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Forum "Differenzialrechnung" - Frage zum Satz von Schwarz
Frage zum Satz von Schwarz < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Frage zum Satz von Schwarz: Satz von Schwarz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Mi 08.05.2013
Autor: Eckman

Aufgabe
Zeigen Sie, dass es keine zweimal stetig differenzierbare Funktion f : R3 -> R gibt mit grad f ((x; y; z)) = (y2z; 2xyz; xy2 + y) für alle (x; y; z) Element R3.

Hallo Leute,

ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich möchte die obige Aufgabe erfüllen, indem ich den Satz von Schwarz benutze. Undzwar möchte ich quasi jeweils die zweiten partiellen Ableitung ausrechnen. Nach dem Satz von Schwar müssten dann ja einige dieser Ableitungen gleich sein. Wenn dies nicht der Fall wäre, hätte ich doch gezeigt, dass die Funktion nicht zweimal differenzierbar ist, oder?

Vielen Dank schonmal

Eckman
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Frage zum Satz von Schwarz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Mi 08.05.2013
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass es keine zweimal stetig differenzierbare
> Funktion f : R3 -> R gibt mit grad f ((x; y; z)) = (y2z;
> 2xyz; xy2 + y) für alle (x; y; z) Element R3.
>  Hallo Leute,
>
> ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich möchte die obige
> Aufgabe erfüllen, indem ich den Satz von Schwarz benutze.
> Undzwar möchte ich quasi jeweils die zweiten partiellen
> Ableitung ausrechnen. Nach dem Satz von Schwar müssten
> dann ja einige dieser Ableitungen gleich sein. Wenn dies
> nicht der Fall wäre, hätte ich doch gezeigt, dass die
> Funktion nicht zweimal differenzierbar ist, oder?

Nein. Dann hast Du gezeigt, dass es keine solche Funktion f gibt.

FRED

>  
> Vielen Dank schonmal
>  
> Eckman
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Frage zum Satz von Schwarz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Mi 08.05.2013
Autor: Eckman

Aufgabe
Nein. Dann hast Du gezeigt, dass es keine solche Funktion f gibt.

FRED

Wie kann ich denn dann diese Aufgabe lösen? Einfach die Ursprüngliche Funktion errechnen und dann versuchen je zweimal abzuleiten? Müsste doch eigentlich irgendwie einfacher gehen.

Eckman

Bezug
                        
Bezug
Frage zum Satz von Schwarz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Mi 08.05.2013
Autor: fred97


> Nein. Dann hast Du gezeigt, dass es keine solche Funktion f
> gibt.
>
> FRED
>  Wie kann ich denn dann diese Aufgabe lösen? Einfach die
> Ursprüngliche Funktion errechnen und dann versuchen je
> zweimal abzuleiten? Müsste doch eigentlich irgendwie
> einfacher gehen.
>  
> Eckman


Die Frage war: gibt es eine 2 -mal stetig diffbare Funktion f: [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] mit

    $grad f ((x; y; z)) = (y^2z; 2xyz; [mm] xy^2 [/mm] + y)$ ?

Nimm mal an, solch eine Funktion gäbe es. Dann ist [mm] f_z=xy^2+y [/mm] und [mm] f_y=2xyz. [/mm]

Nach dem Satz von Schwarz ist dann

   [mm] 2xy=f_{yz}=f_{zy}=2xy+1. [/mm]

Kann das sein ?

fred

Bezug
                                
Bezug
Frage zum Satz von Schwarz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Mi 08.05.2013
Autor: Eckman


Nein, Gleichheit trifft hier nicht zu. Das heißt auf Basis des Satzes von Schwarz kann ich sagen, dass es hier keine zweimal stetig differenzierbare Funktion gibt.

Ich danke dir

Grüße Eckman

Bezug
                                        
Bezug
Frage zum Satz von Schwarz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mi 08.05.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Eckmann,


> Nein, Gleichheit trifft hier nicht zu. [ok]

> Das heißt auf Basis
> des Satzes von Schwarz kann ich sagen, dass es hier keine
> zweimal stetig differenzierbare Funktion gibt.

Zumindest keine mit den in der Aufgabenstellung angegebenen Eigenschaften ...

>

> Ich danke dir

>

> Grüße Eckman

LG

schachuzipus

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