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Forum "Stetigkeit" - Funktion in metr Raum gesucht
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Funktion in metr Raum gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Sa 23.05.2015
Autor: Trinity13

Aufgabe
Sei [mm] A\subset \IR [/mm] nicht kompakt. Man zeige, dass es eine stetige Funktion [mm] f:A\to \IR [/mm] gibt, die beschränkt ist, aber weder Minimum noch Maximum besitzt.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Laut Aufgabenstellung muss man hier lediglich eine passende Funktion finden, doch dies fällt mir ziemlich schwer. Ich bin erstmal soweit, dass man von der "nicht Kompaktheit" von A darauf schließen kann, dass A entweder nicht beschränkt oder nicht abgeschlossen ist und man für beide Fälle jeweils eine Funktion finden muss.
Ich habe mir überlegt, dass die Funktion [mm] f(x)=1-e^{-|x|} [/mm] eingeschränkt auf (0,1) weder Maximum noch Minimum annimmt aber ich glaube nicht, dass diese Einschränkung hier vornehmen kann. Ansonsten bin ich zurzeit recht ratlos, bin euch für jeden Hinweis dankbar.

        
Bezug
Funktion in metr Raum gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:10 So 24.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

edit: das war falsch
vorweg: So, wie du die Aufgabe hier abgetippt hast, ist sie falsch.
Konkret: "die beschränkt ist, aber weder Minimum noch Maximum besitzt."
Korrekt müsste es heißen: "die beschränkt ist, aber kein Minimum oder kein Maximum besitzt."

Denn: Man kann nicht kompakte Mengen A angeben, wo jede stetige Funktion ein Maximum oder Minimum besitzen muss. Aber eben nicht beides. Allerdings ist die Formulierung "weder noch" falsch, die impliziert, dass beides nicht existiert.

Daher die Frage: Hast du die Aufgabe falsch abgetippt oder ist sie falsch gestellt?
Ich tue jetzt mal so, als wäre die Aufgabe so gestellt, wie ich sie korrigiert habe.


> Ich bin erstmal soweit, dass man von der "nicht Kompaktheit"
> von A darauf schließen kann, dass A entweder nicht
> beschränkt oder nicht abgeschlossen ist

Ohne "entweder"!
Ist dir klar, war das entweder ausmacht und warum es falsch ist?

> und man für beide Fälle jeweils eine Funktion finden muss.

Korrekt.

> Ich habe mir überlegt, dass die Funktion [mm]f(x)=1-e^{-|x|}[/mm]
> eingeschränkt auf (0,1) weder Maximum noch Minimum annimmt

korrekt

> aber ich glaube nicht, dass diese Einschränkung hier vornehmen kann.

Korrekt, weil du sonst nur den Fall $A=(0,1)$ betrachtest.
A ist aber gar nicht gegeben. Nichtsdestotrotz ist dein Beispiel gar nicht so verkehrt.

Nehmen wir also deinen Ansatz: A nicht kompakt, also:

1.) A nicht beschränkt
oder
2.) A nicht abgeschlossen

Im 1.) Fall ist dein Beispiel schon nicht schlecht, besser ist wäre aber eine Funktion, die streng monton wächst auf ganz [mm] \IR [/mm] aber beschränkt ist. Kennst du so eine?

Im 2.) Fall bedeutet es also, dass es eine in [mm] \IR [/mm] konvergente Folge gibt, deren Folgeglieder Teil von A sind, deren Grenzwert aber nicht in A liegt.
Deine Funktionen auf A haben also eine Definitionslücke, wenn man sie als Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] betrachtet
Und falls man nun kein Maximum oder Minimum haben möchte, sollte die Funktion sich also oszillierend einer oberen und unteren Schranke annähern.
Daher die Frage: Kennst du denn eine Funktion, die stark oszilliert, wenn sie sich einer bestimmten Stelle annähert?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Funktion in metr Raum gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:10 So 24.05.2015
Autor: tobit09

Hi Gono!


> Man kann nicht kompakte Mengen A angeben, wo jede
> stetige Funktion ein Maximum oder Minimum besitzen muss.

Bist du da sicher? Kannst du das beweisen?

Ich frage deshalb nach, weil ich meine, die Idee für eine Konstruktion wie in der (unveränderten) Aufgabenstellung gefordert zu haben.
Ich habe allerdings noch nicht alle Details überlegt, so dass meine Idee unter "Irrtumsvorbehalt" steht.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Funktion in metr Raum gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:39 So 24.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo Tobias,

gut, dass du nachgefragt hast. Ich dachte, ich hätte einen Beweis, den ich mir aufgrund deiner Nachfrage nochmal angeschaut hatte. Habe einen Fehler drin gefunden, der mir dann auch den Hinweis gab, wie man ein Gegenbeispiel konstruieren könnte.
Insofern: Vielen Dank für den Hinweis, werde es gleich korrigieren.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Funktion in metr Raum gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 So 24.05.2015
Autor: Trinity13

Erstmal Danke für eure Hilfe.

> > Ich bin erstmal soweit, dass man von der "nicht
> Kompaktheit"
> > von A darauf schließen kann, dass A entweder nicht
> > beschränkt oder nicht abgeschlossen ist
>  
> Ohne "entweder"!
>  Ist dir klar, war das entweder ausmacht und warum es
> falsch ist?

Ich verstehe den Unterschied zwischen "oder" und "entweder oder". Die Definition von Kompaktheit besagt, dass eine Menge kompakt ist [mm] \gdw [/mm] sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Sie ist also nicht beschränkt, wenn mindestens eine der beiden Eigenschaften nicht erfüllt ist. Durch mein "entweder oder" habe ich aber gesagt, dass sie kompakt wäre, falls sie sowohl nicht beschränkt als auch nicht abgeschlossen ist. Das war der Fehler, oder?


> Nehmen wir also deinen Ansatz: A nicht kompakt, also:
>  
> 1.) A nicht beschränkt
>  oder
>  2.) A nicht abgeschlossen
>  
> Im 1.) Fall ist dein Beispiel schon nicht schlecht, besser
> ist wäre aber eine Funktion, die streng monton wächst auf
> ganz [mm]\IR[/mm] aber beschränkt ist. Kennst du so eine?

Da werde ich mit Variationen der e-Funktion wohl nicht weiter kommen, da sie i.A. zwar streng monoton wachsen aber mir kein weiteres Beispiel einfällt, wo sie sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist. Stattdessen fällt mir aber die arctan Funktion ein, die zwar ein Supremum(Infimum) bei [mm] \pi/2 (-\pi/2) [/mm] besitzt aber kein Maximum(Minimum). Wäre das korrekt?

>
> Im 2.) Fall bedeutet es also, dass es eine in [mm]\IR[/mm]
> konvergente Folge gibt, deren Folgeglieder Teil von A sind,
> deren Grenzwert aber nicht in A liegt.
>  Deine Funktionen auf A haben also eine Definitionslücke,
> wenn man sie als Funktion auf ganz [mm]\IR[/mm] betrachtet
>  Und falls man nun kein Maximum oder Minimum haben möchte,
> sollte die Funktion sich also oszillierend einer oberen und
> unteren Schranke annähern.
>  Daher die Frage: Kennst du denn eine Funktion, die stark
> oszilliert, wenn sie sich einer bestimmten Stelle
> annähert?

Bei einer stark oszillierenden Funktion muss ich sofort an sin(1/x) denken. Aber diese besitzt sowohl Maximum als auch Minimum in +1 und -1 und wird daher wohl nicht richtig sein. Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob ich deine Erklärung mit der Definitionslücke richtig verstanden habe. Aus der nicht Abgeschlossenheit folgt, dass A nicht alle seine Berührungspunkte enthält, somit sind gewisse Punkte aus [mm][mm] \IR[/mm] [mm] nicht in A enthalten, aber wieso kann man deshalb darauf schließen, dass der Grenzwert der Folgeglieder nicht in A liegt?

Bezug
                        
Bezug
Funktion in metr Raum gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 So 24.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Stattdessen fällt mir aber die arctan Funktion ein, die zwar ein
> Supremum(Infimum) bei [mm]\pi/2 (-\pi/2)[/mm] besitzt aber kein
> Maximum(Minimum). Wäre das korrekt?

[ok]
So lange A sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist, liefert dir der [mm] \arctan [/mm] das Gewünschte (ist dir das klar?).

Wenn A nur einseitig beschränkt ist, oBdA nach unten, wird das ein bisschen fummliger, ist aber ähnlich.

> Bei einer stark oszillierenden Funktion muss ich sofort an
> sin(1/x) denken. Aber diese besitzt sowohl Maximum als auch
> Minimum in +1 und -1 und wird daher wohl nicht richtig sein.

Na außer man kombiniert sie mit dem ersten Fall :-)
Bspw hat $f(x) = [mm] \arctan(1/x)*sin\left(\bruch{1}{x}\right)$ [/mm] weder Minimum noch Maximum auf [mm] $\IR\setminus\{0\}$ [/mm]

>Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob ich deine

> Erklärung mit der Definitionslücke richtig verstanden
> habe. Aus der nicht Abgeschlossenheit folgt, dass A nicht
> alle seine Berührungspunkte enthält, somit sind gewisse
> Punkte aus [mm][mm]\IR[/mm] [mm]nicht in A enthalten, aber wieso kann man deshalb darauf schließen, dass der Grenzwert der Folgeglieder nicht in A liegt? [/mm][/mm]

Es gilt: A ist abgeschlossen, genau dann, wenn für alle konvergenten Folgen [mm] $(x_n)_{n\in\IN} \subset [/mm] A$ mit $x = [mm] \lim_{n\to\infty} x_n$ [/mm] gilt [mm] $x\in [/mm] A$.

Nun negiere das mal.

Gruß,
Gono.


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