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Frage zur Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 So 16.07.2017
Autor: DerPinguinagent

Hallo,

es soll gezeigt werden, ob folgende Reihe konvergiert.

[mm] (\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm]

Ich würde jetzt einfach sagen, dass [mm] (\bruch{n-3}{n+8})^{n} [/mm] konvergiert und demzufolge konvergiert auch [mm] (\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm] nach dem Mino- und Majorantenkriterium.

Ist das so richtig?

LG DerPinguinagent

        
Bezug
Frage zur Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:20 Mo 17.07.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> es soll gezeigt werden, ob folgende Reihe konvergiert.
>
> [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}}[/mm]

Moin,

ich sehe hier gar keine Reihe, sondern eine Folge.
Die Folge konvergiert gegen 0.

Wahrscheinlich möchtest Du über [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm] sprechen.



>  
> Ich würde jetzt einfach sagen, dass [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n}[/mm]
> konvergiert und demzufolge konvergiert auch
> [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}}[/mm] nach dem Mino- und
> Majorantenkriterium.
>  
> Ist das so richtig?

Naja...
Konvergieren tut sie.

Die Konvergenz der Reihe [mm] \sum (\bruch{n-3}{n+8})^{n} [/mm] wäre zu begründen.

Mit "Mino- und Majo" kann ich nichts anfangen: mit dem einen zeigt man Divergenz, mit dem anderen Konvergenz. Da müßtest Du Dich entscheiden - und als nächstes ausführen, wie Du das Kriterium verwendest, wie Du also minorisierst oder majorisierst.

So, wie es jetzt dasteht, ist es Gelaber.

LG Angela

>  
> LG DerPinguinagent


Bezug
        
Bezug
Frage zur Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:00 Mo 17.07.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> es soll gezeigt werden, ob folgende Reihe konvergiert.
>
> [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}}[/mm]
>  
> Ich würde jetzt einfach sagen, dass [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n}[/mm]
> konvergiert und demzufolge konvergiert auch
> [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}}[/mm] nach dem Mino- und
> Majorantenkriterium.

Uii ! Da geht einiges durcheinander ! Wie Angela schon bemerkte, geht es um die Reihe

$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm] $.

Setzen wir [mm] a_n:=(\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm] und wenden das Wurzelkriterium an: für n [mm] \ge [/mm] 3 ist

[mm] $(a_n)^{1/n}= (\bruch{n-3}{n+8})^n$ [/mm]

Zeige nun Du, dass [mm] \lim_{n \to \infty}(a_n)^{1/n} [/mm] existiert und kleiner 1 ist.

Damit ist $ [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(\bruch{n-3}{n+8})^{n^{2}} [/mm] $ konvergent.

Nebenbei: die Reihe $ [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(\bruch{n-3}{n+8})^{n} [/mm] $ ist divergent.

Kannst Du das begründen ? (ohne Mino, Majo und Ketchup !)


>  
> Ist das so richtig?
>  
> LG DerPinguinagent


Bezug
        
Bezug
Frage zur Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Do 20.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Pinguinagent,

helfen dir die Tipps von Angela und Fred weiter?

Es gilt [mm] (\frac{n-3}{n+8})^{n} [/mm] geeignet abzuschätzen mit einem Ausdruck, von dem du den Grenzwert kennst.
(Kleiner Tipp: Der Weg führt über die Abschätzung mit [mm] (\frac{n}{n+1})^{n}, [/mm] kommt dir dieser Ausdruck bekannt vor? Er ist ähnelt einem typischen Grenzwert, nur minimal verändert.


Viele Grüße,
X3nion

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Frage zur Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Mo 24.07.2017
Autor: DerPinguinagent

Komme mit der Aufgabe nicht wirklich klar.

Könnt ihr mir da helfen?

LG DerPinguinagent

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Bezug
Frage zur Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Mo 24.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Komme mit der Aufgabe nicht wirklich klar.

>

> Könnt ihr mir da helfen?

>

> LG DerPinguinagent

das ist eine unzulängliche Problembeschreibung angesichts der ganzen Hinweise, die bereits gegeben wurden.

Es ist auf der einen Seite

[mm] \frac{n-3}{n+8}=1-\frac{11}{n+8}[/mm]

und andererseits

[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left ( 1- \frac{x}{n} \right )^n=e^{-x}[/mm]

Mit diesen beiden Hinweisen solltest du die Tipps von FRED und X3enion umsetzen können. Sonst bitte konkret und präzise nachfragen, was unklar ist.

Gruß, Diophant

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