) [/mm] = [mm] 6x-e^{3x-2y}-x^2 [/mm] -2y +25062015 + [mm] \lambda (2x^2-x+y^2-70) +\psi [/mm] (x-4)
alternativ könnte man auch x=4 in die zweite NB einsetzen oder?
Jedenfalls ist
[mm] \phi_{x} [/mm] =0
[mm] \phi_{y} [/mm] = 0
[mm] \phi_{\lambda}=0
[/mm]
[mm] \phi_{\psi} [/mm] = 0
nicht vernünftig lösbar ....
was mache ich falsch ?
Lg und danke Peter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Mi 16.03.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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