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Forum "Abiturvorbereitung" - Funktion Inhalt und Volumen
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Funktion Inhalt und Volumen: Flächeninhalt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 So 20.04.2014
Autor: MathematikLosser

Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm] \bruch{8}{x^2} [/mm] und g(x) = [mm] x^2+2 [/mm]
a) Berechne den Inhalt der Fläche, welche nach unten von der x-Achse und nach oben teils vom Graphen von f und teils vom Graphen von g begrenzt wird.
b) Bestimme eine Funktion h(x) = [mm] ax^2+b [/mm] so, dass sich die Graphen von f und h im Punkt P (2/y) rechtwinkelig schneiden.
c) Das Flächenstück, das von den Graphen der drei Funktionen g,,f und h begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Rotationskörpers?

Meine Ideen:
a) Zunächst sollte ich miir die Schnittpunkte berechnen:
[mm] \bruch{8}{x^2}= x^2+2 /*x^2 [/mm]
[mm] 8=x^4+2x^2 [/mm]
[mm] x^4+2x-8=0 [/mm]
[mm] x^2 [/mm] 1,2= -1 [mm] \pm \\wurzel{1+8} [/mm]

[mm] x^2 [/mm] 1= 2
[mm] x^2 [/mm] 2=-4
x= [mm] \pm \wurzel{2} [/mm]

A1= [mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}}{x^2+2 dx} [/mm]
[mm] =\bruch{x^3}{3}+2x= [/mm] 0,942809042+2,82842715
=3,771236167 bzw. [mm] \bruch{8*\wurzel{2}}{3} [/mm] FE

A2= [mm] \integral_{\wurzel{2}}^{x}{\bruch{8}{x^2} dx} [/mm]
=8* [mm] \integral_{\wurzel{2}}^{x}{x^{-2} dx} [/mm]
[mm] =-\bruch{8}{x}=- \bruch{8}{\wurzel{2}} =\bruch{8}{\wurzel{2}} [/mm]

A gesamt= [mm] \bruch{8*\wurzel{2}}{3}+\bruch{8}{\wurzel{2}}= [/mm] 9,428090416 FE

b) h(x)= [mm] ax^2+b [/mm]
P(2/y) = P(2/2)
f(x)= [mm] \bruch{8}{x^2} =8x^{-2} [/mm]
[mm] f'(x)=8*(-2x^{-3}) [/mm]
[mm] =-\bruch{16}{x^3} [/mm]
f'(2)= -2
[mm] kn=\bruch{-1}{k}= \bruch{1}{2} [/mm]
h'(x)= 2*ax => h(2)=2
4a+b=2
h'(2)= [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

[mm] 4a=\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] a=\bruch{1}{8} [/mm]
[mm] \bruch{4}{8}+b=2 [/mm]
[mm] b=\bruch{3}{2} [/mm]
[mm] h(x)=\bruch{1}{8}x^2+\bruch{3}{2} [/mm]

Stimmen meine bisherigen berechnungen?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Funktion Inhalt und Volumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 20.04.2014
Autor: MathePower

Hallo MathematikLosser,

> Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm]\bruch{8}{x^2}[/mm] und g(x) =
> [mm]x^2+2[/mm]
>  a) Berechne den Inhalt der Fläche, welche nach unten von
> der x-Achse und nach oben teils vom Graphen von f und teils
> vom Graphen von g begrenzt wird.
>  b) Bestimme eine Funktion h(x) = [mm]ax^2+b[/mm] so, dass sich die
> Graphen von f und h im Punkt P (2/y) rechtwinkelig
> schneiden.
>  c) Das Flächenstück, das von den Graphen der drei
> Funktionen g,,f und h begrenzt wird, rotiert um die
> x-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden
> Rotationskörpers?
>  Meine Ideen:
>  a) Zunächst sollte ich miir die Schnittpunkte berechnen:
>  [mm]\bruch{8}{x^2}= x^2+2 /*x^2[/mm]
>  [mm]8=x^4+2x^2[/mm]
>  [mm]x^4+2x-8=0[/mm]
>  [mm]x^2[/mm] 1,2= -1 [mm]\pm \\wurzel{1+8}[/mm]
>  
> [mm]x^2[/mm] 1= 2
>  [mm]x^2[/mm] 2=-4
>  x= [mm]\pm \wurzel{2}[/mm]
>  
> A1= [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}}{x^2+2 dx}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{x^3}{3}+2x=[/mm] 0,942809042+2,82842715
>  =3,771236167 bzw. [mm]\bruch{8*\wurzel{2}}{3}[/mm] FE
>  


[ok]


> A2= [mm]\integral_{\wurzel{2}}^{x}{\bruch{8}{x^2} dx}[/mm]
>  =8*
> [mm]\integral_{\wurzel{2}}^{x}{x^{-2} dx}[/mm]
>  [mm]=-\bruch{8}{x}=- \bruch{8}{\wurzel{2}} =\bruch{8}{\wurzel{2}}[/mm]
>  
> A gesamt= [mm]\bruch{8*\wurzel{2}}{3}+\bruch{8}{\wurzel{2}}=[/mm]
> 9,428090416 FE

>


Das ist die Fläche im 1. Quadranten. [ok]

  

> b) h(x)= [mm]ax^2+b[/mm]
>  P(2/y) = P(2/2)
>  f(x)= [mm]\bruch{8}{x^2} =8x^{-2}[/mm]
>  [mm]f'(x)=8*(-2x^{-3})[/mm]
>  [mm]=-\bruch{16}{x^3}[/mm]
>  f'(2)= -2
>  [mm]kn=\bruch{-1}{k}= \bruch{1}{2}[/mm]
>  h'(x)= 2*ax => h(2)=2

>  4a+b=2
>  h'(2)= [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> [mm]4a=\bruch{1}{2}[/mm]
>  [mm]a=\bruch{1}{8}[/mm]
>  [mm]\bruch{4}{8}+b=2[/mm]
>  [mm]b=\bruch{3}{2}[/mm]
>  [mm]h(x)=\bruch{1}{8}x^2+\bruch{3}{2}[/mm]
>  
> Stimmen meine bisherigen berechnungen?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Funktion Inhalt und Volumen: Volumen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Mo 21.04.2014
Autor: MathematikLosser

Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen f(x)= $ [mm] \bruch{8}{x^2} [/mm] $ und g(x) = $ [mm] x^2+2 [/mm] $
a) Berechne den Inhalt der Fläche, welche nach unten von der x-Achse und nach oben teils vom Graphen von f und teils vom Graphen von g begrenzt wird.
b) Bestimme eine Funktion h(x) = $ [mm] ax^2+b [/mm] $ so, dass sich die Graphen von f und h im Punkt P (2/y) rechtwinkelig schneiden.
c) Das Flächenstück, das von den Graphen der drei Funktionen g,f und h begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Rotationskörpers?

h(x)= [mm] \bruch{1}{8}x^2+\bruch{3}{2} [/mm]
f(x)= [mm] \bruch{8}{x^2} [/mm]
g(x)= [mm] x^2+2 [/mm]

V(f)= [mm] \pi*\integral_{\wurzel{2}}^{2}{(\bruch{8}{x^2})^2 dx} [/mm]
[mm] V=\pi* \bruch{-64}{3x^3} [/mm]
V= [mm] [-2,6666666-(-7,54242472333)]*\pi= [/mm] 15,317 VE

[mm] V(g)=\pi*\integral_{0}^{\wurzel{2}}{(x^2+2)^2 dx} [/mm]
[mm] =\pi *\integral_{0}^{\wurzel{2}}{x^4+4x^2+4 dx} [/mm]
= [mm] \pi*(\bruch{x^5}{5}+\bruch{4x^3}{3}+4x) [/mm]
= [mm] \pi*(1,13137085+3,771236166+5,656854249) [/mm]
= 33,17352594 VE

V(h)= [mm] \pi*\integral_{0}^{2}{(\bruch{1}{8}x^2+\bruch{3}{2})^2 dx} [/mm]
= [mm] \pi*\integral_{0}^{2}{ \bruch{x^4}{64}+\bruch{6x^2}{16}+\bruch{9}{4}dx} [/mm]
= [mm] \pi*(\bruch{x^5}{320}+\bruch{6x^3}{48}+\bruch{9x}{4}) [/mm]
= [mm] \pi* [/mm] (0,1+1+4,5)= 17,59291886 VE

V(gesamt)= 15,317+33,173-17,593=30,897 im 1. Quadranten
Gesamt=> 2*30,897=61,794 VE

Stimmen meine Berechnungen?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Funktion Inhalt und Volumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Mo 21.04.2014
Autor: Steffi21

Hallo, alles ok, Steffi

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