Fallbeschleunigung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 11.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | Wird beim freien Fall der Luftwiderstand in Form einer dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit v proportionalen Reibungskraft [mm] kv^2 [/mm] berucksichtigt, so erhalt man die folgende funktionale Abhangigkeit der Fallgeschwindigkeit v vom Fallweg s:
[mm] v(s)=\wurzel{\bruch{mg}{k}*(1-e^{-2\bruch{ks}{m}})} s\ge0
[/mm]
Hierbei bezeichnet m die Masse des aus der Ruhe heraus frei fallenden Körpers, g die Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche und k > 0 sei ein Reibungskoeffizient.
i) Aufgrund der Abhangigkeit s(t), also dem Zusammenhang zwischen Weg s und der Zeit t, lasst sich die obige Funktion auch als Funktion von der Zeit t in der Form v(s(t)) darstellen.
Zeigen Sie, dass für die Beschleunigung a(t) = [mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] dann die Beziehung a(s) [mm] =v*\bruch{dv}{ds} [/mm] gilt.
Hinweis: Nutzen Sie die Kettenregel. |
Neue Übungswoche neues Glück! Ich stecke mal wieder fest. Ich weiß nicht mal so recht was die Aufgabe von mir verlangt.
So wie ich das bis jetzt verstanden habe soll ich die Beziehung [mm] a(s)=v*\bruch{dv}{ds} [/mm] zeigen. Aber wenn ich mir das oben so anschaue dann ist doch [mm] a(s)=\bruch{dv}{ds} [/mm] einfach die Ableitung von v(s) oder nicht? Warum brauche ich dann noch diesen zusätzlichen Faktor v? Vielleicht kann mir jemand einen kleinen Tipp geben worum es hier geht damit ich überhaupt mal verstehe was ich berechnen muss.
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Di 11.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> .....
> i) Aufgrund der Abhangigkeit s(t), also dem Zusammenhang
> zwischen Weg s und der Zeit t, lasst sich die obige
> Funktion auch als Funktion von der Zeit t in der Form
> v(s(t)) darstellen.
>
> Zeigen Sie, dass für die Beschleunigung a(t) =
> [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm] dann die Beziehung a(s) [mm]=v*\bruch{dv}{ds}[/mm]
> gilt.
>
> Hinweis: Nutzen Sie die Kettenregel.
> Neue Übungswoche neues Glück! Ich stecke mal wieder
> fest. Ich weiß nicht mal so recht was die Aufgabe von mir
> verlangt.
>
> So wie ich das bis jetzt verstanden habe soll ich die
> Beziehung [mm]a(s)=v*\bruch{dv}{ds}[/mm] zeigen.
So ist es.
> Aber wenn ich mir
> das oben so anschaue dann ist doch [mm]a(s)=\bruch{dv}{ds}[/mm]
> einfach die Ableitung von v(s) oder nicht?
Nein, so ist es nicht. Die Definition der Beschleunigung ist die Ableitung nach der Zeit, [mm]a(t)=\bruch{dv}{dt}[/mm], nicht die Ableitung nach dem Weg.
> Warum brauche ich dann noch diesen zusätzlichen Faktor v?
Du sollst zeigen, dass der da hin gehört.
> Vielleicht kann mir jemand einen kleinen Tipp geben worum es hier geht
> damit ich überhaupt mal verstehe was ich berechnen muss.
Du musst nun gedanklich umsteigen. s ist nun nicht mehr die Variable, sondern eine Funktion von t.
Daher sollst Du v(s(t)) betrachten. Leite diesen Ausdruck nach t ab.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 11.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Okay vielen Dank.
Dann versuche ich das mal.
Ich leite also diese Formel nach der Zeit ab. Ich muss aufpassen das ich s als Funktion betrachte. Die anderen (g,m,k) sind alle konstanten.
[mm] v(s)=\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k*s}{m}})} s\ge0 [/mm]
[mm] \bruch{dv}{dt}=\bruch{1}{2*\wurzel{1-e^{-2\bruch{k*s}{m}}}}*\bruch{2k}{m}*\bruch{ds}{dt}*e^{-2\bruch{ks}{m}}
[/mm]
Und wenn ich das richtig verstanden habe soll ich jetzt zeigen das dieser Ausdruck = [mm] \bruch{dv}{ds}*v [/mm] ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Di 11.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Du hast natürlich recht. Ich hab mal wieder unsauber gearbeitet. Ärgerlich! Ich habe es nochmal neu versucht:
[mm] v(s)=\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}})} s\ge0 [/mm]
setzte u= [mm] \bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}})
[/mm]
[mm] v(u)=\wurzel{u}
[/mm]
Für die Ableitung gilt:
[mm] v'(u)=\bruch{1}{2\wurzel{u}}*u'
[/mm]
Berechnung u': [mm] o*(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}})+\bruch{mg}{k}*\bruch{2k}{m}*\bruch{ds}{dt}*e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}
[/mm]
Der erste Term fällt weg da er ja mit "0" multipliziert wird. Im zweiten Term kann ich k, m und 2 kürzen und bekomme:
[mm] ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}*\bruch{ds}{dt}
[/mm]
Wieder eingesetzt für u:
[mm] \bruch{dv}{dt}=\bruch{ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}}{\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}})}*\bruch{ds}{dt}
[/mm]
Zu zeigen wäre jetzt das was ich für [mm] \bruch{dv}{dt} [/mm] ausgerechnet habe gleich [mm] \bruch{dv}{ds}*\bruch{ds}{dt}=\bruch{dv}{ds}*v [/mm] ist.
[mm] \bruch{ds}{dt}=\bruch{\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}})}{ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}}*\bruch{dv}{dt}
[/mm]
Berechnung von [mm] \bruch{dv}{ds}
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{ds}=\bruch{ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}}{\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}})}
[/mm]
Jetzt setze ich das ganze in die Gleichung ein die ich zeigen will:
[mm] \bruch{dv}{dt}=\bruch{dv}{ds}*\bruch{ds}{dt}
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{dt}=\bruch{ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}}{\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}})}*\bruch{\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}})}{ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}}*\bruch{dv}{dt}
[/mm]
Die Brüche Kürzen sich weg und ich habe nur noch die wahre Aussage:
[mm] \bruch{dv}{dt}=\bruch{dv}{dt}
[/mm]
stehen.
Hoffe das stimmt jetzt so.
LG
Rzeta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Di 11.11.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> Du hast natürlich recht. Ich hab mal wieder unsauber
> gearbeitet. Ärgerlich! Ich habe es nochmal neu versucht:
>
> [mm]v(s)=\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}})} s\ge0[/mm]
>
> setzte u=
> [mm]\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}})[/mm]
>
> [mm]v(u)=\wurzel{u}[/mm]
Nein. Mit dieser Abkürzung hast du [mm]v(s)=\sqrt u\cdot s[/mm].
> Für die Ableitung gilt:
>
> [mm]v'(u)=\bruch{1}{2\wurzel{u}}*u'[/mm]
Siehe oben. Also ich vorher von der Produktregel geschrieben habe, meinte ich genau diese Stelle!
Es ist [mm]v^\prime (s)=\frac{1}{2\sqrt u}\cdot u^\prime\cdot s + \sqrt u\cdot s^\prime[/mm], wobei zu beachten ist, dass nach s abgeleitet wird.
> Berechnung u':
> [mm]o*(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}})+\bruch{mg}{k}*\bruch{2k}{m}*\bruch{ds}{dt}*e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}[/mm]
... und als ich von der Faktorregel sprach, meinte ich diese Stelle.
> Der erste Term fällt weg da er ja mit "0" multipliziert
> wird. Im zweiten Term kann ich k, m und 2 kürzen und
> bekomme:
>
> [mm]ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}*\bruch{ds}{dt}[/mm]
> Wieder eingesetzt für u:
>
> [mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}}{\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}})}*\bruch{ds}{dt}[/mm]
Es fehlt wieder ein Teil von der Produktregel.
> Zu zeigen wäre jetzt das was ich für [mm]\bruch{dv}{dt}[/mm]
> ausgerechnet habe gleich
> [mm]\bruch{dv}{ds}*\bruch{ds}{dt}=\bruch{dv}{ds}*v[/mm] ist.
>
> [mm]\bruch{ds}{dt}=\bruch{\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}})}{ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}}*\bruch{dv}{dt}[/mm]
>
> Berechnung von [mm]\bruch{dv}{ds}[/mm]
Das verstehe ich nicht...
> Jetzt setze ich das ganze in die Gleichung ein die ich
> zeigen will:
>
> [mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{dv}{ds}*\bruch{ds}{dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}}{\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}})}*\bruch{\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}})}{ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}}*\bruch{dv}{dt}[/mm]
>
> Die Brüche Kürzen sich weg und ich habe nur noch die
> wahre Aussage:
>
> [mm]\bruch{dv}{dt}=\bruch{dv}{dt}[/mm]
>
> stehen.
>
> Hoffe das stimmt jetzt so.
Ich fürchte nicht. Mir erschließt sich nicht so ganz, was du da gerechnet hat, aber ich fürchte, dass du hier einen Ringschluss gemacht hast.
Ich glaube mittlerweilse, dass die Aufgabe so gemeint ist, dass du einfach die Kettenregel auf [mm]v(s(t))[/mm] anwenden sollst. Dazu brauchst du die angegebene Funktion gar nicht.
Laut Kettenregel ist [mm]a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}\cdot \frac{ds}{dt}=v\cdot\frac{dv}{ds}[/mm]. Der letzte Ausdruck hängt von s (genauer [mm]s(t)[/mm]) ab und nicht explizit von t, daher kannst du ihn auch als [mm]a(s)[/mm] schreiben.
Nur wenn du [mm] $\frac{dv}{ds}$ [/mm] explizit angeben sollst oder wenn du damit weiterrechnen musst, musst du wirklich ableiten. (Als Übung solltest du es vielleicht doch machen, weil es da scheinbar noch hapert....)
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Di 11.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Nur das es keine Missverständnisse hier gibt.
Die Formel Lautet:
[mm] v(s)=\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}})} [/mm]
[mm] s\ge0 [/mm]
und nicht
[mm] v(s)=\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}})}* [/mm] s
Du ließt das auch so oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Di 11.11.2014 | | Autor: | Fulla |
> Nur das es keine Missverständnisse hier gibt.
>
> Die Formel Lautet:
>
> [mm]v(s)=\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}})}[/mm]
>
> [mm]s\ge0[/mm]
>
> und nicht
>
> [mm]v(s)=\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}})}*[/mm]
> s
>
> Du ließt das auch so oder?
Das kommt darauf an, wie es auf deinem Übungszettel steht. So, wie es in deiner Aufgabenstellung steht, lese ich da "mal s". Ansonsten vermisse ich ein Komma oder Semikolon.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Di 11.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Das tut mir jetzt wirklich wirklich leid. Ich habe das komma vergessen. Ich dachte es ist klar das damit die Einschränkung [mm] s\ge0 [/mm] gemeint ist. Jetzt habe ich dir viel Arbeit wegen nichts gemacht....das tut mir wirklich unendlich leid.
Wenn das s jetzt nicht dazu gehört sind meine Berechnungen so korrekt oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Di 11.11.2014 | | Autor: | Fulla |
> Das tut mir jetzt wirklich wirklich leid. Ich habe das
> komma vergessen. Ich dachte es ist klar das damit die
> Einschränkung [mm]s\ge0[/mm] gemeint ist. Jetzt habe ich dir viel
> Arbeit wegen nichts gemacht....das tut mir wirklich
> unendlich leid.
Schon ok 
> Wenn das s jetzt nicht dazu gehört sind meine Berechnungen
> so korrekt oder?
Oben hast du irgendwo
[mm] \bruch{dv}{dt}=\bruch{ge^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}}{\wurzel{\bruch{mg}{k}\cdot{}(1-e^{-2\bruch{k\cdot{}s}{m}}})}\cdot{}\bruch{ds}{dt} [/mm]
geschrieben. Mit der geänderten Aufgabenstellung stimmt das dann!
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Di 11.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Ok, Super!
Vielen Dank nochmal und nochmal Entschuldigung für die Umstände.
Schönen Abend noch!
LG
Rzeta
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Di 11.11.2014 | | Autor: | chrisno |
>
> Ich glaube mittlerweilse, dass die Aufgabe so gemeint ist,
> dass du einfach die Kettenregel auf [mm]v(s(t))[/mm] anwenden
> sollst. Dazu brauchst du die angegebene Funktion gar
> nicht.
>
Das denke ich auch. Ich nehme an, dass die gegebene Funktion erst in den nächsten Aufgabenteilen verwendet wird.
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Faktorregel