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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Di 10.04.2012 | | Autor: | Paivren |
| Aufgabe | | Ein Gewölbegang hat einen Querschnitt von der Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang des Querschnitts ist mit U=10m fest vorgegeben. Wie muss das Gewölbe gestaltet werden, damit die Querschnittsfläche mglichst groß wird? |
N'abend zusammen,
könnt ihr mal meine Aufgabe kontrollieren?
Mit a als Rechteckseite und r als Radius des (Halb-)kreises ist die gesuchte Fläche
A=2ar + 0,5 [mm] \pi r^{2}
[/mm]
Es gilt außerdem:
10=2a + [mm] \pi [/mm] r
Umgeformt:
a=5 - 0,5 [mm] \pi [/mm] r
Dies in die Ausgansformel eingesetzt führt zur Zielfunktion:
A(r)=-0,5 [mm] \pi r^{2} [/mm] + 10r
D= ] 0; [mm] \bruch{10}{\pi} [/mm] [
Der Radius muss logischerweise größer als Null sein, muss aber gleichzeitig kleiner sein als [mm] \bruch{10}{\pi}, [/mm] da sonst a=0 oder a<0 wäre, was ja nicht sein darf.
Wenn ich lokale Extremstellen berechne, komme ich genau zu einer, und zwar zu einem Maximum bei [mm] r=\bruch{10}{\pi}, [/mm] was ja eigentlich die ausgeschlossene Grenze des Intervalls ist.
Wenn das stimmt, muss man das so interpretieren, dass eine größtmögliche Fläche erreicht wird, wenn man auf den rechteckigen Teil verzichtet (a also Null ist) und die Fläche komplett als Halbkreis baut.
Da das aber nicht erwünscht ist, sollte ein Wert für r genommen werden, der knapp unter [mm] \bruch{10}{\pi} [/mm] liegt.
Stutzig macht mich, dass man praktisch keine konkrete Zahl liefern kann, da man sich ja unendlich an diesen Wert annähern kann, und das ist doch eigentlich eher untypisch für Aufgaben dieser Art...
Hoffe auf Bestätigung :S
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Di 10.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paivren!
> Es gilt außerdem:
> 10=2a + [mm]\pi[/mm] r
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da fehlt noch etwas. Es gilt:
[mm]u \ = \ 2*a \ \red{+ \ 2*r} \ + \pi*r \ = \ 10[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Eisfisch |
> Ein Gewölbegang hat einen Querschnitt von der Form eines
> Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang des
> Querschnitts ist mit U=10m fest vorgegeben. Wie muss das
> Gewölbe gestaltet werden, damit die Querschnittsfläche
> mglichst groß wird?
>
>
>
>
> N'abend zusammen,
> könnt ihr mal meine Aufgabe kontrollieren?
>
>
> Mit a als Rechteckseite und r als Radius des (Halb-)kreises
> ist die gesuchte Fläche
>
> A=2ar + 0,5 [mm]\pi r^{2}[/mm]
ja.
> Es gilt außerdem:
> 10=2a + [mm]\pi[/mm] r
njein, wahrscheinlich eher:
10=a+r+a + [mm]\pi[/mm] r
(hier ist noch der Boden dabei)
> Umgeformt:
> a=5 - 0,5 [mm]\pi[/mm] r
ja, mit deinem Ansatz
mit meinem Ansatz erhalte ich umgeformt:
a=5 -0,5 r - 0,5 [mm]\pi[/mm] r
>
> Dies in die Ausgansformel eingesetzt führt zur
> Zielfunktion:
>
> A(r)=-0,5 [mm]\pi r^{2}[/mm] + 10r
>
> D= ] 0; [mm]\bruch{10}{\pi}[/mm] [
> Der Radius muss logischerweise größer als Null sein,
> muss aber gleichzeitig kleiner sein als [mm]\bruch{10}{\pi},[/mm] da
> sonst a=0 oder a<0 wäre, was ja nicht sein darf.
>
> Wenn ich lokale Extremstellen berechne, komme ich genau zu
> einer, und zwar zu einem Maximum bei [mm]r=\bruch{10}{\pi},[/mm] was
> ja eigentlich die ausgeschlossene Grenze des Intervalls
> ist.
>
> Wenn das stimmt, muss man das so interpretieren, dass eine
> größtmögliche Fläche erreicht wird, wenn man auf den
> rechteckigen Teil verzichtet (a also Null ist) und die
> Fläche komplett als Halbkreis baut.
ja,im Rahmen deiner Berechnungen ist das i.O:, aber leider ist eventuell der Ansatz nicht richtig.
Wenn aber der Boden nicht zu berücksichtigen ist, dann ist auch deine Interpretation i.O.
> Da das aber nicht erwünscht ist, (Woher weisst du das??) sollte ein Wert für r
> genommen werden, der knapp unter [mm]\bruch{10}{\pi}[/mm] liegt.
>
> Stutzig macht mich, dass man praktisch keine konkrete Zahl
> liefern kann, da man sich ja unendlich an diesen Wert
> annähern kann, und das ist doch eigentlich eher untypisch
> für Aufgaben dieser Art...
>
> Hoffe auf Bestätigung :S
>
> Gruß
>
Ich kann mir vorstellen, dass man auf die von dir bestimmte Lösung kommen soll. Dass ein Gewölbekeller dann ectl. doch senkrechte Wände hat, das könnte dann am praktischen Nutzen liegen. Wenn das Gewölbe gleich am Boden beginnt, kann man den Stauraum dort kaum effektiv nutzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Do 12.04.2012 | | Autor: | Paivren |
Ok, es kommt also darauf an, ob man den Boden mit einbezieht.
Steht aber explizit nicht dabei und in der Skizze ist davon auch nichts zu sehen.
Weiß ich bescheid, danke für die Kontrolle!
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