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Fortsetzungssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:25 Mi 21/06/2017
Author: Noya

Aufgabe
Zeigen Sie mit Hilfe des Fortsetzungssatzes, dass das Anfangswertproblem
u(t) = − [mm] t^2*u^3(t) [/mm]
u(0) = −1
eine eindeutige Lösung für alle Zeiten t [mm] \ge [/mm] 0 besitzt

Hallo ihr Lieben,


ich habe eine Frage zu der Aufgabe.
Mit "Variation der Konstanten" :

[mm] u'=-t^2+u^3 [/mm]

[mm] \int_{0}^{t} \bruch{1}{u(s)^3} [/mm] du(s) = - [mm] \int_{0}^{t} [/mm] s^(2) ds

[mm] \bruch{-1}{2*u(t)^2}+\bruch{1}{u(0)^2} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{3}t^3 [/mm]

...

[mm] u(t)=\wurzel{\bruch{1}{\bruch{2}{3}t^3+1}}=\wurzel{\bruch{3}{2t^3+3}} [/mm]

also muss [mm] 2t^3+3 [/mm] > 0 sein [mm] \Rightarrow t^3 [/mm] > [mm] -\bruch{3}{2} \Rightarrow t\le [/mm] 0


sooo. Aber inwiefern brauch man hierfür jetzt den Fortsetzungssatz?

Daaaaanke! :)


        
Bezug
Fortsetzungssatz: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:47 Mi 21/06/2017
Author: leduart

Hallo
setz deine Lösung mal in die Dgl ein, die stimmt nicht.  falls es [mm] u'=u^3-t^2 [/mm] ist.
für [mm] u'=-t^2*u^3 [/mm] stimmt sie.
und du verwendest nicht Variation der Konstanten!
jetzt hast du eine Lösung gefunden die für alle t>0 definiert ist. woher weisst du, dass es keine weitere gibt?
du wurdest nicht nach einer Lösung gefragt, sondern nach der Eindeutigkeit.
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Fortsetzungssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:15 Do 22/06/2017
Author: Noya


> Hallo
>   setz deine Lösung mal in die Dgl ein, die stimmt nicht.  
> falls es [mm]u'=u^3-t^2[/mm] ist.
>  für [mm]u'=-t^2*u^3[/mm] stimmt sie.

Oh ich meine natürlich [mm] u'=-t^2*u^3. [/mm] Das war ein Tippfehler von mir...


>  und du verwendest nicht Variation der Konstanten!

Wie heißt das denn? Dachte das heißt so?

>  jetzt hast du eine Lösung gefunden die für alle t>0
> definiert ist. woher weisst du, dass es keine weitere
> gibt?
>  du wurdest nicht nach einer Lösung gefragt, sondern nach
> der Eindeutigkeit.

oh okay.

Hier mal kurz "unsere" Formulierung des Satzes
Sei [mm] t_{*} [/mm] > [mm] t_0 [/mm] und sei u [mm] \in C^1 ([t_0,t_{*}],\IR^n) [/mm] Lösung von u'=f(t,u(t)) in [mm] [t_0,t_{*}), u(t_0)=u_0. [/mm]
Die Menge D [mm] \subseteq \IR [/mm] x [mm] \IR^n [/mm] sei offen und zusammenhängend mit (t,u(t)) [mm] \in [/mm] D für t [mm] \in [t_0,t_{*}) [/mm]
Weiter sei f [mm] \in C^0(D, \IR^n) [/mm] und für jede kompakte Menge K [mm] \subseteq [/mm] D gebe es eine konstante L(K), so dass für alle [mm] (t,v_1),(t,v_2) \in [/mm] K gilt :
[mm] |f(t,v_1)-f(t,v_2) [/mm] | [mm] \le [/mm] L(K) [mm] |v_1 [/mm] - [mm] v_2|. [/mm]
Es gebe eine Folge [mm] t_m \in [t_0,t_{*}) [/mm] (m [mm] \in \IN) [/mm] mit
[mm] t_m \to t_{*} m\to \infty, [/mm] s.d für ein [mm] u_{*} \in \IR^n [/mm] mit [mm] (t_{*},u_{*}) \in [/mm] D gilt :
[mm] (t_m, u_m(t)) \to (t_{*},u_{*}) [/mm]
Dann lässt sich u über [mm] t_{*} [/mm] hinaus als Lösung des AWP FORTSETZEN, d.h. Es gibt eine Zahl [mm] \lambda [/mm] > 0 und eine Funktion [mm] \overline{u} \in ([t_0, t_{*}+\lambda],\IR^n) [/mm] mit u = [mm] \overline{u} [/mm] auf [mm] [t_0,t_{*}) [/mm] und
[mm] \overline{u}'=f( \cdot, \overline{u}) [/mm]
[mm] \overline{u}(t_0)=u_0 [/mm]

(Und es gibt keine weitere Lösung auf [mm] [t_0,t_{*}+\lambda]) [/mm]


Wie müsste ich da also jetzt vorgehen?
Danke für deine Hilfe!
Theoretisch müsste ich doch dann ein [mm] t_m [/mm] finden oder?


Bezug
                        
Bezug
Fortsetzungssatz: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:18 Do 22/06/2017
Author: leduart

Hallo
erst mal ein L finden für [mm] 0<=t<=t_1 [/mm]  dann über a hinaus fortsetzen
Gruß ledum

Bezug
                                
Bezug
Fortsetzungssatz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 13:57 Do 22/06/2017
Author: Noya

Da ja [mm] (t,v_1) [/mm] und [mm] (t,v_2) \in [/mm] K kann dann die Konstante L auch von t, [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] abhängig sein??

Hätte jetzt
[mm] |f(t,v_1)-f(t,v_2)|=...\le t^2*|v_1^3-v_2^3| \le ...\le t^2*(v_1+v_2)^2 *|v_1-v_2| [/mm]

Kann [mm] L(K)=t^2*(v_1+v_2)^2 [/mm] Sein?

Irgendwie verstehe ich den Satz nicht so recht anzuwenden...

Bezug
                                        
Bezug
Fortsetzungssatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 14:20 Sa 24/06/2017
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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