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Funktion aufstellen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Fr 09.05.2014
Autor: Kruemel1008

Aufgabe
Diese Aufgabe ist zu lösen, ohne den Logarithmus zu benutzen.

Ist p(t) die Anzahl der Individuen in einer Bakterienpopulation zur Zeit t, die unter günstigen Bedingungen wächst, dann gilt p'(t)=k*p(t) mit einer Konstanten k [mm] \in \IR. [/mm]
Eine Bakterienpopulation bestehe nach 3 Tagen aus 120 und nach 6 Tagen aus 960 Idividuen. Wie groß war sie zur Zeit t=0? Wie groß ist sie nach 12 Tagen?


Ich habe leider keinen Ansatz wie ich anfangen soll...

        
Bezug
Funktion aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Fr 09.05.2014
Autor: fred97


> Diese Aufgabe ist zu lösen, ohne den Logarithmus zu
> benutzen.
>  
> Ist p(t) die Anzahl der Individuen in einer
> Bakterienpopulation zur Zeit t, die unter günstigen
> Bedingungen wächst, dann gilt p'(t)=k*p(t) mit einer
> Konstanten k [mm]\in \IR.[/mm]
>  Eine Bakterienpopulation bestehe
> nach 3 Tagen aus 120 und nach 6 Tagen aus 960 Idividuen.
> Wie groß war sie zur Zeit t=0? Wie groß ist sie nach 12
> Tagen?
>  Ich habe leider keinen Ansatz wie ich anfangen soll...

Es gilt [mm] p(t)=ce^{kt} [/mm] , wobei c=p(0)

Aus obigen Angaben bekommt man

[mm] 120=ce^{3k} [/mm]  und [mm] 960=ce^{6k}=c(e^{3k})^2. [/mm]

Hilft das ?

FRED


Bezug
                
Bezug
Funktion aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Fr 09.05.2014
Autor: Kruemel1008

Ich hab jetzt einfach mal versucht damit weiterzurechenen, ist aber kompletter Schwachsinn glaub ich ... könnte mir jemand zeigen wies richtig geht??
Also ich hab gerechnet:
[mm] 120^{2}=p_{0}^{2}*e^{k*6} [/mm]
[mm] e^{k*6}=\bruch{120^{2}}{p_{0}^{2}} [/mm]
[mm] e^{k*6}=\bruch{960}{p_{0}} [/mm]
[mm] \bruch{120^{2}}{p_{0}^{2}}=\bruch{960}{p_{0}} [/mm]
[mm] \bruch{120^{2}}{960}=p_{0} [/mm]
[mm] p_{0}=15 [/mm]
p(0)=15 Idividuen

Und wie komme ich auf p(12) ??

Bezug
                        
Bezug
Funktion aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Fr 09.05.2014
Autor: fred97


> Ich hab jetzt einfach mal versucht damit weiterzurechenen,
> ist aber kompletter Schwachsinn glaub ich ... könnte mir
> jemand zeigen wies richtig geht??
>  Also ich hab gerechnet:
>  [mm]120^{2}=p_{0}^{2}*e^{k*6}[/mm]
>  [mm]e^{k*6}=\bruch{120^{2}}{p_{0}^{2}}[/mm]
>  [mm]e^{k*6}=\bruch{960}{p_{0}}[/mm]
>  [mm]\bruch{120^{2}}{p_{0}^{2}}=\bruch{960}{p_{0}}[/mm]
>  [mm]\bruch{120^{2}}{960}=p_{0}[/mm]
>  [mm]p_{0}=15[/mm]
>  p(0)=15 Idividuen

Ich frage mich, was Du eigentlich hast ? Es ist doch alles bestens. p(0)=15 stimmt.

>  
> Und wie komme ich auf p(12) ??

Mit  [mm]e^{k*6}=\bruch{960}{p_{0}}[/mm]  und [mm] p_0=15 [/mm] kommst Du auf [mm] e^{6k}=8. [/mm]

Edit: natürlich lautet es:  [mm] e^{6k}=64, [/mm]

Es ist [mm] p(12)=15*e^{12k}=15*(e^{6k})^2 [/mm]

FRED



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Bezug
Funktion aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Fr 09.05.2014
Autor: Kruemel1008

Wenn ich doch jetzt [mm] e^{6k}=8 [/mm] einsetze dann bekomme ich:
[mm] p(12)=15*8^{2}=960 [/mm]
Aber das ist ja der selbe Wert wie bei p(6) ???


Bezug
                                        
Bezug
Funktion aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Fr 09.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Wenn ich doch jetzt [mm]e^{6k}=8[/mm] einsetze dann bekomme ich:
> [mm]p(12)=15*8^{2}=960[/mm]
> Aber das ist ja der selbe Wert wie bei p(6) ???

>

Hm, ich glaube da hat FRED sich vertippt: die Population wächst jeweils in drei Tagen um das achtfache, also ist

[mm] e^{3k}=8 [/mm]

und dementsprechend

[mm] p(12)=15*\left(e^{3k}\right)^4=15*8^4 [/mm]

 
Gruß, Diophant

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Funktion aufstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:16 Fr 09.05.2014
Autor: Kruemel1008

Hab ich entdeckt ;) ... Nur etwas zu spät xD ... Danke :D

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Bezug
Funktion aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Fr 09.05.2014
Autor: Kruemel1008

Ist [mm] e^{6k} [/mm] nicht 64 anstatt 8??
Dann wären das nach 12 Tagen 61440 Idividuen ...

Bezug
                                        
Bezug
Funktion aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Fr 09.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Ist [mm]e^{6k}[/mm] nicht 64 anstatt 8??
> Dann wären das nach 12 Tagen 61440 Idividuen ...

Doch: genau so ist es. :-)

Gruß, Diophant

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