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Forum "Folgen und Reihen" - Frage zum Quotientenkriterium
Frage zum Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Frage zum Quotientenkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Mi 19.04.2017
Autor: Kopfvilla

Ich hab folgende Reihe

3/5 + 3/50 + 3/500 + ... [mm] \gdw [/mm] 0,6 + 0,06 + 0,006 + ...

Man sieht dass die Reihe ganz offensichtlich gegen [mm] \bruch{2}{3} [/mm] konvergiert.

Ich hab mir die Folge [mm] \bruch {6}{10^n} [/mm] hergeleitet und die in das Quotientenkriterium [mm] \bruch{An+1}{An} [/mm] eingetragen.

[mm] \bruch{\bruch{6}{10^{n+1}}}{\bruch{6}{10^n}} [/mm] = [mm] \bruch{6}{10^{n+1}} \* \bruch{10^n}{6} [/mm] = [mm] \bruch{6}{10^{n+1}\*10^{-n}\*6} [/mm] = [mm] \bruch{6}{60} [/mm] =  [mm] \bruch{1}{10} [/mm]

Aber wieso kommt [mm] \bruch{1}{10} [/mm] raus wenn der Grenzwert [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ist? Wie komm ich rechnerisch an den Grenzwert?

        
Bezug
Frage zum Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Mi 19.04.2017
Autor: HJKweseleit

Das Quotientenkriterium gibt dir nicht den Grenzwert an, sondern nur die Bestätigung dafür, dass die Reihe konvergiert. Wenn [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|\le [/mm] c<1 für alle [mm] n\in \IN [/mm] ist, existiert ein Grenzwert.

In diesem Fall hast du eine geometrische Folge, die du mit der entsprechenden Formel berechnen kannst. Damit erhältst du dann den Wert 2/3.

Bezug
                
Bezug
Frage zum Quotientenkriterium: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 13:09 Do 20.04.2017
Autor: X3nion

Hallo HJKWeseleit,

wie ich schon in meiner Antwort geschrieben habe, muss nicht zwingend gelten


[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|
sondern für fast alle n, also es kann auch für alle bis auf endlich viele n gelten.

Denn das Quotientenkriterium besagt:

Sei c  [mm] \in \IR [/mm]  mit 0 < c < 1. und  [mm] (a_n) [/mm]  eine Folge reeller Zahlen.

Wenn ein  [mm] n_0 \in \IN [/mm] exisiert, sodass  [mm] a_{n} \not= [/mm]  0 und


[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] c für alle n  [mm] \ge n_0. [/mm]

Dann konvergiert die Reihe $ [mm] \summe a_n [/mm] $ absolut.


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                
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Frage zum Quotientenkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:38 Fr 28.04.2017
Autor: HJKweseleit

Hallo X3nion,

ich habe nur eine WENN-DANN-Aussage gemacht, die so richtig ist. Natürlich gilt die Umkehrung nicht.

Liebe Grüße
HJKweseleit

Bezug
        
Bezug
Frage zum Quotientenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Do 20.04.2017
Autor: X3nion

Hallo Kopfvilla!

> Ich hab folgende Reihe

> 3/5 + 3/50 + 3/500 + ... $ [mm] \gdw [/mm] $ 0,6 + 0,06 + 0,006 + ...

> Man sieht dass die Reihe ganz offensichtlich gegen $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $  
> konvergiert.

> Ich hab mir die Folge $ [mm] \bruch {6}{10^n} [/mm] $ hergeleitet und die in das
> Quotientenkriterium $ [mm] \bruch{An+1}{An} [/mm] $ eingetragen.

> [mm] \bruch{\bruch{6}{10^{n+1}}}{\bruch{6}{10^n}} [/mm] $ =
>  [mm] \bruch{6}{10^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{10^n}{6} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{6} [/mm]
> [mm] {10^{n+1}*10^{-n}*6} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{6}{60} [/mm] $ =  $ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $

> Aber wieso kommt $ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $ raus wenn der Grenzwert
> [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ ist? Wie komm ich rechnerisch an den Grenzwert?

a) Vorab eine Anmerkung:

Das Quotientenkriterium lautet nicht " [mm] \bruch{An+1}{An} [/mm] ".
Du musst dir klar machen, was das Quotientenkriterium besagt, dann beantwortet sich auch deine letzte Frage ;-)

Das Quotientenkriterium besagt:

------

Sei c  [mm] \in \IR [/mm]  mit 0 < c < 1 und  [mm] (a_n) [/mm] eine Folge reeller Zahlen.

Wenn ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] exisiert, sodass  [mm] a_{n} \not= [/mm]  0 und


[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] c für alle n  [mm] \ge n_0, [/mm]

dann konvergiert die Reihe $ [mm] \summe a_n [/mm] $ absolut.

------

Und aus der absoluten Konvergenz folgt die gewöhnliche Konvergenz, den Satz solltet ihr gehabt haben.

Also muss ein $ [mm] n_0 [/mm] $ gefunden werden, sodass $ [mm] a_n \not= [/mm] $ 0 für alle n $ [mm] \ge n_0 [/mm] $ (sonst könnte man den Quotient $ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] $ ja gar nicht bilden),

und es muss $ [mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| \le [/mm] $ c (0 < c < 1) für alle n $ [mm] \ge n_0 [/mm] $ gelten.


Nun schreiben wir unsere Reihe doch erst einmal schön übersichtlich auf.

Es ist 3/5 + 3/50 + 3/500 + ... = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{3}{5} [/mm] * [mm] (\frac{1}{10})^{k} [/mm] = [mm] \frac{3}{5} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{10})^{k}. [/mm]

(Deine Möglichkeit mit [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\frac{6}{10})^{k} [/mm] ist natürlich auch korrekt, auch wenn es näher liegt, wegen [mm] \frac{3}{5} [/mm] + [mm] \frac{3}{5} [/mm] * [mm] \frac{1}{10} [/mm] + [mm] \frac{3}{5} [/mm] * [mm] \frac{1}{100} [/mm] + ...
eben [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \frac{3}{5} [/mm] * [mm] (\frac{1}{10})^{k} [/mm] als einzelne Folgenglieder zu wählen)

b) Man sieht direkt: Bei [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{10})^{k} [/mm] handelt es sich um die unendliche geometrische Reihe, denn diese hat die Form:

[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}. [/mm]

Wenn nun |q| < 1 ist, so gilt für den Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe:

[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q} [/mm]

Setzen wir nun q = [mm] \frac{1}{10}, [/mm] so folgt...

... jetzt bist du dran!



c) Setze [mm] a_{k} [/mm] = [mm] (\frac{1}{10})^{k}. [/mm]
Dann ist [mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{(\frac{1}{10})^{k+1}}{(\frac{1}{10})^{k}}\right| [/mm] = [mm] (\frac{1}{10})^{k+1-k} [/mm] = [mm] \frac{1}{10}. [/mm]

=> Es gilt für alle k [mm] \in \IN: a_{k} \not= [/mm] 0 und [mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| [/mm] = c  mit c = [mm] \frac{1}{10}, [/mm] 0 < c < 1.

=> Die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] konvergiert absolut

=> c = [mm] \frac{1}{10} [/mm] ist das c mit 0 < c < 1 im Quotientenkriterium und hat nichts mit dem Grenzwert zu tun!


Viele Grüße,
X3nion

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