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Forum "Folgen und Reihen" - Folge und 1-Norm
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Folge und 1-Norm: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 So 23.04.2017
Autor: Austinn

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Folge

[mm] a_{n}:=(\vektor{\bruch{n}{n^{2}+1} \\ \bruch{8n}{2n^{2}+2} \\ \bruch{5}{n^{3}+n}}) [/mm]

in [mm] V=\IR^{3} [/mm] mit der 1-Norm eine Nullfolge ist.
Gilt diese Aussage ebenfalls bezüglich der 2-Norm?


Mein Ansatz:

[mm] a_{n}=|\bruch{n}{n^{2}+1}|+|\bruch{8n}{2n^{2}+2}|+|\bruch{5}{n^{3}+n}| [/mm]
= [mm] |\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{8}{n}}{2+\bruch{2}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{5}{n^{3}}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})| [/mm]
= 0+0+0 = 0 [mm] \to [/mm] Nullfolge

Mit der 2-Norm wäre es doch dann auch eine Nullfolge, oder? Weil wenn ich x, y und z unter der Wurzel quadriere würde der Nenner trotzdem bei jedem stärker wachsen und die Wurzel aus 0 ist 0.

Ist mein Ansatz so richtig?
Danke!

        
Bezug
Folge und 1-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 So 23.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg meine Zusammenfassung: Deine Idee ist richtig, für deine Notation hätte ich dir aber trotzdem 0 Punkte gegeben.

> [mm]a_{n}=|\bruch{n}{n^{2}+1}|+|\bruch{8n}{2n^{2}+2}|+|\bruch{5}{n^{3}+n}|[/mm]

[mm] a_n [/mm] ist ein Vektor! Rechts steht eine relle Zahl. Und Vektor = reelle Zahl ist totaler Blödsinn.
Was du meinst, ist:
[mm]\parallel a_{n} \parallel_1 =|\bruch{n}{n^{2}+1}|+|\bruch{8n}{2n^{2}+2}|+|\bruch{5}{n^{3}+n}|[/mm]

>=  [mm]|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{8}{n}}{2+\bruch{2}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{5}{n^{3}}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|[/mm]

Gleich die nächste schreckliche Gleichung.
Links steht ein Term, der von n abhängt, rechts steht ein Ausdruck, der nicht mehr von n abhängt, weil du plötzlich Grenzwerte bildest.
Allein deswegen ist es schon falsch.
Was du meinst:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \parallel a_{n} \parallel_1 [/mm] = [mm] |\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{8}{n}}{2+\bruch{2}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{5}{n^{3}}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|$ [/mm]


>  = 0+0+0 = 0 [mm]\to[/mm] Nullfolge

Das ist jetzt zwar eine Nullfolge,  aber du meinst das falsche.
Du hast nun gezeigt, dass [mm] $\parallel a_{n} \parallel_1$ [/mm] eine Nullfolge (in [mm] $\IR$!) [/mm] ist, was bedeutet das für die Folge [mm] a_n [/mm] in [mm] $\IR^3$? [/mm]

> Mit der 2-Norm wäre es doch dann auch eine Nullfolge,
> oder? Weil wenn ich x, y und z unter der Wurzel quadriere
> würde der Nenner trotzdem bei jedem stärker wachsen und
> die Wurzel aus 0 ist 0.

Ja.
Genauso wie du den Grenzwert in den Betrag ziehen kannst (warum eigentlich?), kannst du ihn in die Wurzel und das Quadrat reinziehen.
Grundsätzlich kannst du dir merken: Alle Normen im [mm] $\IR^n$ [/mm] sind äquivalent, daher konvergierte eine Folge entweder in allen Normen oder in gar keiner.

> Ist mein Ansatz so richtig?

Ja, aber nimm dir die Kritik zu Herzen wegen der Notation, ansonsten konvergiert deine Punktausbeute analog zu obiger Folge gegen Null.

Gruß,
Gono

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Folge und 1-Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Mo 24.04.2017
Autor: Austinn

Hallo Gonozal_IX,
danke für Deine Antwort.

Was meinst Du mit:

> Das ist jetzt zwar eine Nullfolge,  aber du meinst das falsche.
> Du hast nun gezeigt, dass [mm] \parallel a_{n} \parallel_1 [/mm] eine Nullfolge (in [mm] \IR!) [/mm]      
> ist, was bedeutet das für die Folge  [mm] a_n [/mm] in [mm] \IR^3? [/mm]

Und wäre denn die Aufgabe jetzt abgesehen von der Notation nicht gelöst?

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Folge und 1-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Mo 24.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Und wäre denn die Aufgabe jetzt abgesehen von der Notation nicht gelöst?

jein :-)
Formeltechnisch gesehen ist sie gelöst… aber dir scheint das nicht klar zu sein.

Du hast bisher gezeigt: "Die 1-Norm der Folgenglieder konvergiert gegen 0".
Was du aber zeigen sollst, ist "Die Folge konvergiert bezüglich der 1-Norm gegen 0".

Mach dir mal klar, dass das zwei verschiedene Dinge sind!

Aus ersterem folgt aber zweiteres!

Stellen wir die Frage mal konkreter: Wann konvergiert eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] in [mm] $\IR^3$ [/mm] denn gegen einen Grenzwert $g$ bezüglich der 1-Norm?

Gruß,
Gono


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Folge und 1-Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Mo 24.04.2017
Autor: Austinn

Eine Folge in [mm] \IR^{n} [/mm] konvergiert genau dann, wenn alle Komponentenfolgen (d.h. x, y und z?) in [mm] \IR [/mm] konvergieren.
D.h. in diesem Fall konvergieren ja alle Komponentenfolgen gegen 0, richtig?

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Folge und 1-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Mo 24.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Eine Folge in [mm]\IR^{n}[/mm] konvergiert genau dann, wenn alle
> Komponentenfolgen (d.h. x, y und z?) in [mm]\IR[/mm] konvergieren.

Ja, das ist nun aber wieder ein anderer Ansatz.

>  D.h. in diesem Fall konvergieren ja alle Komponentenfolgen gegen 0, richtig?

Ja, und damit konvergiert die Gesamtfolge wogegen?

Gruß,
Gono


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Folge und 1-Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Mo 24.04.2017
Autor: Austinn

Die Gesamtfolge konvergiert deshalb gegen 0 (Nullfolge)?


Weil das nun wieder ein falscher Ansatz von mir war, bleibt mir dir Frage offen,

> Wann konvergiert eine Folge $ [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] $ in $ [mm] \IR^3 [/mm] $ denn gegen einen Grenzwert $ g $ bezüglich der 1-Norm?


Bezug
                                                        
Bezug
Folge und 1-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Mo 24.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die Gesamtfolge konvergiert deshalb gegen 0 (Nullfolge)?

Gegen welche?
Du betrachtest eine Folge im [mm] $\IR^3$, [/mm] die Norm ist aber ein Element aus [mm] $\IR$. [/mm] Beide Räume haben eine "$0$"… dir scheint das nicht so ganz klar zu sein.

Daher noch mal konkret die Frage: Wogegen konvergiert [mm] $a_n$? [/mm]
Als Tipp: Es ist NICHT [mm] $0\in\IR$ [/mm]

> Weil das nun wieder ein falscher Ansatz von mir war,

Er war nicht falsch, es war nur ein anderer:

> bleibt mir dir Frage offen,
>  > Wann konvergiert eine Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] in [mm]\IR^3[/mm]

> denn gegen einen Grenzwert [mm]g[/mm] bezüglich der 1-Norm?

Und genau daran haperte es also:
Eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n \in \IR^3$ [/mm] kann auch nur gegen einen Grenzwert [mm] $g\in\IR^3$ [/mm] konvergieren!
D.h. der Grenzwert muss immer in dem selben Raum liegen wie die Folgenglieder.

Nun gibt es äquivalente Aussagen für [mm] $\IR^n$, [/mm] wann eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] gegen g konvergiert:

1.) Jede Komponente von [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen die entsprechende Komponente von g (das war dein "anderer" Ansatz)

2.) Für eine beliebige p-Norm gilt: [mm] $||a_n [/mm] - [mm] g||_p$ [/mm] konvergiert gegen 0.
Da [mm] $||a_n [/mm] - [mm] g||_p \in \IR$ [/mm] gilt, ist hier also die $0 [mm] \in \IR$ [/mm] gemeint.


Und was ich dir genau klar machen wollte, erkläre ich dir, wenn du meine erste Frage beantwortet hast "Wogegen konvergiert [mm] $a_n$?" [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
                                                                
Bezug
Folge und 1-Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Mo 24.04.2017
Autor: Austinn

Hallo Gonozal_IX ,
danke für deine Geduld. :D Leider blicke ich es gerade nicht durch.

Meinst du hier etwa den Nullvektor? Also [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0} [/mm]


Bezug
                                                                        
Bezug
Folge und 1-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:27 Di 25.04.2017
Autor: fred97


> Hallo Gonozal_IX ,
>  danke für deine Geduld. :D Leider blicke ich es gerade
> nicht durch.
>  
> Meinst du hier etwa den Nullvektor? Also [mm]a_{n}[/mm] konvergiert
> gegen [mm]\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]
>  


Ja, die Folge



$ [mm] a_{n}:=(\vektor{\bruch{n}{n^{2}+1} \\ \bruch{8n}{2n^{2}+2} \\ \bruch{5}{n^{3}+n}}) [/mm] $

konvergiert gegen  [mm]\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm], weil jede Koordinatenfolge gegen 0 konvergiert.



Bezug
                                                                        
Bezug
Folge und 1-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 Di 25.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
  

> Meinst du hier etwa den Nullvektor? Also [mm]a_{n}[/mm] konvergiert
> gegen [mm]\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]

[ok]

Mach dir klar, dass das was anderes ist, als das, was du mit "0" meinst…
Du sollst nun ja eigentlich zeigen, dass [mm] a_n [/mm] bezüglich der 1-Norm gegen diesen Grenzwert konvergiert. D.h. rein formal wäre zu zeigen:

[mm] $\left|\left| a_n - \vektor{0 \\ 0 \\0}\right|\right|_1 \to [/mm] 0$

Das ist nun aber gerade (wegen des speziellen Grenzwerts!) dasselbe wie [mm] $||a_n||\to [/mm] 0$, was du gezeigt hast.

Gruß,
Gono

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