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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | folgende Kurve r= 2, [mm] \phi [/mm] € [ 0, [mm] \pi [/mm] ]
Man berechne den Flächeninhalt zwischen dieser Kurve und der X-Achse eingeschlossenen Fläche sowie die volumina des rotationskörpers. |
So.
Für den Flächeninhalt habe ich zwei formeln gefunden die leider unterschiedliche ergebnisse liefern.
Einmal [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{\pi}{r^2 d\phi}
[/mm]
Ich setze die länge 2 ein, hoch 2 sind 4, integrier nach pi, sind [mm] 4\pi [/mm] mal 1/2 sind am Ende [mm] 2*\pi
[/mm]
zweite formel (sorry falls ich es hier nicht korrekt hinschreiben kann)
[mm] \integral_{0}^{r}{} \integral_{0}^{\pi}{d r d\phi }
[/mm]
so Ich setz also R ein 2r. Dann leite ich einmal hoch habe dann [mm] r^2 [/mm] dastehen. Dann setze ich r ein ergibt 4. Die 4 ziehe ich vors integral, integrier nach [mm] \pi [/mm] , setze pi ein (sorry für komische ausdrucksweise) und habe dann 4 PI da stehen !
Welches ergebniss ist richtig ?
Zum Volumina ich habe keine Formel für Polarkoordinaten gefunden, rauskommen muss ja 4/3 pi ^3
Nun ich habe das in kartesische Koordinaten umgewandelt, [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4
sollte das sein wegen [mm] r^2
[/mm]
So y = [mm] \wurzel{4-x^2}
[/mm]
(Was wäre btw die mathematische begründung dass ich nur die Positive wurzel benutzen darf ?)
Das sollte die Gleichung in kartesischen Koordinaten sein.
Wenn ich nun damit nach der formel [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{2}{ (\wurzel{4-x^2})^2dx} [/mm] rechne komm ich auf kein brauchbares ergebnss.
Nur wenn ich mit f(x) = [mm] 4-x^2 [/mm] rechnte also ^2 nehme die gleichung und mit pi multiplizier bzw integrier bekomm ich die [mm] 4/3pi^3
[/mm]
ABer wieso ? Das wäre ja [mm] y^2... [/mm] ich müsste das doch mit y berechnen ?
Warum muss ich eigentlich von 0 bis 2 integrieren beim letzteren ? R ist doch dann 4 zumindest [mm] r^2 [/mm] bei [mm] x^2+y^2 [/mm] = 4....
Ich bin sozusagen eher durch rumprobieren zufällig auf das ergebnis gekommen.
Danke für die Hilfe.
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Hallo Yuumura,
> folgende Kurve r= 2, [mm]\phi[/mm] € [ 0, [mm]\pi[/mm] ]
>
> Man berechne den Flächeninhalt sowie die volumina
> So.
>
> Für den Flächeninhalt habe ich zwei formeln gefunden die
> leider unterschiedliche ergebnisse liefern.
>
> Einmal [mm]\bruch{1}{2} \integral_{0}^{\pi}{r^2 d\phi}[/mm]
>
> Ich setze die länge 2 ein, hoch 2 sind 4, integrier nach
> pi, sind [mm]4\pi[/mm] mal 1/2 sind am Ende [mm]2*\pi[/mm]
>
> zweite formel (sorry falls ich es hier nicht korrekt
> hinschreiben kann)
>
> [mm]\integral_{0}^{r}{} \integral_{0}^{\pi}{d r d\phi }[/mm]
Die Formel muß doch so lauten:
[mm]\integral_{0}^{r}{} \integral_{0}^{\pi}{\red{r} \ dr \ d\phi }[/mm]
Die Formel entsteht aus
[mm]\integral_{}^{}{ \integral_{}^{}{ dy \ dx}[/mm]
Verwendet man hier Polarkoordinaten
[mm]x=r*\cos\left(\phi\right), \ y=r*\sin\left(\phi\right)[/mm]
dann ergibt sich das Integral
[mm]\integral_{}^{}{} \integral_{}^{}{r \ dr \ d\phi}[/mm]
Somit sind diese Formel und Deine erstere Formel äquivalent.
>
> so Ich setz also R ein 2r. Dann leite ich einmal hoch habe
> dann [mm]r^2[/mm] dastehen. Dann setze ich r ein ergibt 4. Die 4
> ziehe ich vors integral, integrier nach [mm]\pi[/mm] , setze pi ein
> (sorry für komische ausdrucksweise) und habe dann 4 PI da
> stehen !
>
> Welches ergebniss ist richtig ?
>
> Zum Volumina ich habe keine Formel für Polarkoordinaten
> gefunden, rauskommen muss ja 4/3 pi ^3
>
> Nun ich habe das in kartesische Koordinaten umgewandelt,
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 4
> sollte das sein wegen [mm]r^2[/mm]
>
> So y = [mm]\wurzel{4-x^2}[/mm]
>
> (Was wäre btw die mathematische begründung dass ich nur
> die Positive wurzel benutzen darf ?)
Per Definition ist die Wurzel aus einer positiven Zahl wieder eine positive Zahl.
>
> Das sollte die Gleichung in kartesischen Koordinaten sein.
>
> Wenn ich nun damit nach der formel [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{2}{ (\wurzel{4-x^2})^2dx}[/mm]
> rechne komm ich auf kein brauchbares ergebnss.
>
> Nur wenn ich mit f(x) = [mm]4-x^2[/mm] rechnte also ^2 nehme die
> gleichung und mit pi multiplizier bzw integrier bekomm ich
> die [mm]4/3pi^3[/mm]
>
> ABer wieso ? Das wäre ja [mm]y^2...[/mm] ich müsste das doch mit y
> berechnen ?
Nein. das ist das Volumen des Körpers,
der bei Rotation von [mm]y=\wurzel{4-x^{2}}[/mm] um die x-Achse entsteht.
>
> Warum muss ich eigentlich von 0 bis 2 integrieren beim
> letzteren ? R ist doch dann 4 zumindest [mm]r^2[/mm] bei [mm]x^2+y^2[/mm] =
> 4....
Nein, r ist 2.
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> Ich bin sozusagen eher durch rumprobieren zufällig auf das
> ergebnis gekommen.
>
> Danke für die Hilfe.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Hm ok aber wieso darf ich denn jetzt nicht die Formel für y=....
Verwenden sondern muss sie für [mm] y^2 [/mm] verwenden ?
Es geht doch um "y" und nicht um [mm] y^2 [/mm] ? Bei [mm] y^2 [/mm] wäre ja auch r=4...
Bzw [mm] x^2+y^2=4....
[/mm]
Warum soll ich dann über [mm] y^2 [/mm] und nicht über y=.... integrieren ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Di 07.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yuumura!
> Hm ok aber wieso darf ich denn jetzt nicht die Formel für y=....
>
> Verwenden sondern muss sie für [mm]y^2[/mm] verwenden ?
Weil das die Formel für das Rotationsvolumen der "drehenden Funktion $y_$ um die x-Achse ist mit:
[mm] $$V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 \ dx}$$
[/mm]
Sihe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:19 Di 07.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
nein ich habe [mm] \wurzel{4-x^2}
[/mm]
schon in der Formel ^2 genommen und dann von 0 bis 2 integriert !
nur wenn ich es ^4 nehme also gleich von anfang an ohne wurzel rechne und dann ^2 nehme kommt das richtige ergebniss 4/3 [mm] pi^3...
[/mm]
Wenn du es selbst rechnest siehst du das.
OHHH ich habs schon rausgefunden, dsa ist ein rotationskörper alsso muss ich einfach nicht 0 bis 2 integrieren sondern von -R bis +R d.H -2 bis +2...
Dann klappts, das war der Grund....
Aber btw darf ich von -2 bis +2 integrieren oder muss ich nicht von -2 bis x wobei x gegen 0 konvergiert und dann wieder von 0+ bis 2 ?
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> OHHH ich habs schon rausgefunden, das ist ein
> rotationskörper also muss ich einfach nicht 0 bis 2
> integrieren sondern von -R bis +R d.H -2 bis +2...
> Dann klappts, das war der Grund....
>
> Aber btw darf ich von -2 bis +2 integrieren oder muss ich
> nicht von -2 bis x wobei x gegen 0 konvergiert und dann
> wieder von 0+ bis 2 ?
An der Stelle x=0 und in deren Umgebung
ist die Funktion [mm] \sqrt{4-x^2} [/mm] absolut regulär.
Man kann ohne weiteres über diese Stelle
hinweg integrieren.
LG Al-Chw.
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Hallo Yuumura,
> folgende Kurve r= 2, [mm]\phi[/mm] € [ 0, [mm]\pi[/mm] ]
>
> Man berechne den Flächeninhalt zwischen dieser Kurve und
> der X-Achse eingeschlossenen Fläche sowie die volumina ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> des rotationskörpers.
Die Volumina ?
"die Volumina" ist der Plural von "das Volumen"
Hier ist wohl nur ein Volumen gefragt. Allerdings
sollte noch gesagt sein, um welche Achse denn
das Flächenstück gedreht werden soll, um einen
Rotationskörper zu erzeugen.
> So.
>
> Für den Flächeninhalt habe ich zwei formeln gefunden die
> leider unterschiedliche ergebnisse liefern.
>
> Einmal [mm]\bruch{1}{2} \integral_{0}^{\pi}{r^2 d\phi}[/mm]
>
> Ich setze die länge 2 ein, hoch 2 sind 4, integrier nach
> pi, sind [mm]4\pi[/mm] mal 1/2 sind am Ende [mm]2*\pi[/mm]
>
> zweite formel (sorry falls ich es hier nicht korrekt
> hinschreiben kann)
>
> [mm]\integral_{0}^{r}{} \integral_{0}^{\pi}{d r d\phi }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
MathePower hat schon gemeldet, dass in
dieser Formel ein Faktor r im Integranden fehlt
>
> so Ich setz also R ein 2r.
(was soll das heißen ?)
> Dann leite ich einmal hoch
du willst sagen, du integrierst einmal
> habe dann [mm]r^2[/mm] dastehen. Dann setze ich r ein ergibt 4. Die 4
> ziehe ich vors integral, integrier nach [mm]\pi[/mm] , setze pi ein
> (sorry für komische ausdrucksweise) und habe dann 4 PI da
> stehen !
>
> Welches ergebniss ist richtig ?
Den richtigen Flächeninhalt kannst du
mit einer einfachen Formel aus der
Planimetrie nachrechnen.
> Zum Volumina ich habe keine Formel für Polarkoordinaten
> gefunden, rauskommen muss ja 4/3 pi ^3 ![[schockiert]](/images/smileys/schockiert.gif "[schockiert]")
ich sehe da nur die Überreste
einer schwer verletzten Formel ...
> Nun ich habe das in kartesische Koordinaten umgewandelt,
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 4 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
diese Gleichung gilt für jeden Punkt
der betrachteten Kurve
> sollte das sein wegen [mm]r^2[/mm]
>
> So y = [mm]\wurzel{4-x^2}[/mm]
>
> (Was wäre btw die mathematische begründung dass ich nur
> die Positive wurzel benutzen darf ?)
Die gegebene Kurve mit [mm] \phi\in[0,\pi] [/mm] ist nur
der obere Halbkreis, also passt es.
> Das sollte die Gleichung in kartesischen Koordinaten sein.
>
> Wenn ich nun damit nach der formel [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{2}{ (\wurzel{4-x^2})^2dx}[/mm]
> rechne komm ich auf kein brauchbares ergebnss.
Du musst dir halt klar machen (an der Zeichnung),
von wo bis wo die Integration gehen muss.
> Nur wenn ich mit f(x) = [mm]4-x^2[/mm] rechnte also ^2 nehme die
> gleichung und mit pi multiplizier bzw integrier bekomm ich
> die [mm]4/3pi^3[/mm]
In Zahlen: [mm] \bruch{4}{3}*\pi^3\approx41.34
[/mm]
Das hast du hoffentlich ja nicht so gemeint...
Das korrekte Volumen ist [mm] \approx33.51
[/mm]
> ABer wieso ? Das wäre ja [mm]y^2...[/mm] ich müsste das doch mit y
> berechnen ?
>
> Warum muss ich eigentlich von 0 bis 2 integrieren beim
> letzteren ? R ist doch dann 4 zumindest [mm]r^2[/mm] bei [mm]x^2+y^2= 4....[/mm]
siehe die Bemerkung von MathePower.
und was bezeichnest du eigentlich mit r
und was mit R ?
> Ich bin sozusagen eher durch rumprobieren zufällig auf das
> ergebnis gekommen.
Ja, das ist halt eine "Methode", die nur
recht selten zum Ziel führt ...
> Danke für die Hilfe.
LG Al-Chw.
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