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Forum "Integration" - Fläche unter Kardiode
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Fläche unter Kardiode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Sa 22.11.2014
Autor: Teryosas

Aufgabe
Berechnen Sie die Bogenlänge der Kardiode
[mm] \Gamma=\vec{\gamma}(t) [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi [/mm] mit [mm] \vec{\gamma}(t)=R\vektor{2cos(t)-cos(2t)\\2sin(t)-sin(2t)} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi [/mm]
Hierbei ist R>0 eine Konstante. Berechen Sie außerdem den Inhalt der von dieser Kathode eingeschlossenen Fläche.

Hey,
also hier gehts mir primär um den 2. Teil der Aufgabe, die eingeschlossene Fläche.
Beim ersten Teil müsste ich ja nur [mm] \vec{\gamma}(t) [/mm] nach t ableiten, komme somit auf die Geschwindigkeit von der ich den Betrag bilde und nach t mit den Grenzen 0 und [mm] 2\pi [/mm] integriere.

Bei der Fläche würde ich nun einfach noch einmal um t integrieren mit eben den beiden Grenzen 0 und [mm] 2\pi??? [/mm]


        
Bezug
Fläche unter Kardiode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:14 Sa 22.11.2014
Autor: fred97


> Berechnen Sie die Bogenlänge der Kardiode
>  [mm]\Gamma=\vec{\gamma}(t)[/mm] | 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 2\pi[/mm] mit
> [mm]\vec{\gamma}(t)=R\vektor{2cos(t)-cos(2t)\\2sin(t)-sin(2t)}[/mm]
> für 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 2\pi[/mm]
>  Hierbei ist R>0 eine Konstante.
> Berechen Sie außerdem den Inhalt der von dieser Kathode
> eingeschlossenen Fläche.
>  Hey,
>  also hier gehts mir primär um den 2. Teil der Aufgabe,
> die eingeschlossene Fläche.
>  Beim ersten Teil müsste ich ja nur [mm]\vec{\gamma}(t)[/mm] nach t
> ableiten, komme somit auf die Geschwindigkeit von der ich
> den Betrag bilde und nach t mit den Grenzen 0 und [mm]2\pi[/mm]
> integriere.

Ja.

>
> Bei der Fläche würde ich nun einfach noch einmal um t
> integrieren mit eben den beiden Grenzen 0 und [mm]2\pi???[/mm]


Das ist doch nur schwammiges G.....


Schau Dir das

http://de.wikipedia.org/wiki/Sektorformel_von_Leibniz

an.

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
Fläche unter Kardiode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Sa 22.11.2014
Autor: Teryosas

Aufgabe
Berechnen Sie die Bogenlänge der Kardiode
[mm] \Gamma=\vec{\gamma}(t) [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi [/mm] mit [mm] \vec{\gamma}(t)=R\vektor{2cos(t)-cos(2t)\\2sin(t)-sin(2t)} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi [/mm]
Hierbei ist R>0 eine Konstante. Berechen Sie außerdem den Inhalt der von dieser Kathode eingeschlossenen Fläche.

> > Bei der Fläche würde ich nun einfach noch einmal um t
> > integrieren mit eben den beiden Grenzen 0 und [mm]2\pi???[/mm]
>  
>
> Das ist doch nur schwammiges G.....
>  
>
> Schau Dir das
>  
> http://de.wikipedia.org/wiki/Sektorformel_von_Leibniz
>  
> an.

ok hmm dann würde ich sagen ich habe dann da stehen
[mm] F(\gamma)=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{(x(t)y'(t)-y(t)x'(t))dt} [/mm]
[mm] F(\gamma)=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{((2cos(t)-cos(2t))*(2cos(t)-2cos(2t)) - ((2sin(t)-sin(2t))*(-2sin(t)+2sin(2t))))dt} [/mm]
richtig so?


Bezug
                        
Bezug
Fläche unter Kardiode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Sa 22.11.2014
Autor: fred97


> Berechnen Sie die Bogenlänge der Kardiode
>  [mm]\Gamma=\vec{\gamma}(t)[/mm] | 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 2\pi[/mm] mit
> [mm]\vec{\gamma}(t)=R\vektor{2cos(t)-cos(2t)\\2sin(t)-sin(2t)}[/mm]
> für 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 2\pi[/mm]
>  Hierbei ist R>0 eine Konstante.
> Berechen Sie außerdem den Inhalt der von dieser Kathode
> eingeschlossenen Fläche.
>  > > Bei der Fläche würde ich nun einfach noch einmal um

> t
> > > integrieren mit eben den beiden Grenzen 0 und [mm]2\pi???[/mm]
>  >  
> >
> > Das ist doch nur schwammiges G.....
>  >  
> >
> > Schau Dir das
>  >  
> > http://de.wikipedia.org/wiki/Sektorformel_von_Leibniz
>  >  
> > an.
>  
> ok hmm dann würde ich sagen ich habe dann da stehen
>  
> [mm]F(\gamma)=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{(x(t)y'(t)-y(t)x'(t))dt}[/mm]
>  
> [mm]F(\gamma)=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}{((2cos(t)-cos(2t))*(2cos(t)-2cos(2t)) - ((2sin(t)-sin(2t))*(-2sin(t)+2sin(2t))))dt}[/mm]
>  
> richtig so?

Ja

FRED

>  


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