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Extremstellen und Wendestellen: Rückfrage, Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Fr 23.12.2016
Autor: Dom_89

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion

f(x) = [mm] x^{2}*ln(x) [/mm]

a) Bestimmen Sie alle Extremstellen von f
b) Bestimmen Sie alle Wendestellen von f

Hallo,

ich bin mir z.Zt. unsicher, ob mein Vorgehen richtig und auch vollständig ist und würde mich freuen, wenn einer von euch einmal über meine Lösung schauen kann :)

Ich habe zunächst alle notwendigen Ableitungen gebildet:


f(x) = [mm] x^{2}*ln(x) [/mm]

f´(x) = 2x*ln(x)+x

f´´(x) = 2*ln(x)+3

Für die Extremstellen habe ich die erste Ableitung gleich Null gesetzt (f´(x) =0) und den Wert anschließend in die Ausgangsfunktion eingesetzt (notwendige Bedingungen):

f´(x) = 0
2x*ln(x)+x = 0
[mm] x_{E} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{2}} [/mm]

[mm] f(x_{E}) [/mm] = [mm] x_{E}^{2}*ln(x_{E}) [/mm]
= [mm] (e^{-\bruch{1}{2}})^{2}*ln(e^{-\bruch{1}{2}}) [/mm]
= - [mm] \bruch{1}{2}*e^{-1} [/mm]

Für die (hinreichende Bedingung) habe ich dann einen der o.g. Werte in die zweite Ableitung eingesetzt:

[mm] f´´(x_{E}) [/mm] = [mm] 2*ln(x_{E})+3 [/mm]
[mm] f´´(e^{-\bruch{1}{2}}) [/mm] = [mm] 2*ln(e^{-\bruch{1}{2}})+3 [/mm]
[mm] f´´(e^{-\bruch{1}{2}}) [/mm] = 2 ==> Tiefpunkt

Für die Wendestellen habe ich nun die zweite Ableitung gleich Null gesetzt und anschließend diesen Wert in die Ausgangsfunktion eingesetzt:

f´´(x) = 0
2*ln(x)+3 = 0
[mm] x_{W} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{3}{2}} [/mm]

[mm] f´´(x_{W}) [/mm] = [mm] 2*ln(x_{W})+3 [/mm]
= [mm] 2*ln(e^{-\bruch{3}{2}})+3 [/mm]
= - [mm] \bruch{3}{2}*e^{-3} [/mm]

Ist das soweit richtig?
Habe ich noch etwas vergessen?

Vielen Dank für eure Hilfe :)

        
Bezug
Extremstellen und Wendestellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Fr 23.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben ist die Funktion

>

> f(x) = [mm]x^{2}*ln(x)[/mm]

>

> a) Bestimmen Sie alle Extremstellen von f
> b) Bestimmen Sie alle Wendestellen von f
> Hallo,

>

> ich bin mir z.Zt. unsicher, ob mein Vorgehen richtig und
> auch vollständig ist und würde mich freuen, wenn einer
> von euch einmal über meine Lösung schauen kann :)

>

> Ich habe zunächst alle notwendigen Ableitungen gebildet:

>
>

> f(x) = [mm]x^{2}*ln(x)[/mm]

>

> f´(x) = 2x*ln(x)+x

>

> f´´(x) = 2*ln(x)+3

>

Die Ableitungen stimmen.

> Für die Extremstellen habe ich die erste Ableitung gleich
> Null gesetzt (f´(x) =0) und den Wert anschließend in die
> Ausgangsfunktion eingesetzt (notwendige Bedingungen):

>

> f´(x) = 0
> 2x*ln(x)+x = 0
> [mm]x_{E}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{1}{2}}[/mm]

>

Ja, das ist richtig.

> [mm]f(x_{E})[/mm] = [mm]x_{E}^{2}*ln(x_{E})[/mm]
> = [mm](e^{-\bruch{1}{2}})^{2}*ln(e^{-\bruch{1}{2}})[/mm]
> = - [mm]\bruch{1}{2}*e^{-1}[/mm]

>

Das ist zwar auch richtig, jedoch in meinen Augen unnötig, wenn nach den Extremstellen gefragt ist.

> Für die (hinreichende Bedingung) habe ich dann einen der
> o.g. Werte in die zweite Ableitung eingesetzt:

>

> [mm]f´´(x_{E})[/mm] = [mm]2*ln(x_{E})+3[/mm]
> [mm]f´´(e^{-\bruch{1}{2}})[/mm] = [mm]2*ln(e^{-\bruch{1}{2}})+3[/mm]
> [mm]f´´(e^{-\bruch{1}{2}})[/mm] = 2 ==> Tiefpunkt

>

Auch das ist korrekt.

> Für die Wendestellen habe ich nun die zweite Ableitung
> gleich Null gesetzt und anschließend diesen Wert in die
> Ausgangsfunktion eingesetzt:

>

> f´´(x) = 0
> 2*ln(x)+3 = 0
> [mm]x_{W}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{3}{2}}[/mm]

>

Auch wieder richtig.

> [mm]f´´(x_{W})[/mm] = [mm]2*ln(x_{W})+3[/mm]
> = [mm]2*ln(e^{-\bruch{3}{2}})+3[/mm]
> = - [mm]\bruch{3}{2}*e^{-3}[/mm]

>

Auch hier wieder: Richtig, jedoch unnötig.

> Ist das soweit richtig?
> Habe ich noch etwas vergessen?

Ja: du hast für die Wendestelle nicht auf eine hinreichende Bedingung geprüft (-> 3. Ableitung!).


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Extremstellen und Wendestellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Fr 23.12.2016
Autor: Dom_89

Hallo Diophant,

vielen Dank für die schnelle Antwort!!

Verstehe ich dich dann richtig, dass wenn nach den Extremstellen/Wendestellen gefragt ist, ich bei den notwendigen Bedingungen jeweils nur die Ableitungen gleich Null setzten muss und die jeweiligen Punkte dann nicht mehr in die Ausgangsfunktion einsetzten muss?

Für die hinreichende Bedingung bei den Wendestellen muss ich doch jetzt nur noch die berechnete Wendestelle in die dritte Ableitung einsetzten und dann folgendes prüfen:

[mm] f´´´(x_{W}) [/mm] > 0 ==> Links-Rechts-Verlauf
[mm] f´´´(x_{W}) [/mm] < 0 ==> Rechts-Links-Verlauf

f´´´(x) = [mm] \bruch{2}{x} [/mm]

[mm] f´´´(x_{W}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{x_{W}} [/mm]

[mm] f´´´((x_{W}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{e^-\bruch{1}{2}} [/mm]

[mm] f´´´((x_{W}) [/mm] = 3,29 > 0 ==> Links-Rechts-Verlauf

Bezug
                        
Bezug
Extremstellen und Wendestellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Fr 23.12.2016
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Diophant,

>

> vielen Dank für die schnelle Antwort!!

>

> Verstehe ich dich dann richtig, dass wenn nach den
> Extremstellen/Wendestellen gefragt ist, ich bei den
> notwendigen Bedingungen jeweils nur die Ableitungen gleich
> Null setzten muss und die jeweiligen Punkte dann nicht mehr
> in die Ausgangsfunktion einsetzten muss?

Wenn du bspw. eine Wendestelle in die zugehörige Funktionsgleichung einsetzt, dann bekommst du die Ordinate des zugehörigen Wendepunkts. Also: wenn nach Punkten gefragt ist, y-Koordinaten berechnen, Stellen sind einfach nur x-Werte, an denen etwas bestimmtes vorliegt.

> Für die hinreichende Bedingung bei den Wendestellen muss
> ich doch jetzt nur noch die berechnete Wendestelle in die
> dritte Ableitung einsetzten und dann folgendes prüfen:

>

> [mm]f´´´(x_{W})[/mm] > 0 ==> Links-Rechts-Verlauf
> [mm]f´´´(x_{W})[/mm] < 0 ==> Rechts-Links-Verlauf

>

> f´´´(x) = [mm]\bruch{2}{x}[/mm]

>

> [mm]f´´´(x_{W})[/mm] = [mm]\bruch{2}{x_{W}}[/mm]

>

> [mm]f´´´((x_{W})[/mm] = [mm]\bruch{2}{e^-\bruch{1}{2}}[/mm]

>

> [mm]f´´´((x_{W})[/mm] = 3,29 > 0 ==> Links-Rechts-Verlauf

Um nachzuweisen, dass es sich um eine Wendestelle bzw. einen Wendepunkt handelt, ist die Art des Drehsinn-Wechsels unwichtig. Es reicht eigentlich [mm]f'''(x)\ne{0}[/mm] zu zeigen. Das mit dem Links-Rechts-Verlauf ist aber jedenfalls auch korrekt. allerdings falsch. Es ist genau andersherum!


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Extremstellen und Wendestellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:55 Fr 23.12.2016
Autor: Chris84


> Hallo,

Huhu,

>  
> > Hallo Diophant,
>  >
>  > vielen Dank für die schnelle Antwort!!

>  >
>  > Verstehe ich dich dann richtig, dass wenn nach den

>  > Extremstellen/Wendestellen gefragt ist, ich bei den

>  > notwendigen Bedingungen jeweils nur die Ableitungen

> gleich
>  > Null setzten muss und die jeweiligen Punkte dann nicht

> mehr
>  > in die Ausgangsfunktion einsetzten muss?

>  
> Wenn du bspw. eine Wendestelle in die zugehörige
> Funktionsgleichung einsetzt, dann bekommst du die Ordinate
> des zugehörigen Wendepunkts. Also: wenn nach Punkten
> gefragt ist, y-Koordinaten berechnen, Stellen sind einfach
> nur x-Werte, an denen etwas bestimmtes vorliegt.

Tendenziell stimme ich hier Diophant voll und ganz zu, ABER es hat sich ja gezeigt, dass in letzter Zeit Lehrer selbst nicht immer firm in der Terminologie sind. Als Beispiel sei das graessliche Wort "Aufleitung" genannt, das immer mehr Verbreitung bei Lehrern fand. (Obgleich ich diesen Terminus ewig lange nicht mehr gesehen/gehoert habe...)

Vielleicht waere es gut, deinen Lehrer nochmal genau zu fragen, was er sich vorstellt, wenn von Stelle gesprochen wird.

>  
> > Für die hinreichende Bedingung bei den Wendestellen muss
>  > ich doch jetzt nur noch die berechnete Wendestelle in

> die
>  > dritte Ableitung einsetzten und dann folgendes prüfen:

>  >
>  > [mm]f´´´(x_{W})[/mm] > 0 ==> Links-Rechts-Verlauf

>  > [mm]f´´´(x_{W})[/mm] < 0 ==> Rechts-Links-Verlauf

>  >
>  > f´´´(x) = [mm]\bruch{2}{x}[/mm]

>  >
>  > [mm]f´´´(x_{W})[/mm] = [mm]\bruch{2}{x_{W}}[/mm]

>  >
>  > [mm]f´´´((x_{W})[/mm] = [mm]\bruch{2}{e^-\bruch{1}{2}}[/mm]

>  >
>  > [mm]f´´´((x_{W})[/mm] = 3,29 > 0 ==> Links-Rechts-Verlauf

>  
> Um nachzuweisen, dass es sich um eine Wendestelle bzw.
> einen Wendepunkt handelt, ist die Art des Drehsinn-Wechsels
> unwichtig. Es reicht eigentlich [mm]f'''(x)\ne{0}[/mm] zu zeigen.
> Das mit dem Links-Rechts-Verlauf ist aber jedenfalls auch
> korrekt. allerdings falsch. Es ist genau andersherum!
>  
>
> Gruß, Diophant

Gruss,
Chris

Bezug
        
Bezug
Extremstellen und Wendestellen: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 23:18 So 25.12.2016
Autor: HJKweseleit


> Gegeben ist die Funktion
>  
> f(x) = [mm]x^{2}*ln(x)[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie alle Extremstellen von f
>  b) Bestimmen Sie alle Wendestellen von f
>  Hallo,
>  
> ich bin mir z.Zt. unsicher, ob mein Vorgehen richtig und
> auch vollständig ist und würde mich freuen, wenn einer
> von euch einmal über meine Lösung schauen kann :)
>  
> Ich habe zunächst alle notwendigen Ableitungen gebildet:
>  
>
> f(x) = [mm]x^{2}*ln(x)[/mm]
>  
> f´(x) = 2x*ln(x)+x
>  
> f´´(x) = 2*ln(x)+3
>  
> Für die Extremstellen habe ich die erste Ableitung gleich
> Null gesetzt (f´(x) =0) und den Wert anschließend in die
> Ausgangsfunktion eingesetzt (notwendige Bedingungen):
>  
> f´(x) = 0
> 2x*ln(x)+x = 0
>  [mm]x_{E}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{1}{2}}[/mm]



2x*ln(x)+x = 0
x(2*ln(x)+1) = 0

Somit x=0 oder [mm] x=e^{-\bruch{1}{2}} [/mm]

Die Lösung x=0 hast du übersehen!!!




>  
> [mm]f(x_{E})[/mm] = [mm]x_{E}^{2}*ln(x_{E})[/mm]
>  = [mm](e^{-\bruch{1}{2}})^{2}*ln(e^{-\bruch{1}{2}})[/mm]
>  = - [mm]\bruch{1}{2}*e^{-1}[/mm]
>  
> Für die (hinreichende Bedingung) habe ich dann einen der
> o.g. Werte in die zweite Ableitung eingesetzt:
>  
> [mm]f´´(x_{E})[/mm] = [mm]2*ln(x_{E})+3[/mm]
>  [mm]f´´(e^{-\bruch{1}{2}})[/mm] = [mm]2*ln(e^{-\bruch{1}{2}})+3[/mm]
>  [mm]f´´(e^{-\bruch{1}{2}})[/mm] = 2 ==> Tiefpunkt

>  
> Für die Wendestellen habe ich nun die zweite Ableitung
> gleich Null gesetzt und anschließend diesen Wert in die
> Ausgangsfunktion eingesetzt:
>  
> f´´(x) = 0
>  2*ln(x)+3 = 0
>  [mm]x_{W}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
>  
> [mm]f´´(x_{W})[/mm] = [mm]2*ln(x_{W})+3[/mm]
>  = [mm]2*ln(e^{-\bruch{3}{2}})+3[/mm]
>  = - [mm]\bruch{3}{2}*e^{-3}[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig?
>  Habe ich noch etwas vergessen?
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe :)


Bezug
                
Bezug
Extremstellen und Wendestellen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 09:33 Mo 26.12.2016
Autor: Diophant

Hallo HJKWeseleit,

>

> 2x*ln(x)+x = 0
> x(2*ln(x)+1) = 0

>

> Somit x=0 oder [mm]x=e^{-\bruch{1}{2}}[/mm]

>

> Die Lösung x=0 hast du übersehen!!!

>

Nein. Dies ist keine Lösung, denn sie liegt nicht in der (maximalen) Definitionsmenge der Funktion (und natürlich auch nicht der deiner Gleichung!).

Gruß, Diophant

Bezug
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