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Fehlerabschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Di 01.11.2016
Autor: tynia

Aufgabe
Die Funktion [mm] f(x)=\sin(x)+5x^2 [/mm] soll an einer unbekannten Stelle [mm]x\in[1,2] [/mm] ausgewerten werden mit dem Näherungswert [mm] y\in[1,2][/mm]  benutzen. Wie groß darf der absolute Fehler von  [mm]y [/mm] höchstens sein, damit der absolute Fehler von  [mm]f(y) [/mm] höchstens 2 ist. Wie groß darf der relative Fehler von [mm]y[/mm] höchstens sein, damit der relative Fehler von [mm]f(x)[/mm] höchstens [mm]10\%[/mm] ist.

Hallo zusammen, ich hoffe ihr könnt mir das erklären. ich habe die Lösung verstehe sie aber an einigen Stellen nicht.

Der Mittelwertsatz liefert ein geeignetes Hilfsmittel um zu untersuchen, wie sich ein Fehler in [mm]x[/mm] auf den Fehler im Funktionswert  [mm]f(x)[/mm] auswirkt. Es gilt [mm] |f(x)-f(y)|=|f'(x_0)||x-y| [/mm] für eine unbekannte Zwischenstelle [mm]x_0[/mm] zwischen  [mm]x[/mm]und  [mm]y[/mm]. Die Ableitung bestimmt den Verstärkungsfaktor für den absoluten Fehler. Da man die Stelle  [mm]x_0[/mm] nicht kennt, betrachtet man den schlimmsten Falls, wo [mm]|f'(x_0)|[/mm] am größten wird und erhält:

[mm] |f(x)-f(y)|\leq M\cdot|x-y| \text{ mit } M:= \max_{x_0 \in I}|f'(x_0)| [/mm]

Als Fehlerabschätzung hat man: [mm]|f(x)-f(y)|\approx |f'(y)|\cdot |x-y|[/mm]

Die Musterlösung sieht wie folgt aus:

[mm]f(x)=sin(x)+5x^2 \Longrightarrow f'(x)=cos(x)+10x[/mm]
  
Auf dem Intervall [mm]I=[1,2][/mm] gilt:
[mm]|f'(x)|\leq |cos(x)|+10|x|\leq1+10\cdot2=21[/mm]  

Warum setzt man hier den maximalen Wert von cos=1 ein, und nicht den maximalen auf dem Interval [1,2], der cos(1)=0.54 wäre?

Für den absoluten Fehler gilt:  [mm]|f(x)-f(y)|\leq 21\cdot |x-y|[/mm]. Damit [mm]|f(x)-f(y)|\leq 2 [/mm] ist, reicht es aus, wenn [mm]21\cdot |x-y| \leq 2[/mm] gilt, also [mm]|x-y|\leq \dfrac{2}{7}[/mm]

Ich kann den Lösungsweg nachvollziehen bis auf die rot markierte Frage. Wäre die Lösung auch richtig, wenn ich für M folgende Rechnung nehmen würde:
[mm]|f'(x)|\leq |cos(x)|+10|x|\leq 0.54+10\cdot2=10.54[/mm]  

Und jetzt die Lösung zu dem zweiten Teil:

Auf [mm][1,2][/mm] gilt: [mm]|f(x)|=5x^2+ \sin(x)\geq 5x^2 \geq 5[/mm], denn dort ist [mm]sin(x)\geq 0[/mm]. ( Das verstehe ich nicht )Damit gilt für den relativen Fehler:

[mm] \dfrac{|f(x)-f(y)|}{|f(x)|}\leq 21 \cdot \dfrac{|x|}{|f(x)|}\dfrac{|x-y|}{|x|} \leq 21 \cdot \dfrac{2}{5}\dfrac{|x-y|}{|x|}=8.4\dfrac{|x-y|}{|x|}. [/mm]
Damit der relative Fehler höchstens [mm] 0.1 [/mm]  ist, reicht es, wenn die rechte Seite, höchstens  [mm] 0.1 [/mm]  ist. Der relative Fehler in [mm] y [/mm] sollte höchstens  [mm] 0.1/8.4 [/mm]  sein.

Meine Fragen sind die rot markierten Stellen in Text.

Danke schonmal für jede Hilfe.
    

        
Bezug
Fehlerabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Di 01.11.2016
Autor: ChopSuey


> Auf [mm][1,2][/mm] gilt: [mm]|f(x)|=5x^2+ \sin(x)\geq 5x^2 \geq 5[/mm], denn
> dort ist [mm]sin(x)\geq 0[/mm]. ( Das verstehe ich nicht )

Es ist $ [mm] \sin(x) \ge [/mm] 0$ für $\ x [mm] \in [0,\pi]$, [/mm] also insbesondere für $ x [mm] \in [/mm] [1,2] [mm] \subset [0,\pi]$ [/mm]

$ [mm] 5x^2 \ge [/mm] 5 $ für $ x [mm] \in [/mm] [1,2]$.

LG,
ChopSuey


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Fehlerabschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Di 01.11.2016
Autor: tynia

Super danke, der Tipp mit der Teilmenge war sehr hilfreich. :)

Aber ich bin mir noch nicht ganz sicher, warum man an sich an dieser Stelle auf das minium bezieht. Wäre das hier auch eine richtige Lösung:

[mm]|f(x)|=5x^2+ \sin(x)\geq 5x^2 +sin(1) \geq 5 + 0.84[/mm] ?

Ist das dann eine genauere Abschätzung?


Bezug
                        
Bezug
Fehlerabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Di 01.11.2016
Autor: Jule2


> Super danke, der Tipp mit der Teilmenge war sehr hilfreich.
> :)
>  
> Aber ich bin mir noch nicht ganz sicher, warum man an sich
> an dieser Stelle auf das minium bezieht. Wäre das hier
> auch eine richtige Lösung:
>  
> [mm]|f(x)|=5x^2+ \sin(x)\geq 5x^2 +sin(1) \geq 5 + 0.84[/mm] ?
>  
> Ist das dann eine genauere Abschätzung?
>  

Ja in diesem Fall schon!

LG

Bezug
                                
Bezug
Fehlerabschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Di 01.11.2016
Autor: tynia

Entschuldige für die vielen Fragen , was wäre denn ein Fall, wo es nicht so wäre?

Bezug
                                        
Bezug
Fehlerabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Di 01.11.2016
Autor: Jule2

Wenn man zB eine Funktion hat bei der man das Maximum und Minimum kennt aber eben nicht so genau weiss ob die Funktion im Intervall wächst oder fällt oder beides! Dann nimmt man um sicher zu gehen eben denn maximalen oder minimalen Wert der Angenommen werden kann!

LG

Bezug
                                                
Bezug
Fehlerabschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:46 Di 01.11.2016
Autor: tynia

Super. Alles verstanden :) Vielen dank für die schnelle Hilfe.

LG

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Bezug
Fehlerabschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Di 01.11.2016
Autor: tynia

Ok, ich habe doch noch eine Frage. Warum nimmt man an dieser Stelle das Minium und nicht wie bei der Aufgabe zuvor, dass Maximum, Also warum schätzt man nach unten ab? Das ist mir noch nicht ganz klar


Liegt das daran, das der Term [mm] \dfrac{|x|}{|f(x)|} [/mm]

aus

[mm] \dfrac{|f(x)-f(y)|}{|f(x)|}\leq 21 \cdot \dfrac{|x|}{|f(x)|}\dfrac{|x-y|}{|x|} \leq 21 \cdot \dfrac{2}{5}\dfrac{|x-y|}{|x|}=8.4\dfrac{|x-y|}{|x|}. [/mm]

maximal werden soll?

Bezug
                                                        
Bezug
Fehlerabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Mi 02.11.2016
Autor: Jule2

Korrekt!

Bezug
        
Bezug
Fehlerabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Di 01.11.2016
Autor: Jule2


> Die Funktion [mm]f(x)=\sin(x)+5x^2 [/mm] soll an einer unbekannten
> Stelle [mm]x\in[1,2][/mm] ausgewerten werden mit dem Näherungswert
> [mm]y\in[1,2][/mm]  benutzen. Wie groß darf der absolute Fehler von
>  [mm]y[/mm] höchstens sein, damit der absolute Fehler von  [mm]f(y)[/mm]
> höchstens 2 ist. Wie groß darf der relative Fehler von [mm]y[/mm]
> höchstens sein, damit der relative Fehler von [mm]f(x)[/mm]
> höchstens [mm]10\%[/mm] ist.
>  Hallo zusammen, ich hoffe ihr könnt mir das erklären.
> ich habe die Lösung verstehe sie aber an einigen Stellen
> nicht.
>  
> Der Mittelwertsatz liefert ein geeignetes Hilfsmittel um zu
> untersuchen, wie sich ein Fehler in [mm]x[/mm] auf den Fehler im
> Funktionswert  [mm]f(x)[/mm] auswirkt. Es gilt
> [mm]|f(x)-f(y)|=|f'(x_0)||x-y|[/mm] für eine unbekannte
> Zwischenstelle [mm]x_0[/mm] zwischen  [mm]x[/mm]und  [mm]y[/mm]. Die Ableitung
> bestimmt den Verstärkungsfaktor für den absoluten Fehler.
> Da man die Stelle  [mm]x_0[/mm] nicht kennt, betrachtet man den
> schlimmsten Falls, wo [mm]|f'(x_0)|[/mm] am größten wird und
> erhält:
>  
> [mm]|f(x)-f(y)|\leq M\cdot|x-y| \text{ mit } M:= \max_{x_0 \in I}|f'(x_0)|[/mm]
>  
> Als Fehlerabschätzung hat man: [mm]|f(x)-f(y)|\approx |f'(y)|\cdot |x-y|[/mm]
>  
> Die Musterlösung sieht wie folgt aus:
>  
> [mm]f(x)=sin(x)+5x^2 \Longrightarrow f'(x)=cos(x)+10x[/mm]
>    
> Auf dem Intervall [mm]I=[1,2][/mm] gilt:
>  [mm]|f'(x)|\leq |cos(x)|+10|x|\leq1+10\cdot2=21[/mm]  
>
> Warum setzt man hier den maximalen Wert von cos=1 ein, und
> nicht den maximalen auf dem Interval [1,2], der cos(1)=0.54
> wäre?

Weil man keine Lust hat den Taschenrechner zu benutzen und weiß das die Abschätzung [mm] cos(x)\le [/mm] 1 gilt!

>  
> Für den absoluten Fehler gilt:  [mm]|f(x)-f(y)|\leq 21\cdot |x-y|[/mm].
> Damit [mm]|f(x)-f(y)|\leq 2[/mm] ist, reicht es aus, wenn [mm]21\cdot |x-y| \leq 2[/mm]
> gilt, also [mm]|x-y|\leq \dfrac{2}{7}[/mm]
>  
> Ich kann den Lösungsweg nachvollziehen bis auf die rot
> markierte Frage. Wäre die Lösung auch richtig, wenn ich
> für M folgende Rechnung nehmen würde:
>  [mm]|f'(x)|\leq |cos(x)|+10|x|\leq 0.54+10\cdot2=10.54[/mm]  
>

Ja

> Und jetzt die Lösung zu dem zweiten Teil:
>  
> Auf [mm][1,2][/mm] gilt: [mm]|f(x)|=5x^2+ \sin(x)\geq 5x^2 \geq 5[/mm], denn
> dort ist [mm]sin(x)\geq 0[/mm]. ( Das verstehe ich nicht )Damit gilt
> für den relativen Fehler:
>  
> [mm]\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|f(x)|}\leq 21 \cdot \dfrac{|x|}{|f(x)|}\dfrac{|x-y|}{|x|} \leq 21 \cdot \dfrac{2}{5}\dfrac{|x-y|}{|x|}=8.4\dfrac{|x-y|}{|x|}.[/mm]
>  
> Damit der relative Fehler höchstens [mm]0.1[/mm]  ist, reicht es,
> wenn die rechte Seite, höchstens  [mm]0.1[/mm]  ist. Der relative
> Fehler in [mm]y[/mm] sollte höchstens  [mm]0.1/8.4[/mm]  sein.
>  
> Meine Fragen sind die rot markierten Stellen in Text.
>  
> Danke schonmal für jede Hilfe.
>      

Bezug
                
Bezug
Fehlerabschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:48 Di 01.11.2016
Autor: tynia


> > Die Musterlösung sieht wie folgt aus:
>  >  
> > [mm]f(x)=sin(x)+5x^2 \Longrightarrow f'(x)=cos(x)+10x[/mm]
>  >    
> > Auf dem Intervall [mm]I=[1,2][/mm] gilt:
>  >  [mm]|f'(x)|\leq |cos(x)|+10|x|\leq1+10\cdot2=21[/mm]  
> >
> > Warum setzt man hier den maximalen Wert von cos=1 ein, und
>  > nicht den maximalen auf dem Interval [1,2], der

> cos(1)=0.54
>  > wäre?

>  Weil man keine Lust hat den Taschenrechner zu benutzen und
> weiß das die Abschätzung [mm]cos(x)\le[/mm] 1 gilt!


ECHT JETZT? :) Ok, dann verstehe ich es. Bei ner Klausur ohne Taschenrechner ist das wahrscheinlich sehr hilfreich.

Danke dir. VG

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