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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Fundamentalsystem Kontrolle
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Fundamentalsystem Kontrolle: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Sa 04.07.2015
Autor: alfonso2020

Hallo,

ich habe eine Aufgabe vorliegen. Typ: lineare DGL 6. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Nun möchte ich das reelle Fundamentalsystem angeben und habe bereits ein Ergebnis, welches ich gerne in Wolfram Alpha überprüfen würde. Was muss ich eingeben?

Die Funktion lautet:

[mm] y^{(6)}-6y^{(5)}+27y^{(4)}-28y^{'''}+3y^{''}+234y^{'}+169y=0 [/mm]

Ich habe bereits mit dem charakteristischen Polynom die Nullstellen ermittelt.

ich bin dann von den Nullstellen auf [mm] u_{i} [/mm] gekommen, mit i=1,2,3,4,5,6

Das komplexe Fundamentalsystem ist kein Problem, jedoch bin ich beim Übergang vom komplexen System zum Reellen etwas unsicher.

In diesem Fall sieht mein komplexes FS in der Form [mm] \{u_{1},u_{2}, z_{3},z_{4},z_{5}, z_{6}\} [/mm] ( mit u=reele Lösungen und z= komplexe) so aus:


[mm] \{e^{-x},xe^{-x},e^{(2+3i)x},xe^{(2+3i)x},e^{(2-3i)x},xe^{(2-3i)x}\} [/mm]

Wenn ich jetzt für den Re(z) von den komplexen Lösungen ermitteln möchte erhalte ich für [mm] Re(z_{3})=Re(z_{5})=e^{2}*cos(3x) [/mm]

Aber dann würden ja für komplexe Lösungen mit diesen Verfahren 8 Reelle entspringen oder verstehe ich hier was falsch? Werden doppelte Lösungen in diesem Verfahren nur einmal in das reelle System aufgenommen und nicht wie zuvor mit einem "x*" versehen?

Hoffe es ist verständlich.

Beste Grüße

        
Bezug
Fundamentalsystem Kontrolle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 So 05.07.2015
Autor: fred97

Sei [mm] \lambda=a+ib [/mm] eine k-fache Nullstelle des char. Polynoms der homogenen DGL mit a,b [mm] \in \IR [/mm] und b [mm] \ne [/mm] 0.

Da dieses Polynom reelle Koeffizienten hat, ist auch [mm] \overline{\lambda} [/mm] eine k-fache Nullstelle.

Linear unabhängige Lösungen der DGL sind also [mm] x^ke^{\lambda x} [/mm] und  [mm] x^ke^{\overline{\lambda} x}. [/mm]

Für ein reelles Fundamentalsystem streiche man die Lösung [mm] x^ke^{\overline{\lambda} x}. [/mm]

Dafür bekommt man mit

   $Re [mm] (x^ke^{\lambda x})=x^ke^{ax}cos(bx)$ [/mm] und   $Im [mm] (x^ke^{\lambda x})=x^ke^{ax}sin(bx) [/mm] $


2 reelle linear unabhängige Lösungen.

FRED

Bezug
                
Bezug
Fundamentalsystem Kontrolle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 So 05.07.2015
Autor: alfonso2020

Also man betrachtet für das reelle Fundamental immer nur eine komplexe Lösung?

Bezug
                        
Bezug
Fundamentalsystem Kontrolle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:00 Mo 06.07.2015
Autor: fred97


Für ein reelles FS streicht man eine der beiden komplexen Lösungen

$ [mm] x^ke^{\lambda x} [/mm] $ und  $ [mm] x^ke^{\overline{\lambda} x}. [/mm] $

und bastelt daraus die zwei reellen Lösungen


   $ Re [mm] (x^ke^{\lambda x})=x^ke^{ax}cos(bx) [/mm] $ und   $ Im [mm] (x^ke^{\lambda x})=x^ke^{ax}sin(bx) [/mm] $

FRED


Bezug
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