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Forum "Differenzialrechnung" - Funktion linearisieren
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Funktion linearisieren: Rückfrage. Idee, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 So 20.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo,

ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen könnt :)

Ich habe folgende Funktion:

R(T) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm]

Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es dann richtig, wenn ich schreibe:

R_lin(T,To) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] + Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] * (T-To)

Vielen Dank für eure Hilfe :)

        
Bezug
Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 So 20.09.2015
Autor: MathePower

Hallo Dom_89,

> Hallo,
>  
> ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen
> könnt :)
>  
> Ich habe folgende Funktion:
>  
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>  
> Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es
> dann richtig, wenn ich schreibe:
>  
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm] * (T-To)
>  

Das soll ja eine lineare Funktion werden.
Demnach müssen die blau markierten Ausdrücke konstant sein:

[mm]R_{lin}(T,To) = \blue{Ro * exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}} + \blue{Ro * exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}}* (T-To)[/mm]

Die Ableitung der Funktion, das ist der Teil vor [mm]T-T_{0}[/mm],
stimmt nicht.


> Vielen Dank für eure Hilfe :)


Gruss
MathePower

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Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Mo 21.09.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen
> könnt :)
>  
> Ich habe folgende Funktion:
>  
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>  
> Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es
> dann richtig, wenn ich schreibe:
>  
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm] * (T-To)



Das stimmt hinten und vorne nicht !

Sei I ein Intervall in [mm] \IR, [/mm]  f:I [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und f sei in [mm] x_0 \in [/mm] I differenzierbar. Dann lautet die Linearisierung von f in [mm] x_0 [/mm] so:

   [mm] y(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). [/mm]

Das ist gerade die Gleichung der Tangente von f im Punkt [mm] (x_0,f(x_0). [/mm]

Jetzt zu Deiner Funktion



$R(T) = [mm] R_0 [/mm] * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{T_0}))} [/mm] $

Hier ist [mm] x_0=T_0 [/mm] und damit

     [mm] R(x_0)=R(T_0)=R_0 [/mm] ,

      $R'(T)= [mm] R_0 [/mm] * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{T_0}))}*(-\bruch{B}{T^2}),$ [/mm]

also

    [mm] $R'(x_0) =R'(T_0)=-\bruch{R_0 B}{T_0^2}.$ [/mm]

Die Gleichung der fraglichen Tangente ist also

   [mm] y(T)=-\bruch{R_0 B}{T_0^2}(T-T_0)+R_0. [/mm]


FRED

>  
> Vielen Dank für eure Hilfe :)


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Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mo 21.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo zusammen,

ich bin nun nach einiger Überlegung zu folgenden Ergebnis gekommen:

R(T) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm]


R_lin(T,To) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] + Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To})*(-\bruch{B}{To^{2}})} [/mm] * (T-To)

Ist dies so richtig ? Falls ja, kann ich hier ggf. noch weiter kürzen ?

Gruß

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Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mo 21.09.2015
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> ich bin nun nach einiger Überlegung zu folgenden Ergebnis
> gekommen:
>  
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>  
>
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To})*(-\bruch{B}{To^{2}})}[/mm]
> * (T-To)
>  
> Ist dies so richtig ?

NEIN, HAST DU MEINE ANTWORT IN DIE MÜLLTONNE GETRETEN ?

Fred





Falls ja, kann ich hier ggf. noch

> weiter kürzen ?
>  
> Gruß


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Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mo 21.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo Fred,

leider habe ich deine vorangegangenen Antwort vorhin nicht richtig lesen können.

Bedeutet das nun, dass die Funktion y (T) , die du zu letzt geschrieben hast , nun bereits die linearisisierte Funktion ist, oder muss ich da noch etwas ergänzen?

Danke und Gruss

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Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mo 21.09.2015
Autor: schachuzipus

Hallo Dom,

> Hallo Fred,

>

> leider habe ich deine vorangegangenen Antwort vorhin nicht
> richtig lesen können.

>

> Bedeutet das nun, dass die Funktion y (T) , die du zu letzt
> geschrieben hast , nun bereits die linearisisierte Funktion
> ist,

Ja

> oder muss ich da noch etwas ergänzen?


Nö, ich wüsste nicht, was ... Fred hat es doch ausführlich vorgemacht.

> Danke und Gruss

Gruß

schachuzipus

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Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Di 22.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo,

zuerst einmal vielen Dank für eure bisherige Hilfe :)

Ich möchte nun einmal folgende Werte in die Ausgangsfunktion und in die linearisierte Funktion einsetzten:

Ro = 20000 [mm] \Omega [/mm] ; B = 3000 K ; To = 273,15 K ; T = 373,15 K


R(373,15 K) = R(T) = 20000 [mm] \Omega [/mm] * [mm] exp^{(3000 K(\bruch{1}{373,15 K } - \bruch{1}{273,15 K}))} [/mm]

R(373,15 K) = 1053,82 [mm] \Omega [/mm]


[mm] R_{lin}(373,15 K)=-\bruch{20000 \Omega * 3000 K}{(273,15 K)^2}(373,15 [/mm] K-273,15 K)+ 20000 [mm] \Omega [/mm]

[mm] R_{lin}(373,15 [/mm] K) = - 60417,18 [mm] \Omega [/mm]

Dies kann meiner Meinung ja aber nicht so stimmen (die Werte sollten ziemlich nahe beieinander liegen)!

Was mache ich hier falsch ?

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Bezug
Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Di 22.09.2015
Autor: chrisno

Der Fehler liegt im Ansatz.
Du linearisierst bei [mm] $T_0 [/mm] = 273,15$K. Dann Sollten für Werte wie $T = 273,16$K gute Näherungen entstehen. Aber doch nicht für einen Temperaturunterschied von 100 K!



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Funktion linearisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Mi 23.09.2015
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antwort!

Könntest du mir einmal ein venünftiges Zahlenbeispiel, wo dann für beide Gleichungen venünftige Werte raus kommen, nennen?

Vielen Dank

Gruß

Bezug
                                                                        
Bezug
Funktion linearisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Mi 23.09.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank für die Antwort!
>  
> Könntest du mir einmal ein venünftiges Zahlenbeispiel, wo
> dann für beide Gleichungen venünftige Werte raus kommen,
> nennen?

chrisno hats doch gesagt: nimm mal T = 273,16K


Die Linearisierung in [mm] T_0 [/mm]  approximiert die Funktion in der "Nähe" von [mm] T_0 [/mm] !


FRED

>  
> Vielen Dank
>  
> Gruß


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