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Forum "Funktionalanalysis" - Fourierkoeffizienten
Fourierkoeffizienten < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fourierkoeffizienten: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Mi 21.10.2015
Autor: mathestudent222

Aufgabe
Sei [mm] $f:\IR\to\IC$ [/mm] eine [mm] $C^2$-Funktion [/mm] mit Periode 1. Wenn [mm] $c_k=\int_0^1 f(x)e^{-2\pi ikx}dx [/mm] die Fourierkoeffizienten sind, zeige, dass [mm] $\lim_{|k|\to\infty}k^2|c_k|=0.$ [/mm]

Ich kenne das Lemma von Riemann-Lebesgue, das besagt: [mm] $\lim_{|k|\to\infty}|c_k|=0$ [/mm] für jedes [mm] $f\in\L^1[0,1]$. [/mm] Da unsere Funktion zweimal stetig differenzierbar mit Periode 1 ist, ist sie eine [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] Funktion und das Lemma könnte somit verwendet werden. Ich weiß aber nicht wirklich was ich mit dem [mm] $k^2$ [/mm] anfangen soll. Kann mir jemand weiterhelfen?

        
Bezug
Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Mi 21.10.2015
Autor: fred97


> Sei [mm]$f:\IR\to\IC$[/mm] eine [mm]$C^2$-Funktion[/mm] mit Periode 1. Wenn
> [mm]$c_k=\int_0^1 f(x)e^{-2\pi ikx}dx[/mm] die Fourierkoeffizienten
> sind, zeige, dass [mm]$\lim_{|k|\to\infty}k^2|c_k|=0.$[/mm]
>  Ich kenne das Lemma von Riemann-Lebesgue, das besagt:
> [mm]\lim_{|k|\to\infty}|c_k|=0[/mm] für jedes [mm]f\in\L^1[0,1][/mm]. Da
> unsere Funktion zweimal stetig differenzierbar mit Periode
> 1 ist, ist sie eine [mm]L^1[0,1][/mm] Funktion und das Lemma könnte
> somit verwendet werden. Ich weiß aber nicht wirklich was
> ich mit dem [mm]k^2[/mm] anfangen soll. Kann mir jemand
> weiterhelfen?

Wie lauten denn die Fourierkoeffizienten der  1. und 2. Ableitung

Fred


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Fourierkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Mi 21.10.2015
Autor: mathestudent222

Da $f [mm] \in C^2$, [/mm] macht das Integral für die Fourierkoeffizienten Sinn und wir erhalten dafür [mm] $c_k^{''}=(2\pi ik)^2c_k$. [/mm] Der Betrag davon muss nun wegen des Riemann-Lebesgue Lemmas auch gegen null konvergieren, d.h. [mm] $|c_k^{''}|=4\pi^2k^2|c_k|\to [/mm] 0$ und daher folgt das Resultat. Stimmt das so?

Noch eine Frage: Da $f [mm] \in C^2$ [/mm] mit Periode 1, ist die zweite Ableitung stetig mit Periode 1. Kann man daraus so leicht schließen, dass $f [mm] \in L^1[0,1]$ [/mm] ist? Nicht jede stetige Funktion ist eine [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] Funktion, oder? Ist jede stetige periodische Funktion eine [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] Funktion?

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Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Mi 21.10.2015
Autor: fred97


> Da [mm]f \in C^2[/mm], macht das Integral für die
> Fourierkoeffizienten Sinn und wir erhalten dafür
> [mm]c_k^{''}=(2\pi ik)^2c_k[/mm]. Der Betrag davon muss nun wegen
> des Riemann-Lebesgue Lemmas auch gegen null konvergieren,
> d.h. [mm]|c_k^{''}|=4\pi^2k^2|c_k|\to 0[/mm] und daher folgt das
> Resultat. Stimmt das so?

Ja


>  
> Noch eine Frage: Da [mm]f \in C^2[/mm] mit Periode 1, ist die zweite
> Ableitung stetig mit Periode 1. Kann man daraus so leicht
> schließen, dass [mm]f \in L^1[0,1][/mm] ist? Nicht jede stetige
> Funktion ist eine [mm]L^1[0,1][/mm] Funktion, oder?

Doch.

Fred


Ist jede stetige

> periodische Funktion eine [mm]L^1[0,1][/mm] Funktion?


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Fourierkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Mi 21.10.2015
Autor: mathestudent222

Danke für deine raschen Antworten!

>Nicht jede stetige Funktion ist eine $ [mm] L^1[0,1] [/mm] $ Funktion, oder?
>Doch.

Was ist zB mit der Funktion [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$? [/mm] Die ist stetig, aber auf $[0,1]$ nicht integrierbar!?


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Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Mi 21.10.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke für deine raschen Antworten!
>  
> >Nicht jede stetige Funktion ist eine [mm]L^1[0,1][/mm] Funktion,
> oder?
>  >Doch.
>  
> Was ist zB mit der Funktion [mm]f(x)=\frac{1}{x}[/mm]? Die ist
> stetig,

nein - was sollte den [mm] $f(0)\,$ [/mm] sein? Sie ist in 0 auch nicht stetig ergänzbar.

Gruß,
  Marcel

> aber auf [mm][0,1][/mm] nicht integrierbar!?



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Fourierkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mi 21.10.2015
Autor: mathestudent222

Naja, sie ist in null einfach nicht definiert. Aber in ihrem gesamten Definitionsbereich ist sie stetig. Und [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] beinhaltet doch alle Funktionen, die auf $[0,1]$ integrierbar sind.

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Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Mi 21.10.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Naja, sie ist in null einfach nicht definiert. Aber in
> ihrem gesamten Definitionsbereich ist sie stetig.

Definition: Sei $f [mm] \colon [/mm] D  [mm] \to [/mm] Z$ eine Funktion. [mm] $f\,$ [/mm] heißt stetig in [mm] $x_0 \in [/mm] D$, wenn (blablabla) (kennste sicher).

[mm] $f\,$ [/mm] heißt STETIG, wenn gilt: [mm] $f\,$ [/mm] ist stetig in allen [mm] $x_0 \in [/mm] D$.

Damit $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig ist, muss [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $0\,$ [/mm] sein - aber wenn
$f(0)$ nicht definiert ist, ist [mm] $f\,$ [/mm] in 0 weder stetig noch unstetig, daher ist Deine
Aussage falsch.

Übrigens ist $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $f(x)=1/x$ keine vollständige Funktionsangabe,
denn $f(x)=1/x$ kann so nur für $x [mm] \in [/mm] (0,1]$ gelten. [mm] $f(0)\,$ [/mm] ist dann noch nicht
definiert (Du könntest $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] durch $f [mm] \colon [/mm] (0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] ersetzen;
also nur, damit *die* Funktion VOLLSTÄNDIG beschrieben/angegeben wurde.)

Siehe auch:

    http://matheraum.de/read?i=1037060#artikelmenu

Gruß,
  Marcel

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Fourierkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Mi 21.10.2015
Autor: mathestudent222

Ja, das mit der Stetigkeit verstehe ich. D.h. aber, dass ich nicht behaupten kann, dass [mm] $\frac{1}{x}\in L^1[0,1]$, [/mm] weil die Funktion gar nicht auf $[0,1]$ definiert werden kann, oder?

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Fourierkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Mi 21.10.2015
Autor: mathestudent222

D.h. ich kann nicht sagen, dass jede stetige Funktion in [mm] $L^1(0,1]$ [/mm] liegt, oder?

Bezug
                                                                                
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Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:42 Mi 21.10.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> D.h. ich kann nicht sagen, dass jede stetige Funktion in
> [mm]L^1(0,1][/mm] liegt, oder?

das sowieso nicht, aber bei kompakten Mengen geht das. Allerdings ist die
verständlichere Aussage erstmal die:

    $f [mm] \in [/mm] C[a,b]$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f [mm] \in \mathcal{L}^1[a,b]$. [/mm]

Denn mit $f [mm] \in L^1[a,b]$ [/mm] meint man (hier!) eigentlich $[f] [mm] \in L^1[a,b]$. [/mm]

Gruß,
  Marcel

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Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Mi 21.10.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Ja, das mit der Stetigkeit verstehe ich. D.h. aber, dass
> ich nicht behaupten kann, dass [mm]\frac{1}{x}\in L^1[0,1][/mm],
> weil die Funktion gar nicht auf [mm][0,1][/mm] definiert werden
> kann, oder?

bedenke bitte, dass ein Element des Raumes [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] eine Äquivalenzklasse
ist.

Verwechsle nicht

    $f [mm] \in L^1$ [/mm] ([]Wiki:L1)

mit

    $f [mm] \in \mathcal{L}^1$ [/mm] ([]Wiki: (Anderes L)1)

Man sagt (dennoch - ähnlich, wie man bei den rationalen Zahlen auch einen
Repräsentanten eines Bruches mit seiner ÄK identifiziert), dass eine 'Funktion'
$f [mm] \in L^1[0,1]$ [/mm] stetig sei. Das bedeutet dann aber folgendes:

Eine "Funktion" (in einem 'nichtklassischen' Sinne) $f [mm] \in L^1[0,1]$ [/mm] heißt stetig, falls
es eine Funktion $g [mm] \in [/mm] f$ [mm] ($g\,$ [/mm] ist eine im 'klassischen' Sinne) so gibt, dass [mm] $g\,$ [/mm] stetig
ist.

Das hätten wir vielleicht vorhin besser schon deutlicher gemacht: Denn Deine
Funktion $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=1/x\,$ [/mm] - sagen wir mal, es wäre zudem
[mm] $f(0):=0\,,$ [/mm] ist keine [mm] $L^1[0,1]$-Funktion, [/mm] sie stünde aber für

    $[f]$;

wenn denn $f [mm] \in \mathcal{L}^1[0,1]$ [/mm] wäre(!) (was leider hier nicht der Fall ist).

Weil das, wie gesagt, nicht der Fall ist: Nehmen wir mal

    [mm] $f(x):=\sin(x)$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$, $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$. [/mm]

Dann ist $f [mm] \in \mathcal{L}^1[0,1]$. [/mm] Und wegen $f [mm] \in [/mm] C[0,1]$ ist auch $[f]$ stetig.
(Beachte den Unterschied der beiden Aussagen:
I. Die 'klassische Funktion' [mm] $f\,$ [/mm] ist stetig.
II. Die 'Funktion' [mm] $[f]\,$ [/mm] (das ist eine Menge von 'klassischen' Funktionen)
ist stetig.

Das sind 2 Aussagen!)

Nun betrachte $g [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=\sin(x)$ [/mm] für $x [mm] \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] und
$g(x):=0$ für $x [mm] \in \IQ\,.$ [/mm]

Sicherlich ist $g [mm] \notin [/mm] C[0,1]$. Aber $[g]$ ist stetig: Denn offenbar gilt $[g]=[f]$ und
damit insbesondere $f [mm] \in [/mm] [g]$, und es war $f [mm] \in [/mm] C[0,1]$.

Ich kann Dir das erste Kapitel meiner Diplomarbeit schicken, da habe ich das
Ganze etwas deutlicher formuliert - falls Dir das hier noch nicht reicht. Ich
hoffe, Du verstehst die [mm] $[.]\,$-Notation [/mm] für Äquivalenzklassen hier... Sonst
frage bitte nochmal nach.

Wenn man jetzt sowas sagt, wie $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $f(x):=1/x$ ist stetig
und meint damit [mm] $f\,$ [/mm] 'im klassischen Sinne', wird das schon unsinnig, weil hier [mm] $f(0)\,$ [/mm]
nicht definiert ist.

Meinst Du damit aber die Menge aller Funktionen, die sich nur auf einer
Nullmenge aus [0,1] von der obigen 'Funktion' (sinnvoll wäre es dann
dennoch, f(0) zu definieren, aber es ist nicht notwendig, da einelementige
Mengen insbesondere Lebesguesche Nullmengen sind [da abzählbar])
unterscheiden (sauber würdest Du also sagen wollen, dass [mm] $[f]\,$ [/mm] stetig
ist), so würdest Du quasi indirekt behaupten, dass sich "die bisher
angegebene Funktion stetig in der Stelle 0 ergänzen läßt".

Nun aber zurück:
Wenn $f [mm] \in [/mm] C[a,b]$ ist, ist auch $f [mm] \in \mathcal{L}^1[a,b]$ [/mm] (stetige Funktionen auf
kompakten Mengen sind beschränkt, daraus folgt das sofort).
Also ist wegen $f [mm] \in [/mm] [f]$ damit $[f]$ stetig auf $[a,b]$. Das Wichtigste aber dann:
Wegen $f [mm] \in \mathcal{L}^1[a,b]$ [/mm] ist $[f] [mm] \in L^1[a,b]$. [/mm]

Und nun schreibt man halt leider meist nur noch lasch unter Missbrauch der
Notation $f [mm] \in L^1[a,b]$ [/mm] anstatt $[f] [mm] \in L^1 [/mm] [a,b]$.

Zusammenfassend:
$f [mm] \in [/mm] C[a,b]$ liefert $f [mm] \in \mathcal{L}^1[a,b]$. [/mm]

$f [mm] \in \mathcal{L}^1[a,b]$ [/mm] liefert $[f] [mm] \in L^1[a,b]$. [/mm]

Anstatt $[f] [mm] \in L^1[a,b]$ [/mm] schreibe man unsauber $f [mm] \in L^1[a,b]$, [/mm] und hat damit insgesamt

    $f [mm] \in [/mm] C[a,b]$ liefert $f [mm] \in L^1[a,b]$. [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                
Bezug
Fourierkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:48 Do 22.10.2015
Autor: mathestudent222

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, mir ist nun einiges klarer. Dennoch habe ich noch ein paar kleine Fragen:

1. Du schreibst: Eine "Funktion" (in einem 'nichtklassischen' Sinne) $ f [mm] \in L^1[0,1] [/mm] $ heißt stetig, falls
es eine Funktion $ g [mm] \in [/mm] f $ ($ [mm] g\, [/mm] $ ist eine im 'klassischen' Sinne) so gibt, dass $ [mm] g\, [/mm] $ stetig
ist.
Es sollte heißen: .. es eine Funktion $ g [mm] \in [/mm] [f]$ .. , oder?

2. In deinem Beispiel mit $ g [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR [/mm] $ mit $ [mm] g(x):=\sin(x) [/mm] $ für $ x [mm] \in \IR \setminus \IQ [/mm] $ und $ g(x):=0 $ für $ x [mm] \in \IQ\,. [/mm] $ folgt also [mm] $g\in L^1[0,1]$, [/mm] da wir ja ein [mm] $f\in [/mm] [g]$ finden, dass im klassischen Sinn stetig ist. Stimmt das so?

3. Unterschied zwischen [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] und [mm] $L^1(0,1]$. [/mm] Für [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] kommen nur Funktionen in Frage, die auf dem gesamten Intervall $[0,1]$ definiert sind, für [mm] $L^1(0,1]$ [/mm] reicht es allerdings, wenn die Funktion am halboffenen Intervall definiert ist und somit kann es zu Problemen kommen, auch wenn die Funktion stetig ist. Stimmt das so?
Folgende Behauptungen sind also richtig:
- $f$ stetig [mm] \Rightarrow $f\in L^1[0,1]$ [/mm]
- $f$ stetig und 1-periodisch [mm] \Rightarrow $f\in L^1(0,1]$ [/mm]

4. Zum Ausgangsbeispiel (im ersten Beitrag) ist noch folgender Zusatz verlangt: Gib ein Beispiel einer solchen (nicht-konstanten) Funktion $f$ an, für die es möglich ist, alle Koeffizienten [mm] $c_k$ [/mm] explizit auszurechnen. Passt das, wenn ich hier die Funktion [mm] $f(x)=\sin(2\pi [/mm] x)$ wähle?

5.. Falls es dir nichts ausmacht, würde mich trotzdem der Teil deiner Diplomarbeit interessieren, um das Ganze noch besser zu verstehen. Meine E-mail-Adresse lautet hanla@gmx.at!

Nochmals Danke für deine Erklärungen.

LG, Ludwig



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Bezug
Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Do 22.10.2015
Autor: fred97

Auf die ersten 4 Fragen lautet die Antwort: Ja.

Zu Frage 5 kann ich nichts sagen, denn ich bin nicht Marcel, sondern nur der

FRED

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Bezug
Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Do 22.10.2015
Autor: Marcel

Hallo,

nur kurz doch eine Feststellung:

> 1. Du schreibst: Eine "Funktion" (in einem
> 'nichtklassischen' Sinne) [mm]f \in L^1[0,1][/mm] heißt stetig,
> falls
>  es eine Funktion [mm]g \in f[/mm] ([mm] g\,[/mm] ist eine im 'klassischen'
> Sinne) so gibt, dass [mm]g\,[/mm] stetig
>  ist.
>  Es sollte heißen: .. es eine Funktion [mm]g \in [f][/mm] .. ,
> oder?

leider nein, da hat Fred zu so früher Stunde was überlesen. Das steht richtig
da, denn:
Eine 'Funktion' (das steht extra in Anführungszeichen!) $f [mm] \in L^1$ [/mm] (ich spare mir
das [0,1]) ist ja eben keine Funktion im klassischen Sinne, sondern schon
eine Funktionenklasse. (Man nennt diese trotzdem *Funktion*.)

Anders gesagt: Für $f [mm] \in L^1$ [/mm] gibt es eine Funktion (im klassischen Sinne) $h [mm] \in \mathcal{L}^1$ [/mm]
mit $f=[h]$.

Nun heißt $f=[h]$ stetig, wenn es ein $g [mm] \in [/mm] [h]$ gibt, so dass [mm] $g\,$ [/mm] stetig ist. Und
anstatt $g [mm] \in [/mm] [h]$ habe ich halt $g [mm] \in [/mm] f$ geschrieben.

Gruß,
  Marcel

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