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Extremalproblem: Idee für die Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 So 30.11.2014
Autor: Doopey2014

Aufgabe
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 12 cm und 8 cm lang. Dieses Dreieck ist ein möglichst großes Rechteck einzuschreiben, von dem zwei Seiten auf den Katheten des Dreiecks liegen.

So, ich habe mir dazu eine Skizze gemalt und suche ein Rechteck, dass in einem Dreieck liegt.

Ich wollte mit der Hauptbedingung anfangen. Das Rechteck soll ja möglichst groß sein, also;

HB: A=a*b

Nun habe ich aber keinen Ansatz zur Nebenbedingung.
Kann mir jemand helfen? Vielen Dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Extremalproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 So 30.11.2014
Autor: abakus


> Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 12 cm und 8
> cm lang. Dieses Dreieck ist ein möglichst großes Rechteck
> einzuschreiben, von dem zwei Seiten auf den Katheten des
> Dreiecks liegen.
> So, ich habe mir dazu eine Skizze gemalt und suche ein
> Rechteck, dass in einem Dreieck liegt.

>

> Ich wollte mit der Hauptbedingung anfangen. Das Rechteck
> soll ja möglichst groß sein, also;

>

> HB: A=a*b

>

> Nun habe ich aber keinen Ansatz zur Nebenbedingung.
> Kann mir jemand helfen? Vielen Dank

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hallo, 
du kannst das Dreieck in ein Koordinatensystem legen. Katheten auf die Achsen, rechter Winkel im Ursprung.
Du hast dann z.B. die Eckpunkte C(0|0), A(8|0), B(0,12)
Dein Rechteck hat dann eine Ecke im Ursprung und die gegenüberliegende Ecke P auf der Geraden durch A und B. Die möglichen Koordinaten eines solchen Punktes P liefern die möglichen Längen und Breiten des Rechtecks.
Gruß Abakus

Bezug
                
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Extremalproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 So 30.11.2014
Autor: Doopey2014

Ich habe mir jetzt ein Koordinatensystem gemalt, wie mir vorgeschlagen wurde. Leider sehe ich nun keine weitere Vorgehensweise.
Woher weiß ich, an welchem Punkt der Strecke AB ein größtmögliches Dreieck vorliegt?
Und wenn mir da die Längen und Breiten des Rechtecks weiterhelfen, wie kann ich diese ermitteln?

Bezug
                        
Bezug
Extremalproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 So 30.11.2014
Autor: M.Rex


> Ich habe mir jetzt ein Koordinatensystem gemalt, wie mir
> vorgeschlagen wurde. Leider sehe ich nun keine weitere
> Vorgehensweise.
> Woher weiß ich, an welchem Punkt der Strecke AB ein
> größtmögliches Dreieck vorliegt?

Den suchst du ja.

> Und wenn mir da die Längen und Breiten des Rechtecks
> weiterhelfen, wie kann ich diese ermitteln?

Nenne mal die waagerechte Seite des Rechtecks x und die senkrechte Seite y, dann hast du die Nebenbedingung mit der Geraden y=mx+b

Marius

Bezug
                                
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Extremalproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 So 30.11.2014
Autor: Doopey2014

Nun verzweifel ich leider :(
Ist meine Hauptbedingung denn richtig mit A= a*b ?
Dann habe ich mir jetzt die Nebenbedingung notiert:
y= mx+b
Die ich aber nicht verstehe. Also das ist einfach die Grundform einer Gerade. Ist das die Gearde AB damit ich...? Ja warum eigentlich?
Aber ich nehme es erstmal so hin und löse die NB nach b auf:
b= [mm] \bruch{y}{mx} [/mm]

Wenn ich diese jetzt für die Zielfunktion einsetze erhalte ich folgendes:
A = a* [mm] \bruch{y}{mx} [/mm]
Jetzt weiß ich nicht welche Zahlen ich eintragen kann, denn was ist hier nun a, b, x, y? Ich dachte a ist die Seite des Dreiecks mit 12 cm, aber mein a soll doch eine Seite des Rechtecks werden?



Bezug
                                        
Bezug
Extremalproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 So 30.11.2014
Autor: M.Rex

Hallo

[Dateianhang nicht öffentlich]

Die Gerde durch A und B hat die Form y=-1,5x+8

Nenne die waagerechte Rechteckseite mal x, die senkrechte Seite mal y.

Dann gibt die Gerade y=-1,5x+8 deine Nebenbedingung.

Damit bekommst du für die Rechteckfläche:
[mm] A(x)=x\cdot(-1,5x+8) [/mm]

Von dieser quadratischen, nach unten geöffneten Funktion suche nun den Scheitelpunkt, dieser ist der höchste Punkt.
Die x-Koordinate dieses Scheitelpunkts ist die waagerechte Seite des maximalen Rechtecks und die x-Koordinate des Punktes P.
Die y-Koordinate des Scheitels ist die maximale Fläche.
Die y-Koordinate von P ist dann die senkrechte Seite des Rechteecks

Marius

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
        
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Extremalproblem: Alternative Strahlensatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 So 30.11.2014
Autor: M.Rex

Hallo

Den Zusammenhang zwischen a und b kannst du auch per Strahlensatz bestimmen, es gilt:
[mm] \frac{b}{8}=\frac{12-a}{12} [/mm]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Marius

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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