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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Fourierwahnsinn
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Fourierwahnsinn: Idee, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Do 27.11.2014
Autor: LGS

Aufgabe
Es sei$ f: [mm] \IR \to \IR [/mm] $stetig und [mm] $2\pi$ [/mm] periodisch,sodass für $x [mm] \in [-\pi,\pi] [/mm] $gilt $f(x)= [mm] \frac{\pi}{2}-|x|$ [/mm]

a) Berechnen sie für $ k [mm] \in \mathbb [/mm] Z $ die Fourierkoeffizienten


[mm] $\hat [/mm] f(x)= [mm] \frac{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-ikx} dx}$ [/mm]


$b)$

Verifizieren sie die Darstellung

$f(x)= [mm] \frac{1}{2\pi}\summe_{n=1}^{\infty}\frac{cos((2n-1)x)}{(2n-1)^2}$ [/mm]

hallo:)


zur

a) ich stecke hier fest

[mm] $\hat [/mm] f(x)= [mm] \frac{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-ikx} dx}= \frac{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{(\frac{\pi}{2}-|x|)e^{-ikx} dx}$ [/mm]

will sagen ich weis nicht wie ich den Betrag daraus kriege...:/

        
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Fourierwahnsinn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Do 27.11.2014
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Naja, so ein Wahnsinn ist das noch nicht...

Einen Betrag bekommt man meistens durch Umschreibung zu einer stückweise definierten Funktion geknackt.

Das bedeutet hier: Spalte das Integral auf in [mm] \int_{-\pi}^0...+\int_{0}^\pi... [/mm]

und ersetze $|x|_$ durch [mm] $\pm [/mm] x$


Bezug
                
Bezug
Fourierwahnsinn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Do 27.11.2014
Autor: LGS

Zuerst was ich gerade im skript gesehen hab,gilt laut vorlesung die Gleichheit zwischen [mm] $\hat [/mm] f(x)= [mm] \frac{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-ikx} dx}= \frac{1}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{f(x)cos(kx) dx}$ [/mm]
bringt das irgendwas?





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Bezug
Fourierwahnsinn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Do 27.11.2014
Autor: leduart

Hallo
Das hilft erst etwas, nachdem du festgestellt hast, dass es sich bei der fkt um eine  gerade fkt handelt, dann fallen alle Integrale über sin weg, das Integral von [mm] -\pi [/mm] bis 0=integral von 0bis [mm] \pi. [/mm] das ist also als erstes zu zeigen, dann ist diese Verkürzung richtig.
Gruß leduart

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Bezug
Fourierwahnsinn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Do 27.11.2014
Autor: LGS

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

nun dann


$ \hat f(x)= \frac{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-ikx} dx}= \frac{1}{2\pi} (\integral_{-\pi}^{0}{f(x)e^{-ikx}+\integral_{0}^{\pi}{f(x)e^{-ikx}  dx} )=\frac{1}{2\pi} (\integral_{-\pi}^{0}{(\frac{\pi}{2}+x)e^{-ikx}+\integral_{0}^{\pi}{(\frac{\pi}{2}-x)e^{-ikx}  dx} )=\frac{1}{2\pi} (\integral_{-\pi}^{0}{(\frac{\pi}{2}+x)e^{-ikx}-\integral_{0}^{\pi}{(-\frac{\pi}{2}+x)e^{-ikx}  dx} ) = $


jetzt hakt es wieder...:O

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Fourierwahnsinn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Do 27.11.2014
Autor: andyv

Hallo,

versuche es mit einer Substitution $x [mm] \mapsto [/mm] -x$ im ersten Integral. Dann partielle Integration.

Liebe Grüße

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Fourierwahnsinn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Fr 28.11.2014
Autor: leduart

Hallo
warum jetzt nicht mit cos??
Gruss leduart

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