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Fehler Iterationsverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Sa 10.12.2016
Autor: Schrank

Hallo,
ich muss folgende Aufgabe lösen. Leider fehlt mir schon ein Ansatz.
Die Iterationsmatrix  G [mm] \in \IR^{3x3} [/mm] eines linearen Iterationsverfahrens zur Lösung von Ax=b besitzt die Eigenwerte a1=1, a2=0,5 und a3=0 mit
zugehörigen Eigenvektoren [mm] v1=(1,0,0)^{T} [/mm] , [mm] v2=(1,1,0)^{T} [/mm] , [mm] v3=(1,1,1)^{T} [/mm]
a) Der Startfehler sei [mm] e^{0}=(3,2,1)^{T}. [/mm] Geben Sie den Fehler [mm] e^{3} [/mm] nach drei Iterationsschritten an.
b) Konvergiert das Verfahren für den Startvektor mit dem Startfehler aus a) gegen die Lösung [mm] x^{\*} [/mm] von Ax=b?
c) Konvergiert das Verfahren für jede beliebige rechte Seite und beliebige Startvektoren? Andernfalls geben Sie alle Startfehler an, für die das Verfahren konvergiert.

Wir haben unterschiedliche Iterationsverfahren, wie z.B. Jacobi, Gauß-Seidel, aber bei diesen hat man ja immer eine Matrix A gegeben, die man zerlegt und so weiter. Und mit diesen Verfahren bekomme ich ja eine Näherung an die exakte Lösung, das hat ja erstmal nichts mit Fehlern zutun.
Hier habe ich die Eigenwerte und Eigenvektoren gegeben und weiß nicht, wie ich da den Zusammenhang zu den Verfahren aufbauen soll.
Kann mir bitte jemand helfen?

Viele Grüße

        
Bezug
Fehler Iterationsverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 So 11.12.2016
Autor: leduart

Hallo
ist dir aufgefallen dass [mm] e_0=v1+v2+v3 [/mm] ist, was wird dann daraus nach einer Interation?
also [mm] A*e_0? [/mm]
gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Fehler Iterationsverfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 So 11.12.2016
Autor: Schrank

Danke für deine Antwort. Das ist mir nicht aufgefallen.
Ich habe jetzt mit deinem Tipp folgendes:

[mm] Ae^{0}=A(v1+v2+v3)=Av1+Av2+Av3=a1*v1+a2*v2+a3*v3= [/mm] (1.5, 0.5, [mm] 0)^{T} [/mm]

Das müsste dann ja [mm] e^{1} [/mm] sein.
Da v1-v3 und a1-a3 Eigenvektoren und Eigenwerte von der Iterationsmatrix G sind, erhalte ich jetzt für

G= [mm] \pmat{ 1 & -0.5 & -0.5 \\ 0 & 0.5 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Mit [mm] Ge^{1} [/mm] bekomme ich ja dann [mm] e^{2} [/mm] und mit [mm] Ge^{2} [/mm] dann [mm] e^{3} [/mm] oder?

Bei b) und c) weiß ich immer noch nicht, wie ich das zeigen soll. Normalerweise schaut man ja, ob der betragsgrößte Eigenwert der Iterationsmatrix kleiner als 1 ist, aber hier soll ich ja mit dem Startfehler arbeiten. Weiß nicht, wie ich das da einbauen soll.

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Fehler Iterationsverfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 So 11.12.2016
Autor: leduart

Hallo
ja , du musst e1 wieder n Eigenvektoren zerlegen usw.
wenn du am Anfang nur Linearkombinationen von v2 und v3 hast mit Eigenwerten <1 konvergiert das Verfahren! mit v1 drin hab ich es noch nicht gesehen, eigentlich sollte der Anteil ja konstant bleiben. ich muss an meine Weihnachtsbäckerei also musst du selbst weiter denken.
Gruß ledum

Bezug
                                
Bezug
Fehler Iterationsverfahren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:01 So 11.12.2016
Autor: Schrank

Hallo,
danke.
Weihnachtsbäckerei würde ich auch bevorzugen^^
Leider brauche ich noch Hilfe, da ich die b) und c) immer noch nicht hinbekomme.
Man kann ja nicht nur mit v1 und v2 [mm] e^{0} [/mm] ausdrücken. Also konvergiert es für den Startfehler nicht, weil man v3 benötigt und der Eigenwert davon aber nicht <1 ist.
Stimmt das?

Viele Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Fehler Iterationsverfahren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Di 13.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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