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Freundschaftsgraph: mind. 6 Knoten -> 3er Kreis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:27 Di 09.12.2014
Autor: asg

Aufgabe
Norbert hat Kindergartengruppen untersucht und dabei festgestellt, dass in jeder Kindergartengruppe stets
drei Kinder existieren, die alle miteinander befreundet sind, oder eine Gruppe von drei Kindern,
die alle nicht miteinander befreundet sind. Norberts Bekannte Dana Ismod machte ihn dann allerdings auf einen Schwachpunkt seines Plans aufmerksam: Norbert hatte nur Kindergartengruppen mit mindestens 6 Kindern untersucht. Dana erklärt Norbert, dass dieses Phänomen in allen sozialen Netzwerken von mindestens 6 Menschen auftritt.

Beweisen Sie, dass Dana Recht hat.

Hinweis:
Wählen sie aus einem entsprechenden sozialen Netzwerk einen Menschen aus. Was passiert, wenn dieser mit mindestens drei Menschen befreundet ist?


Guten Morgen zusammen,

Bei der obigen Aufgabe habe ich irgendwie keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.

Ich verstehe eherlich gesagt die Aufgabe nicht richtig.

Wenn ich 5 Knoten nehmen und sie an einander reihe, also eine Gerade aus 5 Knoten mit 4 Kanten verbunden, dann haben doch hier auch die Knote 1, 3, 5 keine gemeinsame Kante, also das ist ja auch eine 3er Gruppe, die nicht befreundet sind.

Wie kann ich denn den Beweis für mindestens 6 Knoten machen?

Was ist mit "Wählen Sie aus" im letzten Hinweis gemeint? Heißt es "Entfernen"?

Danke für jede Hilfe

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Freundschaftsgraph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Di 09.12.2014
Autor: reverend

Hallo asg,

am einfachsten geht das hier mit einem zweifarbigen Graphen mit, sagen wir, roten und blauen Kanten.

Wenn die Knoten die Kinder repräsentieren und eine rote Kante für "einander unbekannt", eine blaue für "befreundet" steht, dann genügt eine Überlegung zum sechsten Knoten. Es müssen ja paarweise alle Knoten miteinander verbunden sein, eben jeweils mit einer roten oder einer blauen Kante.

Jetzt überleg Dir, wie Du zu einem Fünfergraphen einen 6. Punkt hinzunimmst, so dass dieser mit keinen zwei weiteren Punkten ein einfarbiges Dreieck bildet.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Freundschaftsgraph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 So 14.12.2014
Autor: asg

Hallo reverend,

Dankeschön für die schnelle Hilfe - die Verwendung von zwei Arten von Kanten (blau/rot) hat mir gut geholfen.

Ich glaube, mein Denkfehler war, dass ich die Bedingung "stets" in der Aufgabenstellung übersehen hatte.

Durch Ausprobieren habe ich es bei einem Graphen mit 5 Knoten habe ich festgestellt, dass es auch eine solche Vernetzung geben kann, bei der weder eine 3er Gruppe von Freunden noch von Nicht Freunden entsteht.

Mein Graph dazu sieht so aus:

$G = (V, [mm] E_1 \cup E_2)$ [/mm]
$V := [mm] \{1, 2, 3, 4, 5\}$ [/mm]

Kantenmenge von Freunden:
[mm] $E_1 [/mm] := [mm] \{\{1, 2\}, \{1, 4\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}\}$ [/mm]

Kantenmenge von Nicht Freunden:
[mm] $E_2 [/mm] := [mm] \{\{1, 3\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{4, 5\}\}$ [/mm]

Aber bei einem Graphen mit mindestens 6 Knoten gibt es [mm] {\color{red}keinen} [/mm]  solchen Fall.

Verstehe ich es jetzt richtig?

Viele Grüße

Asg

Bezug
                        
Bezug
Freundschaftsgraph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 So 14.12.2014
Autor: reverend

Guten Abend,

> Dankeschön für die schnelle Hilfe - die Verwendung von
> zwei Arten von Kanten (blau/rot) hat mir gut geholfen.

Schön.
  

> Ich glaube, mein Denkfehler war, dass ich die Bedingung
> "stets" in der Aufgabenstellung übersehen hatte.

Das ist allerdings eine wesentliche Angabe

> Durch Ausprobieren habe ich es bei einem Graphen mit 5
> Knoten habe ich festgestellt, dass es auch eine solche
> Vernetzung geben kann, bei der weder eine 3er Gruppe von
> Freunden noch von Nicht Freunden entsteht.

Ja, richtig.

> Mein Graph dazu sieht so aus:
>  
> [mm]G = (V, E_1 \cup E_2)[/mm]
>  [mm]V := \{1, 2, 3, 4, 5\}[/mm]
>  
> Kantenmenge von Freunden:
>  [mm]E_1 := \{\{1, 2\}, \{1, 4\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}\}[/mm]
>  
> Kantenmenge von Nicht Freunden:
>  [mm]E_2 := \{\{1, 3\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{4, 5\}\}[/mm]
>  
> Aber bei einem Graphen mit mindestens 6 Knoten gibt es
> [mm]{\color{red}keinen}[/mm]  solchen Fall.
>  
> Verstehe ich es jetzt richtig?

Das sieht in der Tat genau so aus.

Grüße
rev

Bezug
                                
Bezug
Freundschaftsgraph: [Gelöst]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:24 So 14.12.2014
Autor: asg

Hallo reverend,
    
vielen Dank für die nochmalige Antwort. Jetzt fühle ich mich sicher.

Liebe Grüße

Asg

Bezug
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