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Extremwertaufgabe: "Idee"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Mo 19.09.2016
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Aus einem rechteckigen Karton mit den Seitenlängen a = 16 cm
und b = 10 cm, ist durch Ausschneiden von
Quadraten der Seitenlänge x an den Ecken und anschließendes Aufbiegen
der Seitenwände, eine quaderförmige, oben offene Schachtel
herzustellen.
Wie groß muss x gewählt werden, damit das Volumen der Schachtel
maximal wird? Wie groß ist dieses?

Hallo!

Diese typische Extremwertaufgabe ist nicht sonderlich schwer zu lösen, doch stellte ich mir die Frage, ob man diese Aufgabe auch ohne Differentialrechnung lösen kann.
Dadurch wird die Aufgabe doch anspruchsvoller als erwartet und ich komme bisher nicht auf einen Bezug, der mir dabei helfen könnte das Problem zu lösen. Einzig numerisches Lösen mit einer Art Bisektion würde mir wohl auch das Ergebnis liefern. Solch ein Verfahren finde ich hingegen eher unvorteilhaft und wollte daher mal fragen, ob man denn die Aufgabe auch mit einem anderen Ansatz lösen kann.
Hierzu müsste ich ja ein Verhältnis zwischen dem Volumen eines Quaders und der Fläche von Rechtecken erhalten, was aber nicht wirklich ersichtlich ist.

Lässt sich diese Aufgabe überhaupt so lösen?

Gruß
Ardbeg

        
Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Mo 19.09.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Aus einem rechteckigen Karton mit den Seitenlängen a = 16
> cm
>  und b = 10 cm, ist durch Ausschneiden von
>  Quadraten der Seitenlänge x an den Ecken und
> anschließendes Aufbiegen
>  der Seitenwände, eine quaderförmige, oben offene
> Schachtel
>  herzustellen.
>  Wie groß muss x gewählt werden, damit das Volumen der
> Schachtel
>  maximal wird? Wie groß ist dieses?
>  Hallo!
>  
> Diese typische Extremwertaufgabe ist nicht sonderlich
> schwer zu lösen, doch stellte ich mir die Frage, ob man
> diese Aufgabe auch ohne Differentialrechnung lösen kann.
> Dadurch wird die Aufgabe doch anspruchsvoller als erwartet
> und ich komme bisher nicht auf einen Bezug, der mir dabei
> helfen könnte das Problem zu lösen. Einzig numerisches
> Lösen mit einer Art Bisektion würde mir wohl auch das
> Ergebnis liefern. Solch ein Verfahren finde ich hingegen
> eher unvorteilhaft und wollte daher mal fragen, ob man denn
> die Aufgabe auch mit einem anderen Ansatz lösen kann.
> Hierzu müsste ich ja ein Verhältnis zwischen dem Volumen
> eines Quaders und der Fläche von Rechtecken erhalten, was
> aber nicht wirklich ersichtlich ist.
>
> Lässt sich diese Aufgabe überhaupt so lösen?
>  
> Gruß
>  Ardbeg


Hallo Ardberg

Die Aufgabe läuft zwangsläufig darauf hinaus, eine Extremal-
stelle einer bestimmten kubischen Funktion V(x) zu ermitteln.
Der einfachste und eleganteste Weg dazu ist zweifellos der
"klassische" , bei welchem man die Nullstellen der Ableitungs-
funktion V'(x)  als mögliche "Kandidaten" untersucht.

Als alternative Lösungswege (ohne Differentialrechnung) sehe
ich da wirklich fast nur Näherungsverfahren nach dem Prinzip
"Versuch und Irrtum und anschließende Korrektur".

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
        
Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Mo 19.09.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sei $V(x) = (16-2x)(10-2x)x$ das Volumen des Quaders.
Man erkennt nun leicht, dass die Nullstellen des Polynoms dritten gerade bei 0,5,8 liegen.

Finde nun $c > 0$, so dass $V(x) - c$ nur noch zwei (reelle) Nullstelle hat (siehe []Cardanische Formeln).

Eine der beiden Nullstellen liegt dann im Intervall $[0,5]$ und ist die gesuchte lokale Maximumsstelle von V(x).

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Mo 19.09.2016
Autor: hippias

Ein Lösungsvorschlag, bei dem die Differentialrechnung etwas versteckt ist:

1. Jedes Polynom $f$ vom Grad $3$ kann durch Koordinatentransformation in die Gestalt $f(t)= [mm] at^{3}+bt+c$ [/mm] gebracht werden. Daher genügt es die Extrempunkte für Polynome der Gestalt $f(x)= [mm] x^{3}+bx$ [/mm] zu bestimmen. Ferner ist $f$ im Fall [mm] $b\geq [/mm] 0$ streng monoton wachsend, sodass angenommen werden kann, dass $f(x)= [mm] x^{3}-bx$ [/mm] mit $b>0$ gilt.

2. Man rechnet nach, dass $d:= f(x)- f(y)= [mm] (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-b)$ [/mm] gilt.

Setzt man $y= x+h$, so folgt $d= [mm] -h(x^{2}+x^{2}+hx+x^{2}+2hx+h^{2}-b)= -h(3x^{2}+3hx+h^{2}-b)$. [/mm]

Wählt man nun $x$ so, dass [mm] $3x^{2}-b=0$ [/mm] ist, so folgt $d= [mm] -h^{2}(3x+h)$. [/mm]

3. Im Fall $x= [mm] \sqrt{\frac{b}{3}}$ [/mm] hat $f$ somit in dem Intervall $(- 2x, [mm] \infty)$ [/mm] an der Stelle $x$ ein striktes Minimum, da dort $d<0$ ist.

4. Im Fall $x= [mm] -\sqrt{\frac{b}{3}}$ [/mm] hat $f$ somit in dem Intervall $(- [mm] \infty, [/mm] 2x)$ an der Stelle $x$ ein striktes Maximum, da dort $d>0$ ist.

Diese Überlegung liesse sich nun auf Deine Zielfunktion anwenden. Vermutlich suchst Du aber eine geometrischere Lösung. Dabei könnten Symmetrieüberlegungen helfen.


Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 Di 20.09.2016
Autor: Ardbeg

Danke vielmals für die Antwort. Dieser doch versteckte Weg der Differentialrechnung ist mir so nicht gekommen und äußerst interessante. Tatsächlich habe ich aber wirklich nach ener geometrischen Lösung gesucht und bisher keine finden können.
Dennoch danke ich vielmals für die Unterstützung!

Gruß
Ardbeg

Bezug
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