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Forum "Differenzialrechnung" - Extrempunkt bei Potenzfunktion
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Extrempunkt bei Potenzfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Mi 06.05.2015
Autor: hase-hh

Aufgabe
Die Funktion f(x) = [mm] x^4 [/mm]  hat offensichtlich bei x=0 ein Minimum.

f ' (x) = [mm] 4*x^3 [/mm]  

f '' (x) = [mm] 12*x^2 [/mm]  

Ok.

Allerdings führt  f ' (x) = 0    x=0  zu f '' (0) = 0.  

Daraus würde ich die Schlußfolgerung ziehen, dass bei x=0 kein relatives Extremum existiert.

Aber dies ist offensichtlich nicht richtig!??

Was bedeutet das?

Versagt hier das hinreichende Kriterium?  

Merkwürdig ist es jedenfalls!

Gibt es Ideen oder Erklärungen?



Danke & Gruß!!

        
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Extrempunkt bei Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Mi 06.05.2015
Autor: chrisno

Es ist eben nur ein hinreichendes Kriterium. Falls dieses nicht erfüllt ist, weißt Du nur, dass Du so die Frage nicht beantworten kannst. Nimm ein anderes hinreichendes Kriterium, zum Beispiel die Monotonie. Oder argumentiere, etwas ausführlicher und korrekter, wie ich es gerade eben gemacht habe. http://www.vorhilfe.de/read?t=1057744


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Extrempunkt bei Potenzfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Mi 06.05.2015
Autor: hase-hh

Bisher habe ich gelernt, dass ein relativer Extrempunkt dann zweifelsfrei nachgewiesen ist, wenn das notwendige und das hinreichende Kriterium erfüllt ist...

Und im Umkehrschluß, wenn es nicht erfüllt ist, dann ist da auch kein Extrempunkt.

Sicher gibt es auch noch den Nachweis über den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung an der Stelle; vermutlich meinst du das mit Monotoniekriterium.

Aber dass ich ggf. beide hinreichenden Kriterien untersuchen muss, davon habe ich bisher nichts gehört!!

Wenn da so ist, könnte ich also eine Stelle, an der f ' (x) = 0 ist, zunächst in f '' (x) einsetzen und falls f '' an dieser Stelle gleich null ist, müsste ich zusätzlich die Umgebung der Stelle prüfen, d.h. ob das Vorzeichen von f ' (x) wechselt.

Ist das dann alles?




Zu deinem Link. Erschließt sich mir nicht ganz, weil da ja  A '' [mm] (\bruch{2000}{\pi}) [/mm] = - [mm] 4\pi [/mm]  also immer kleiner als null ist.

Daher brauche die weitere Argumentation nicht. Es sei denn, du willst auf absolute Extremwerte hinaus?  










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Extrempunkt bei Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 Mi 06.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Bisher habe ich gelernt, dass ein relativer Extrempunkt
> dann zweifelsfrei nachgewiesen ist, wenn das notwendige und
> das hinreichende Kriterium erfüllt ist...
>
> Und im Umkehrschluß, wenn es nicht erfüllt ist, dann ist
> da auch kein Extrempunkt.

nein, der Umkehrschluss ist doch falsch. Überleg doch mal, warum ein
hinreichendes Kriterium auch hinreichend heißt:
Bei der Aussage

(*)    $A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$

sagt man, dass A hinreichend für B ist (d.h., wenn die Wahrheit von A erkannt
ist, liefert (*), dass dann auch B wahr sein muss).

Wenn aber A nicht gilt, dann heißt das doch noch lange nicht, dass B nicht
gilt.

Beispiel: Sei $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm]

Aussage A: [mm] $x=-2\,$ [/mm]

Aussage B: [mm] $x^2=4\,.$ [/mm]

Offensichtlich gilt

    $A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$,

denn

    $x=-2$ [mm] $\Longrightarrow$ $x^2=(-2)^2=4$. [/mm]

Aber

    [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \Longrightarrow (\neg [/mm] B)$

ist Unsinn, wie Dir der Fall $x=2$ zeigt...

Jetzt zu oben:
Ist $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] zweimal differenzierbar, so gilt: Damit [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] eine Extremstelle ist,
muss [mm] $f\,'(x_0)=0$ [/mm] sein.

Was bedeutet das? Das bedeutet: Du berechnest

    [mm] $\text{PotentielleExtremstellenMenge}=\{x_e \in \IR \mid f\,'(x_e)=0\}$. [/mm]

Damit weißt Du: An allen Stellen $x [mm] \in \IR \red{\,\setminus}\text{PotentielleExtremstellenMenge}$ [/mm] liegen KEINE Extremstellen
vor!

Nun gibt es ein hinreichendes Kriterium: Ist [mm] $x_0$ [/mm] eine potentielle Extremstelle
(d.h. [mm] $x_0 \in \text{PotentielleExtremstellenMenge}$) [/mm] UND ist zudem die Voraussetzung

    [mm] $f\,''(x_0) \neq [/mm] 0$

erfüllt, so ist [mm] $x_0$ [/mm] auch eine tatsächliche Extremstelle.

Diese Aussage beinhaltet in keinster Weise, dass eine potentielle Extremstelle,
die [mm] $f\,''(x_0) \neq [/mm] 0$ nicht erfüllt (d.h. [mm] $f\,''(x_0)=0$ [/mm] gilt), auch keine Extremstelle sei.

Du weißt nur: Ist [mm] $x_0$ [/mm] potentielle Extremstelle (weil [mm] $f\,'(x_0)=0$ [/mm] gilt), die aber
nun doch keine wahre Extremstelle ist, dann erfüllt [mm] $x_0$ [/mm] NICHT [mm] $f\,''(x_0) \neq [/mm] 0$.

Stichwort: Kontraposition! ($A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$ ist gleichwertig mit [mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Longrightarrow (\neg [/mm] A)$; beachte
dabei "den Seitenwechsel"!)

Gruß,
  Marcel

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Extrempunkt bei Potenzfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:29 Mi 06.05.2015
Autor: hase-hh

Moin Marcel,

in der Tat, was der Begriff "hinreichend" in diesem Zusammenhang bedeutet, habe ich nie richtig verstanden.

Notwendig finde ich da allerdings sofort einleuchtend, nämlich nur dort, wo die Steigung null ist, können überhaupt nur Extrempunkte liegen.

"Hinreichend" erschließt sich mir allerdinsg immer noch nicht.

Ich versuchs nochmal, wenn (mindestens) eine der beiden hinreichenden Bedingungen erfüllt ist, dann ist an der Stelle ein Extremum.
Falls nicht, ist dort kein Extremum.

?!

LG
Wolfgang

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Extrempunkt bei Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 Do 07.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Moin Marcel,
>  
> in der Tat, was der Begriff "hinreichend" in diesem
> Zusammenhang bedeutet, habe ich nie richtig verstanden.
>
> Notwendig finde ich da allerdings sofort einleuchtend,
> nämlich nur dort, wo die Steigung null ist, können
> überhaupt nur Extrempunkte liegen.

genau! Wenn die Steigung nicht Null ist, ist das auch kein Extrempunkt,
wenn man es anders formuliert. Aber dass das zwar notwendig, aber nicht
hinreichend ist, zeigt Dir schon die Funktion [mm] $f(x)=x^3\,.$ [/mm]
  

> "Hinreichend" erschließt sich mir allerdinsg immer noch
> nicht.

Wenn Du eine zweimal differenzierbare Funktion $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] hast, dann
ist folgendes Wissen über eine Stelle [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] HINREICHEND, um sagen zu
können, an dieser liegt eine Extremstelle vor:
Neben der Tatsache [mm] $f\,'(x_0)=0$ [/mm] (dies muss sein, denn [mm] $x_0$ [/mm] wäre andernfalls ja
noch nicht mal eine potentielle Extremstelle) REICHT ES AUS

    [mm] $f\,''(x_0) \neq [/mm] 0$

zu erkennen.
  

> Ich versuchs nochmal, wenn (mindestens) eine der beiden
> hinreichenden Bedingungen erfüllt ist, dann ist an der
> Stelle ein Extremum.

Deswegen heißen sie hinreichend. Was ist aber das andere hinreichende
Kriterium, von dem Du sprichst?

> Falls nicht, ist dort kein Extremum.

Das ist schon wieder der Fehler: Wenn Du

    $(A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \Longrightarrow [/mm] C$

hast, dann bedeutet das noch lange nicht

    [mm] $\neg(A \vee [/mm] B) [mm] \Longrightarrow (\neg [/mm] C)$ bzw. [mm] $(\red{(}(\neg [/mm] A) [mm] \wedge (\neg B)\red{)} \Longrightarrow (\neg [/mm] C))$,

sondern nur:

    [mm] $(\neg [/mm] C) [mm] \Longrightarrow (\underbrace{\text{weder }A \text{ noch }B}_{(\neg A) \wedge (\neg B)})$ [/mm]

Und nochmal: Um mit

(*)    $A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$

auf die Wahrheit von B zu schließen, muss geprüft werden, dass die
Voraussetzung A auch gegeben ist. Wenn man weiß, dass A gilt, dann
liefert (*), dass B gilt.
"Das Wissen von A ist dann hinreichend für B.", grobgesagt.
(Das Nichtwissen von A sagt aber noch lange nicht aus, dass B dann
nicht gilt.
Alltagsbeispiel: Es ist hinreichend, zu wissen, dass es regnet, damit die
Straße nass ist.
Das Wissen "es regnet" ist aber keinesfalls notwendig dafür, dass die
Straße nass wird: Ich kann sie ja auch mit dem Gartenschlauch besprühen.
Das bedeutet wiederum: Wenn ich weiß, dass es nicht regnet, weiß ich
aber noch lange nicht, dass die Straße nicht doch nass ist!)

Wenn man aber etwa weiß, dass A nicht gilt, dann hilft einem (*) nicht:
I.A. ist es so: B kann dann gelten, oder auch eben nicht!

Machen wir mal ein anderes Beispiel: Sei $x [mm] \in \IR$. [/mm] Es gilt

    $x [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\Longrightarrow$ $|x|=\sqrt{x^2}$. [/mm]

Hier ist $x [mm] \ge [/mm] 0$ hinreichend dafür, dass [mm] $|x|=\sqrt{x^2}$ [/mm] gilt. Das ist aber gar
nicht notwendig, denn [mm] $|x|=\sqrt{x^2}$ [/mm] gilt für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Nach Deiner Logik
müßte für $x < 0$ dann $|x| [mm] \neq \sqrt{x^2}$ [/mm] sein, also etwa

    $|-3| [mm] \neq \sqrt{(-3)^2}$. [/mm]

Wenn ich aber

    $x [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\Longrightarrow$ $x=\sqrt{x^2}$ [/mm]

schreibe, dann dürfte ich [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] auch durch [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] ersetzen; d.h.
$x [mm] \ge [/mm] 0$ erweist sich auch als notwendig für [mm] $x=\sqrt{x^2}$. [/mm]

Sowas muss i.a. aber nicht gelten, wie das davorstehende Beispiel ja
gezeigt hat!

P.S.: Vielleicht hilft Dir auch

    Mein Artikel hier!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Extrempunkt bei Potenzfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:12 Do 07.05.2015
Autor: hase-hh

Das andere (alternative) hinreichende Kriterium ist,
ein Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung an der Stelle [mm] x_0. [/mm]

Ich folgere aus deiner Antwort, dass man nichts über die Stelle sagen kann, wenn:

- weder f [mm] ''(x_0) \not= [/mm] 0 ist

- noch ein VZW von f ' (x)  in der Umgebung von [mm] x_0 [/mm] vorliegt.

Dann könnte also u.U.  immer noch eine Extremstelle vorliegen, nur durch die beiden angewendeten "hinreichenden Kriterien" ist dies in dem Fall nicht nachweisbar.









Bezug
                                                        
Bezug
Extrempunkt bei Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:54 Do 07.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Das andere (alternative) hinreichende Kriterium ist,
> ein Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung an der Stelle [mm]x_0.[/mm]
>
> Ich folgere aus deiner Antwort, dass man nichts über die
> Stelle sagen kann, wenn:
>
> - weder f [mm]''(x_0) \not=[/mm] 0 ist
>
> - noch ein VZW von f ' (x)  in der Umgebung von [mm]x_0[/mm]
> vorliegt.
>
> Dann könnte also u.U.  immer noch eine Extremstelle
> vorliegen, nur durch die beiden angewendeten "hinreichenden
> Kriterien" ist dies in dem Fall nicht nachweisbar.

genau.

Man könnte zwar auf die Idee kommen, etwa zu sagen: "Mhm, aber wenn
ich doch etwa eine lokale Minimalstelle habe, dann muss doch die Funktion
links davon fallen und rechts davon steigen, jedenfalls, wenn ich nahe
genug ranzoome."

Das Problem an der Sache ist dann aber: Die kann bspw. ja ziemlich *wild*
nahe der potentiellen Minimalstelle immer noch rumoszillieren.

Falls Fred das liest hat er vielleicht auch ein Beispiel parat.

Was Dich vielleicht aber auch interessieren könnte, ist die Aussage von
Satz 14.6 von hier:

    []http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf

Betrachten wir mal [mm] $f(x)=x^4\,.$ [/mm] Klar:

    [mm] $f\,'(x)=0$ $\iff$ $x=0\,.$ [/mm]

Das ist die einzige potentielle Extremstelle: [mm] $x_0=0$. [/mm]

Nun betrachten wir [mm] $f^{(n)}(x_0)$ [/mm] (die n-te Ableitung von f an der Stelle [mm] $x_0=0$): [/mm]

    [mm] $f^{(2)}(x_0)=f\,''(x_0)=12\cdot {x_0}^2=0$ [/mm]

    [mm] $f^{(3)}(x_0)=f\,''(x_0)=24\cdot {x_0}=0$ [/mm]

    [mm] $f^{(4)}(x_0)=f\,''(x_0)=24 \neq [/mm] 0$

Es gilt also [mm] $f^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(0)=0$ [/mm] für alle $k [mm] \in \{1,2,3=n\}$ [/mm] und [mm] $f^{(3+1)}(0) \neq 0\,,$ [/mm] das [mm] $n\,$ [/mm] des
Satzes ist mit $n=3$ also ungerade. Da [mm] $f^{(3+1)}(0)=24 [/mm] > 0$ ist, ist [mm] $x_0=0$ [/mm]
Minimalstelle.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Extrempunkt bei Potenzfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Do 07.05.2015
Autor: fred97


>  Satz 14.6 von hier:
>  
> []http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
>  


Auch dieser Satz erschlägt nicht alles. Sei

[mm] f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ e^{- \bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \ne 0 \end{cases} [/mm]

1. $f [mm] \in C^{\infty}(\IR)$; [/mm]

2. [mm] $f^{(n)}(0)=0$ [/mm]  für alle $n [mm] \in \IN_0$; [/mm]

3. $f$ hat in $0$ ein globales Minimum.

FRED

Bezug
                                                                        
Bezug
Extrempunkt bei Potenzfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:53 Do 07.05.2015
Autor: Marcel

Hi,

> >  Satz 14.6 von hier:

>  >  
> >
> []http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
>  >  
>
>
> Auch dieser Satz erschlägt nicht alles. Sei

nein, das wäre auch zu schön. Aber er ist oft sehr hilfreich, bzw. hilfreicher,
wie manch anderer Satz.
Und für das eingangs erwähnte Beispiel [mm] ($x^4$) [/mm] reicht er aus. ^^

> [mm]f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ e^{- \bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \ne 0 \end{cases}[/mm]
>  
> 1. [mm]f \in C^{\infty}(\IR)[/mm];
>  
> 2. [mm]f^{(n)}(0)=0[/mm]  für alle [mm]n \in \IN_0[/mm];
>  
> 3. [mm]f[/mm] hat in [mm]0[/mm] ein globales Minimum.

Naja, die Voraussetzungen zur Anwendung des Satzes sind halt nicht
erfüllt. ;-)

Gruß,
  Marcel

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