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Fünfeck umformen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Sa 28.01.2017
Autor: Reynir

Aufgabe
Sucht nach Möglichkeiten, wie man durch verschieben immer eines einzelnen Eckpunktes die Form dieses Fünfecks variieren kann, ohne dass sich der Flächeninhhalt ändert.
Nutzt diese Möglichkeiten, um die Form des Fünfecks so zu verändern, dass der Flächeninhalt gleich bleibt, der Umfang aber keiner wird.

Hi,
Ich darf das zugehörige Bild ja nicht abfotografieren, daher habe ich es gemalt und unten angehängt, ich hoffe die Genauigkeit ist ausreichend.
Ich habe mir dazu überlegt, dass man ja für ein Dreieck die Formel Flächeninhalt = 0,5 * Grundseite * Höhe auf der Grundsete hat. Das Fünfeck besteht aus den eingezeichneten Dreiecken (grün und gelb). Wenn ich jetzt einen Punkt verschiebe, aber Grundseite und Höhe nicht ändere, ändert das auch nichts am Flächeninhalt.
Jetzt aber zu meinen Problemen:
1. Ich bin nicht sicher, ob ich weitere Möglichkeiten übersehen habe.
2. Seht ihr, wie man den Umfang dann damit kleiner bekommt, weil ich gehe stark davon aus, dass mein Ansatz mit den Dreiecken nicht reicht.
Viele Grüße
Reynir

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
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Fünfeck umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:45 Sa 28.01.2017
Autor: chrisno

Hallo,

mit Deiner Idee bist DU auf dem richtigen Weg. Allerdings gibt es noch mehr Dreiecke.
Bei der Umformung die Du machst, bleibt die Höhe erhalten. Diese Steht senkrecht auf der Grundseite und teilt diese in zwei Stücke. Nun solltest Du zwei rechtwinklige Dreiecke erkennen. Bei dem gegebene Problem würde ich nun einfach den Umfang immer neu ausrechnen.

Bezug
                
Bezug
Fünfeck umformen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:46 So 29.01.2017
Autor: Reynir

Hi,
Ich glaube, dass ich dich nicht ganz verstehe, ich habe es jetzt einmal eingezeichnet, wie ich das mit den Dreiecken meinte, die sind zwar dann rechtwinklig, aber ich sehe nicht ganz, wie ich über die den Umfang minimieren kann.
Oder meintest du, dass in den Ausgangsdreiecken (grün und gelb) die Höhe zu betrachten ist?
Viele Grüße
Reynir

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Fünfeck umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 So 29.01.2017
Autor: chrisno

Das ist ehrlich gesagt egal, wie Du zu dem Umfang kommst. Du hast eine geringe endliche Anzahl von möglichen Änderungen, für die Du jeweils den Umfang ausrechnen kannst.
Natürlich ist Zusatzwissen hilfreich.

Gegeben ein Dreieck, mit Grundseite c, zwei Seiten a und b, der Höhe auf der Grundseite h und den beiden durch den Höhenfußpunkt entstehenden Seitenstücken p und q. Dann ist
[mm] $h^2 [/mm] = [mm] p^2 [/mm] + [mm] a^2$ [/mm]  
[mm] $h^2 [/mm] = [mm] q^2 [/mm] + [mm] b^2$ [/mm]
$c = p + q$
Du willst Die Summe a + b minimieren. h ist eine Konstante. c ist eine Konstante.
Ich habe das nun nicht nachgerechnet, weil ich hoffe, dass es einen eleganten Weg gibt, der einen erkennen lässt, dass die Summe minimal wird, wenn $p = q = 0,5 c$. Falls der Fall nicht erreicht werden kann, wie in dieser Aufgabe, da für p und q nur einzelne Werte vorkommen können, gilt, dass $|p-q|$ möglichst klein werden muss.

Es wäre hilfreich, wenn Du die Grafiken einbinden würdest.

Ein Problem entsteht für mich, weil mir noch nicht klar ist, ob es zulässig ist, wenn nur noch ein Viereck übrig bleibt. Dies entsteht, wenn A um einen Punkt nach oben verschoben wird.

Wenn ich Deine Benennung der Punkte fortsetze, dann kann Punkt A verschoben werden, Punkt B nicht, Punkt C, aber nur solange A nicht verschoben wurde, Punkt D erst, nachdem zuvor Punkt E Verschoben wurde.

Nachdem ich das alles gemacht habe, bekomme ich ein Quadrat mit Umfang $8 [mm] \sqrt{2}$ [/mm] und A = 8 FE.

Bezug
                                
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Fünfeck umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Mo 30.01.2017
Autor: Reynir

Danke, das sehe ich mir an und melde mich.
Viele Grüße
Reynir

Bezug
                                        
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Fünfeck umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:32 Sa 04.02.2017
Autor: Reynir

Danke für deine Hilfe, ich habe es soweit verstanden und keine Frage mehr.
Viele Grüße
Reynir

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