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Faktorraum und Restklassen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Mo 12.03.2012
Autor: Mathegirl

Aufgabe
Die Aufgabe wurde zwar schonmal gestellt, aber eine Teilaufgabe ist mir immer noch nicht klar.

V ist der Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad höchstens 2 und es sei [mm] U=Lin(x^2-2x+3) [/mm]

a) Bestimme eine Basis für V/U
b) Schreibe die Restklassen [mm] (2x^2-5x+7)+U [/mm] und [mm] (3x^2+x-1)+U [/mm] als Linearkombination der Basis aus a) dar.




ok...ich schreibe nochmal schnell wie man die Basis von V/U ermittelt hat.

1. Basis von U und V bestimmen
[mm] U:={x^2-2x+3} [/mm]
[mm] V:={x^2,x,1} [/mm]


2. Ergänze die Basis von U zu einer Basis von V
dimU=1
dimV=3
dim(V/U)=dimV-dimU=3-1=2

Also muss dim(V/U)=2 gelten.

[mm] B_{V/U}=p+ [/mm]

Die Ergänze Basis U zu V lautet: [mm] (x^2-2x+3,x,x^2) [/mm]

Überprüfung auf Linearität:
[mm] \lambda_1(x^2-2x+3)+\lambda_2(x)+\lambda_3(x^2)=0 [/mm]
[mm] x^2(\lambda_1+\lambda_3)+x(\lambda_2-2*\lambda_1)+3*\lambda_3=0 [/mm]

[mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 [/mm]  daher ist die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen.

Die Basis [mm] B_{V/U} [/mm] lautet demnach
[mm] B_{V/U}=(x+, x^2+) [/mm]


Okay..Nun kommt das eigentlich Problem was ich gerne mal verstehen würde.

Die Restklassen [mm] (2x^2-5x+7)+U [/mm] und [mm] (3x^2+x-1)+U [/mm] sollen als Linearkombination von der Basis [mm] B_{V/U} [/mm] dargestellt werden.

Ich weiß dass gelten muss:
[mm] [2x^2-5x+7]=\bruch{1}{3}[x^2]-\bruch{1}{3}[x] [/mm]

[mm] [3x^2-x+1]=\bruch{10}{3}[x^2]+\bruch{1}{3}[x] [/mm]

könnt ihr mir vielleicht nochmal erklären wie man darauf kommt?


MfG
Mathegirl

        
Bezug
Faktorraum und Restklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Mo 12.03.2012
Autor: angela.h.b.


> V ist der Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten
> vom Grad höchstens 2 und es sei [mm]U=Lin(x^2-2x+3)[/mm]
>  
> a) Bestimme eine Basis für V/U
>  b) Schreibe die Restklassen [mm](2x^2-5x+7)+U[/mm] und [mm](3x^2+x-1)+U[/mm]
> als Linearkombination der Basis aus a) dar.
>  
>
>
> ok...ich schreibe nochmal schnell wie man die Basis von V/U
> ermittelt hat.
>  
> 1. Basis von U und V bestimmen
>  [mm]U:={x^2-2x+3}[/mm]
>  [mm]V:={x^2,x,1}[/mm]
>  
>
> 2. Ergänze die Basis von U zu einer Basis von V
>  dimU=1
>  dimV=3
>  dim(V/U)=dimV-dimU=3-1=2
>  
> Also muss dim(V/U)=2 gelten.
>  

>  
> Die Ergänze Basis U zu V lautet: [mm](x^2-2x+3,x,x^2)[/mm]


>
> Überprüfung auf Linearität:

Auf lineare Unabhängigkeit!

>  [mm]\lambda_1(x^2-2x+3)+\lambda_2(x)+\lambda_3(x^2)=0[/mm]
>  
> [mm]x^2(\lambda_1+\lambda_3)+x(\lambda_2-2*\lambda_1)+3*\lambda_3=0[/mm]
>  
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm]  daher ist die lineare
> Unabhängigkeit nachgewiesen.
>
> Die Basis [mm]B_{V/U}[/mm] lautet demnach
> [mm]B_{V/U}=(x+, x^2+)[/mm]

Ja.

>  
>
> Okay..Nun kommt das eigentlich Problem was ich gerne mal
> verstehen würde.
>  
> Die Restklassen [mm](2x^2-5x+7)+U[/mm] und [mm](3x^2+x-1)+U[/mm] sollen als
> Linearkombination von der Basis [mm]B_{V/U}[/mm] dargestellt
> werden.

Du suchst also [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] mit

[mm](2x^2-5x+7)+U[/mm][mm] =\lambda_1(x+U)+\lambda_2(x^2+U). [/mm]

Wenn Du Dir jetzt anschaust, was Ihr zum Rechnen mit Äquivalenzklassen notiert habt, dann siehst Du, daß Obiges äquivalent ist zu

[mm](2x^2-5x+7)+U[/mm][mm] =(\lambda_1x+\lambda_2x^2)+U [/mm]

Wann gilt diese Gleichheit? Wenn
[mm] (2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2)\in [/mm] U,

dh. wenn [mm] (2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2) [/mm] ein Vielfaches von [mm] x^2-2x+3 [/mm] ist.

Für welche [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] dies der Fall ist, mußt Du herausfinden.

LG Angela


>  
> Ich weiß dass gelten muss:
>  [mm][2x^2-5x+7]=\bruch{1}{3}[x^2]-\bruch{1}{3}[x][/mm]
>  
> [mm][3x^2-x+1]=\bruch{10}{3}[x^2]+\bruch{1}{3}[x][/mm]
>  
> könnt ihr mir vielleicht nochmal erklären wie man darauf
> kommt?
>  
>
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
                
Bezug
Faktorraum und Restklassen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Mo 12.03.2012
Autor: Mathegirl


> dh. wenn [mm](2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2)[/mm] ein
> Vielfaches von [mm]x^2-2x+3[/mm] ist.

> Für welche [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] dies der Fall ist, mußt
> Du herausfinden.
>  

Und da weiß ich nicht wie ich das rausfinde, so dass ein Vielfaches von [mm] x^2-2x+3 [/mm] ist. Ich habe die Lösung eingesetzt aber irgendwie verstehe ich es nicht wie man darauf kommt bzw. inwieweit da ein vielfaches sichtbar wird.


>  >  [mm][2x^2-5x+7]=\bruch{1}{3}[x^2]-\bruch{1}{3}[x][/mm]
>  >  
> > [mm][3x^2-x+1]=\bruch{10}{3}[x^2]+\bruch{1}{3}[x][/mm]
>  >  
> > könnt ihr mir vielleicht nochmal erklären wie man darauf
> > kommt?
>  >  

MfG
Mathegirl
  


Bezug
                        
Bezug
Faktorraum und Restklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:42 Di 13.03.2012
Autor: angela.h.b.


>
> > dh. wenn [mm](2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2)[/mm] ein
> > Vielfaches von [mm]x^2-2x+3[/mm] ist.
>  
> > Für welche [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] dies der Fall ist, mußt
> > Du herausfinden.
>  >  
> Und da weiß ich nicht wie ich das rausfinde, so dass ein
> Vielfaches von [mm]x^2-2x+3[/mm] ist.

Hallo,

welche Gleichung hast Du denn dastehen, wenn Du wissen willst, wann [mm] $(2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2)$ [/mm] ein Vielfaches von [mm] $x^2-2x+3$ [/mm] ist?

Sortiere nun nach Potenzen von x und vergleiche die Koeffizienten.

LG Angela


Bezug
                        
Bezug
Faktorraum und Restklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Mo 19.03.2012
Autor: triad

$ [mm] (2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2) [/mm] $

Sortieren nach Potenzen von x:

$ [mm] (2x^2-5x+7)-(\lambda_1x+\lambda_2x^2) [/mm] $  | Minusklammer auflösen

$ [mm] (2x^2-5x+7)-\lambda_1x-\lambda_2x^2) [/mm] $   | sortieren/ausklammern

$ [mm] (2-\lambda_2)x^2-(5+\lambda_1)x+7) [/mm] $    | das soll ein Vielfaches von U sein also

$ [mm] (2-\lambda_2)x^2-(5+\lambda_1)x+7) [/mm] $ [mm] \in [/mm] U = Lin(x²-2x+3)

Der nächste Schritt wäre (so mache ich es immer), entsprechende Gleichungen aufzustellen um die Koeffizienten [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] zu bestimmen. Da wir in $ [mm] B_{V/U}=([x], [x^2]) [/mm] $ nicht den Basisvektor 1 haben, müssen wir überlegen wie wir von der +3 von (x²-2x+3) (das ist U) auf unser +7 von [mm] (2x^2-5x+7) [/mm] kommen, weil ja [mm] (2x^2-5x+7) [/mm] ein Vielfaches von (x²-2x+3) sein soll.
Also rechnen wir [mm] 3*\bruch{7}{3}=7. [/mm]
[mm] \bruch{7}{3} [/mm] ist jetzt derjenige Koeffizient mit dem wir zusätzlich die Koeffizienten von U (x²-2x+3) multiplizieren müssen, um auf das Vielfache [mm] (2x^2-5x+7) [/mm] zu kommen. Jetzt muss man also nurnoch [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] so wählen, dass die Koeffizienten stimmen:

Koeffizient von x²: [mm] (2-\lambda_2) [/mm] = [mm] \bruch{7}{3}*1 [/mm]
Koeffizient von x:   [mm] -(5+\lambda_1)= \bruch{7}{3}*(-2) [/mm]

Nach [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] auflösen und das sind dann die Koeffizienten für $ [mm] \lambda_2[x^2]+\lambda_1[x] [/mm] $.



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