matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationFunktion bestimmen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Differentiation" - Funktion bestimmen
Funktion bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Funktion bestimmen: f' = g, g' = f
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Mo 11.01.2016
Autor: sandroid

Aufgabe
Seien $f, g: [mm] \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ [/mm] differenzierbar mit $f' = g$ und $g' = f$. Sei ferner $f(0)=g(0)=0$.

Zeigen Sie, dass dann auch $f = g = 0$ gilt.

Hinweis: Seien [mm] $f_{1},g_{1}$ [/mm] und [mm] $f_{2}, g_{2}$ [/mm] differenzierbare Funktionen, welche den geforderten Eigenschaften entsprechen. Betrachten Sie die Hilfsfunktionen:

[mm] $h_{1}(x) [/mm] := [mm] f_{1}(x)*g_{2}(x) [/mm] - [mm] f_{2}(x)*g_{1}(x)$ [/mm] und [mm] $h_{2}(x) [/mm] := [mm] f_{1}(x)*f_{2}(x) [/mm] - [mm] g_{1}(x)*g_{2}(x)$. [/mm]

Hallo,

eine Aufgabe aus meinen Hausaufgaben, bei der ich leider nicht weiter komme.

Ich habe [mm] $h_{1}$ [/mm] und [mm] $h_{2}$ [/mm] abgeleitet, dann bekomme ich [mm] $h_{1}' [/mm] = 0$ und [mm] $h_{2}' [/mm] = 0$, dann sind also [mm] $h_{1}$ [/mm] und [mm] $h_{2}$ [/mm] konstant. Ferner gilt [mm] $h_{1}(0)=h_{2}(0)=0$ [/mm] und somit sind [mm] $h_{1}=h_{2}=0$ [/mm] konstant.

Mit [mm] $f_{1}=f_{2}=f$ [/mm] und [mm] $g_{1}=g_{2}=g$ [/mm] erhalte ich dann zum Beispiel [mm] $f^2 [/mm] = [mm] g^2 \Rightarrow [/mm] f = [mm] \pm [/mm] g$.

Doch dann fehlt mir wohl noch irgendeine schlaue Kombination des bisher erarbeiteten. Was ist der nächste (und vermutlich letzte) Schritt?

Vielen Dank schon einmal für jede Unterstützung.

Gruß,
Sandro

        
Bezug
Funktion bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Mo 11.01.2016
Autor: Marc

Hallo sandroid!

> Doch dann fehlt mir wohl noch irgendeine schlaue
> Kombination des bisher erarbeiteten. Was ist der nächste
> (und vermutlich letzte) Schritt?

In [mm] $h_j$, [/mm] $j=1,2$, kann man ja zwei verschiedene Paare [mm] $(f_i,g_i$) [/mm] ($i=1,2$) von Funktionen einsetzen (die alle die erforderlichen Bedingungen erfüllen).

In [mm] $h_2$ [/mm] hast du ja z.B. [mm] $(f_1,g_1)=(f,g)$ [/mm] und [mm] $(f_2,g_2)=(f,g)$ [/mm] gesetzt.

Ich würde mal schauen, ob du nicht neben $f$ und $g$ noch eine dritte, hier sehr interessante Funktion finden kannst, die ebenfalls die Bedingungen für $f$ (oder $g$) erfüllt.... Ich denke da an eine sehr einfache Funktion... Wenn du diese drei Funktionen (also f,g und die dritte) in [mm] $h_1$ [/mm] einsetzt, müsste das gewünschte eigentlich schnell folgen. Wenn nicht, frage bitte nach, dann gebe ich dir mehr Tipps (oder ich habe mich geirrt :-))

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Funktion bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:53 Mo 11.01.2016
Autor: sandroid

Hallo,

danke für deine Antwort.

Meinst du als die dritte Funktion die Exponentialfunktion?

Dann gilt z.B. [mm] $h_{1}(x) [/mm] = f(x) * [mm] e^x [/mm] - [mm] e^x [/mm] * g(x) = 0 [mm] \Rightarrow e^x [/mm] (f(x) - g(x)) = 0$. Da [mm] $e^x \not= [/mm] 0$ folgt $f(x) = g(x)$. Ist das richtig? Wen ja, wäre das natürlich schon mal etwas mehr, aber ich komme damit immer noch nicht weiter.

Gruß,
Sandro



Bezug
                        
Bezug
Funktion bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Mo 11.01.2016
Autor: Marc

Hallo!

> Meinst du als die dritte Funktion die Exponentialfunktion?

Nein, noch vieel einfacher... :-)

> Dann gilt z.B. [mm]h_{1}(x) = f(x) * e^x - e^x * g(x) = 0 \Rightarrow e^x (f(x) - g(x)) = 0[/mm].
> Da [mm]e^x \not= 0[/mm] folgt [mm]f(x) = g(x)[/mm]. Ist das richtig? Wen ja,
> wäre das natürlich schon mal etwas mehr, aber ich komme
> damit immer noch nicht weiter.

Die Exponentialfunktion erfüllt aber nicht $f(0)=0$...

Viele Grüße
Marc

Bezug
                                
Bezug
Funktion bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Mo 11.01.2016
Autor: sandroid

Tut mir Leid, ich komm nicht drauf, welche du meinst.

Die einzige "einfache" Funktion, die mir noch einfällt mit [mm] $f_{2}'' [/mm] = [mm] f_{2}$ [/mm] wäre [mm] $f_{2}(x) [/mm] = 0$ konstant und entsprechend ebenso [mm] $g_{2}(x) [/mm] = 0$. Das ist doch aber langweilig, oder? Da ich ja dann mittels [mm] $h_{1} [/mm] = [mm] h_{2} [/mm] = 0$ nichts neues erfahre, oder irre ich mich?

Nun raus mit der Sprache, welche meinst du ;-)

Vielen Dank schon mal.

Gruß,
Sandro

Bezug
                                        
Bezug
Funktion bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Mo 11.01.2016
Autor: Marc

Hallo Sandro!

> Tut mir Leid, ich komm nicht drauf, welche du meinst.
>
> Die einzige "einfache" Funktion, die mir noch einfällt mit
> [mm]f_{2}'' = f_{2}[/mm] wäre [mm]f_{2}(x) = 0[/mm] konstant und
> entsprechend ebenso [mm]g_{2}(x) = 0[/mm]. Das ist doch aber
> langweilig, oder? Da ich ja dann mittels [mm]h_{1} = h_{2} = 0[/mm]
> nichts neues erfahre, oder irre ich mich?
>
> Nun raus mit der Sprache, welche meinst du ;-)

:-)

Ja, ich meinte genau die Nullfunktion.

Mit [mm] $(f_1,g_1)=(f,g)$ [/mm] und [mm] $(f_2,g_2)=(0,g)$ [/mm] ist [mm] $h_1$ [/mm] doch

[mm] $h_1=f\cdot g-0\cdot 0=f\cdot [/mm] g$

Mit deiner Vorarbeit folgt doch dann

[mm] $\pm f^2=0$ [/mm]

und daraus

$f=0$

Edit: siehe nachfolgende Beiträge

Viele Grüße
Marc


Bezug
                                                
Bezug
Funktion bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mo 11.01.2016
Autor: sandroid

Hallo Marc,

danke nochmal für deine Antwort.

Ich bin noch nicht überzeugt: Bezüglich [mm] $f_{2}$ [/mm] und [mm] $g_{2}$ [/mm] muss doch gelten: [mm] $f_{2}' [/mm] = [mm] g_{2}$ [/mm] bzw. [mm] $g_{2}' [/mm] = [mm] f_{2}$. [/mm] Für [mm] $(f_{2}, g_{2}) [/mm] = (0, g)$ gilt das doch aber nur, wenn $g = 0$ konstant. Aber genau das ist ja zu zeigen, also drehen wir uns im Kreis.

Oder habe ich etwas falsch verstanden?

Gruß,
Sandro

Bezug
                                                        
Bezug
Funktion bestimmen: Stimmt, sorry
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:59 Mo 11.01.2016
Autor: Marc

Hallo Sandro!

> Ich bin noch nicht überzeugt: Bezüglich [mm]f_{2}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm]
> muss doch gelten: [mm]f_{2}' = g_{2}[/mm] bzw. [mm]g_{2}' = f_{2}[/mm]. Für
> [mm](f_{2}, g_{2}) = (0, g)[/mm] gilt das doch aber nur, wenn [mm]g = 0[/mm]
> konstant. Aber genau das ist ja zu zeigen, also drehen wir
> uns im Kreis.
>  
> Oder habe ich etwas falsch verstanden?

Stimmt, du hast Recht, das hatte ich übersehen. Ich sehe im Augenblick leider auch nicht, wie ich meine Überlegung retten kann, sorry!

VIele Grüße
Marc

Bezug
                                                                
Bezug
Funktion bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Mo 11.01.2016
Autor: sandroid


Kein Problem,

danke dir trotzdem für deine Bemühungen.

Bezug
                        
Bezug
Funktion bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Do 14.01.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]