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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mo 08.03.2004 | | Autor: | flo |
Hallo, Ihr Lieben!
Ich sitze gerade völlig verzweifelt vor meinen Mathe-Hausaufgaben..
Wäre nett, wenn Ihr mich ein bisschen unterstützen könntet...
Mein Problem ist, dass ich e-Funktionen überhaupt nicht verstehe, die Hausaufgabe jedoch eine e-Funktion beinhaltet...
Na ja, hier erstmal die Aufgabe:
Die Tangente und die Normale des Graphen der Funktion [mm] f_k [/mm] mit
[mm] f_k [/mm] (x) = e^kx mit k>0 im Punkt P (0/1) begrenzen mit der x-Achse ein Dreieck. Für welchen Wert von k wird der Inhalt dieses Dreiecks minimal? Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Dreiecks?
Also, ich brauche für die Tangentenfunktion ja auf jeden Fall die Ableitung, aber schon die allein kann ich nicht bilden.. *sniff*
Könnt ihr mir da bitte bitte weiterhelfen?
Vielen lieben Dank,
flo :)
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Hallo Flo!
e-Funktionen kann ganz einfach ableiten, und besonders bei so simplen wie in deiner Aufgabe geht das ruckzuck.
Also, es gilt:
Sei [mm]f(x) = e^{u(x)}[/mm], dann ist [mm]f'(x) = u'(x)*e^{u(x)}[/mm]
Das heißt also in deinem Fall ist u(x) = kx
Und somit lautet deine Ableitung einfach [mm]f'(x) = ke^{kx}[/mm]
Verständlich?
Sonst versuch dich einfach mal an ein paar e-Funktionen und versuch sie abzuleiten (etwa [mm]e^{x^2}, e^{x/2}[/mm], etc.).
Wie du ja schon richtig erkannt hast, brauchst du für die Tangentengleichung im Punkt P(0;1) die Ableitung (in diesem Punkt) - nämlich um die Steigung zu bestimmen.
Also für die Tangentengleichung einfach diese Formel ausnutzen:
[mm]f_t(x) = f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0)[/mm] wobei dein Punkt dann die Koordinaten [mm]P(x_0; y_0)[/mm] hat.
Die Normalengleichung erhälst du, indem du die Steigung deiner Tangentengleichung nimmst, davon den Kehrwert bildest, und sie mit -1 multiplizierst. Da du ja schon einen Punkt hast, bei dem du weißt, dass die Normale dadurch verläuft (nämlich P), kannst du so ganz einfach mittels y = mx + b noch b bestimmen.
Kommst du damit erstmal weiter? Oder brauchst du auch Hilfe zum Bestimmen des max. Flächeninhalts?
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Hallo flo,
Ich nehme an, du hast dir schon mal einen Graphen gezeichnet.
Für die Rechnung benötigst du zunächst die Ableitung von [mm]f_k(x)[/mm] :
Nach der Kettenregel und der Ableitungsformel für [mm]e^x[/mm] ist
[mm]f'_k(x) = -k e^{-kx}[/mm] => [mm]f'_k(0)[/mm] = -k
Die Steigung der Tangente t bzw.der Normalen n im Punkt (0,1) sind daher
gleich -k bzw. 1/k. Mittels der Punkt-Steigungsformel stellst du nun die
Gleichungen von t bzw. n auf :
t : [mm]y= 1-kx[/mm] bzw. n : [mm]y=1+(1/k)x[/mm]
Die Schnittpunkte von t bzw. n mit der x-Achse sind demnach
[mm]Q=(1/k,0)[/mm] bzw. [mm]R=(-k,0)[/mm]
Das Dreieck PQR hat - als Funktion des Parameters [mm]k[/mm] - somit den Inhalt
[mm]F(k) = (1/2)(k+1/k)[/mm]
Damit wären wir bei einer ganz gewöhnlichen, routinemässig zu lösenden
Extremalaufgabe.
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