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Forum "Stetigkeit" - Funktion, wo diffbar/stetig
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Funktion, wo diffbar/stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Sa 03.01.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] sei [mm] F_\alpha: \IR \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] F_\alpha (x):=\begin{cases} x^\alpha, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x=0,\\ -|x|^{\alpha}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm]
Für welche [mm] \alpha [/mm] ist [mm] F_\alpha [/mm] im Nullpunkt stetig, für welche [mm] \alpha [/mm] differenzierbar?



Hallo,

Für [mm] \alpha=1 [/mm] erhält man die Betragfunktion, die im Nullpunkt stetig aber nicht differenzierbar ist.

Für die Stetigkeit:
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] x_n \to 0(n\to \infty), x_n>0: [/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}F_{\alpha}(x_n)=\lim_{n\to\infty} x_n^{\alpha}=\lim_{n\to\infty} exp(\alpha log(x_n))= exp(\alpha log(\lim_{n\to\infty}x_n))= \begin{cases} 0, & \mbox{für } \alpha>0 \\ \infty, & \mbox{für } \alpha<0 \end{cases} [/mm]
Sei [mm] (y_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] y_n \to 0(n\to \infty), y_n<0: [/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}F_{\alpha}(y_n)=\lim_{n\to\infty} -|y_n|^{\alpha}=- \lim_{n\to\infty} exp(\alpha log(|y_n|))=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \alpha>0 \\ -\infty, & \mbox{für } \alpha<0 \end{cases} [/mm]

Solche Folgen sind z.B.: [mm] x_n=1/n, y_n=-1/n [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für [mm] \alpha\ge [/mm] 0(konstante 0-Funktion auch stetig) ist [mm] F_{\alpha} [/mm] stetig



Für Differenzierbarkeit:
Schaue ich mir die selben Folgen [mm] (x_n)_{n\in \IN}, (y_n)_{n\in\IN} [/mm] an.
[mm] \lim_{n\to\infty} \frac{F_{\alpha}(x_n)-F_{\alpha}(0)}{x_n-0}=\lim_{n\to\infty} \frac{x_n^{\alpha}}{x_n}= \lim_{n\to\infty} x_n^{\alpha-1}=\lim_{n\to\infty} exp(\alpha log(x_n) -log(x_n)) [/mm]
Hier komme ich nicht weiter!

[mm] \lim_{n\to\infty} \frac{F_{\alpha}(y_n)-F_{\alpha}(0)}{x_n-0}=\lim_{n\to\infty} \frac{-|y_n|^{\alpha}}{y_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{-|y_n|^{\alpha}}{-|y_n|}= \lim_{n\to\infty} |y_n|^{\alpha-1}= \lim_{n\to\infty} (-1)^{\alpha-1} y_n^{\alpha-1} [/mm]

        
Bezug
Funktion, wo diffbar/stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Sa 03.01.2015
Autor: Leopold_Gast

"Für [mm]\alpha=1[/mm] erhält man die Betragfunktion, die im Nullpunkt stetig aber nicht differenzierbar ist."

Nein.

Bezug
                
Bezug
Funktion, wo diffbar/stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:00 So 04.01.2015
Autor: sissile

Hallo Leopold_Gast,
du hast Recht da hab ich mich geirrt.
Stimmt denn der Beweis für die Stetigkeit und wie verfahre ich bei der Differenzierbarkeit weiter vorran?

LG

Bezug
                        
Bezug
Funktion, wo diffbar/stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:17 So 04.01.2015
Autor: Leopold_Gast

Beachte die dynamische Zeichnung im Anhang. Um sie ansehen zu können, mußt du zuvor []Euklid installieren.
Das Vorgehen bei solchen Aufgaben findest du im angehängten Dokument.

[a]  
[a]  


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Funktion, wo diffbar/stetig: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:56 So 04.01.2015
Autor: sissile

Danke,
aber ich bin nicht auf meinen PC, wo ich etwas installieren könnte (der ist in der Repatur noch für einige Tage)
Das PDF ist ja lieb von dir, dass du es verlinkst, aber ich würde auch gerne wissen ob meine Lösung stimmt. Ich bin nicht resistent gegenüber anderen Lösungen aber ich hab ja auch Arbeit in meine Lösung hineingesteckt und würde mich freuen wenn mir wer kurz sagt z.B.:"Das ist blödsinn weil.."
Bei mir haben die Definitionsbereiche ja auch keinen Punkt gemeinsam wie in deinem PDF. Wobei mich da verwirrt, dass in der Angabe von f die beiden Intervalle I,J keinen gemeinsamen Punkt haben, dann aber plötzlich von  [mm] \psi(a) [/mm] geredet wird, was gar nicht definiert ist für a.

Bezug
                                        
Bezug
Funktion, wo diffbar/stetig: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Di 06.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Funktion, wo diffbar/stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 So 04.01.2015
Autor: hippias

Bezugnehmend auf Deine letzte Mitteilung, antworte ich hier nocheinmal.

> Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] sei [mm]F_\alpha: \IR \to \IR[/mm]
> definiert durch
>  [mm]F_\alpha (x):=\begin{cases} x^\alpha, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x=0,\\ -|x|^{\alpha}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>  
> Für welche [mm]\alpha[/mm] ist [mm]F_\alpha[/mm] im Nullpunkt stetig, für
> welche [mm]\alpha[/mm] differenzierbar?
>  
>
> Hallo,
>  
> Für [mm]\alpha=1[/mm] erhält man die Betragfunktion, die im
> Nullpunkt stetig aber nicht differenzierbar ist.
>  
> Für die Stetigkeit:
>  Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm] mit [mm]x_n \to 0(n\to \infty), x_n>0:[/mm]
>  
> [mm]\lim_{n\to\infty}F_{\alpha}(x_n)=\lim_{n\to\infty} x_n^{\alpha}=\lim_{n\to\infty} exp(\alpha log(x_n))= exp(\alpha log(\lim_{n\to\infty}x_n))= \begin{cases} 0, & \mbox{für } \alpha>0 \\ \infty, & \mbox{für } \alpha<0 \end{cases}[/mm]
>  
> Sei [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm] mit [mm]y_n \to 0(n\to \infty), y_n<0:[/mm]
>  
> [mm]\lim_{n\to\infty}F_{\alpha}(y_n)=\lim_{n\to\infty} -|y_n|^{\alpha}=- \lim_{n\to\infty} exp(\alpha log(|y_n|))=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \alpha>0 \\ -\infty, & \mbox{für } \alpha<0 \end{cases}[/mm]
>  
> Solche Folgen sind z.B.: [mm]x_n=1/n, y_n=-1/n[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]

Das ist gut. Wie lautet Deine Antwort auf die Fragestellung? Die Angabe einer konkreten Folge ist hier nicht sinnvoll, weil Du eine All-Aussage beweisen willst: Fuer alle Folgen gilt...

> für [mm]\alpha\ge[/mm] 0(konstante 0-Funktion auch stetig) ist
> [mm]F_{\alpha}[/mm] stetig

Achtung: [mm] $F_{0}$ [/mm] ist nicht konstant. Diesen Fall muesstest Du Dir nocheinmal kurz ueberlegen.

>  
>
>
> Für Differenzierbarkeit:
>  Schaue ich mir die selben Folgen [mm](x_n)_{n\in \IN}, (y_n)_{n\in\IN}[/mm]
> an.

Siehe oben: Fuer alle Folgen gilt...

>  [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{F_{\alpha}(x_n)-F_{\alpha}(0)}{x_n-0}=\lim_{n\to\infty} \frac{x_n^{\alpha}}{x_n}= \lim_{n\to\infty} x_n^{\alpha-1}=\lim_{n\to\infty} exp(\alpha log(x_n) -log(x_n))[/mm]
>  
> Hier komme ich nicht weiter!

Du kannst Deine Ergebnisse von eben anwenden, denn Du weisst, dass z.B. [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n^{\alpha'}= \begin{cases} 0, & \mbox{für } \alpha'>0 \\ \infty, & \mbox{für } \alpha'<0 \end{cases}$ [/mm] gilt. Wende dies fuer [mm] $\alpha'= \alpha-1$ [/mm] an.

>  
> [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{F_{\alpha}(y_n)-F_{\alpha}(0)}{x_n-0}=\lim_{n\to\infty} \frac{-|y_n|^{\alpha}}{y_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{-|y_n|^{\alpha}}{-|y_n|}= \lim_{n\to\infty} |y_n|^{\alpha-1}= \lim_{n\to\infty} (-1)^{\alpha-1} y_n^{\alpha-1}[/mm]
>  


Bezug
                
Bezug
Funktion, wo diffbar/stetig: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:18 So 04.01.2015
Autor: sissile

Hallo hippias,
danke für deine Antwort.


Sei  [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm]  eine beliebige Folge in  [mm] \IR [/mm]  mit  [mm] x_n \to 0(n\to \infty), x_n>0: [/mm]

[mm] \lim_{n\to\infty}F_{\alpha}(x_n)= \begin{cases} 0, & \mbox{für } \alpha>0 \\ \infty, & \mbox{für } \alpha<0 \end{cases} [/mm]

Sei $ [mm] (y_n)_{n\in\IN} [/mm] $ eine beliebige  Folge in $ [mm] \IR [/mm] $ mit $ [mm] y_n \to 0(n\to \infty), y_n<0: [/mm] $

$ [mm] \lim_{n\to\infty}F_{\alpha}(y_n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \alpha>0 \\ -\infty, & \mbox{für } \alpha<0 \end{cases} [/mm] $


Fall 1 [mm] \alpha>0: [/mm]
[mm] F(0)=0=lim_{n\rightarrow\infty} F_{\alpha} (x_n)=lim_{n\rightarrow\infty} F_{\alpha} (y_n) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Stetigkeit

Fall 2   [mm] \alpha<0 [/mm]
Es existieren rechts und linksseitiger Grenzwert nicht, demnach keine Stetigkeit gegeben


Fall 3 [mm] \alpha=0 [/mm]
$ [mm] F_0 (x):=\begin{cases}1, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x=0,\\ -1, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm] $
Der rechtsseitige Grenzwert stimmt nicht mit [mm] F_0(0) [/mm] überein: [mm] lim_{n\rightarrow\infty} F_0(x_n)=1\not=0=F_0(0), [/mm] demnach keine Stetigkeit.

> Das ist gut. Wie lautet Deine Antwort auf die Fragestellung? Die Angabe einer konkreten Folge ist hier nicht sinnvoll, weil Du eine All-Aussage beweisen willst: Fuer alle Folgen gilt...

Ich hab spezielle Folgen noch unten angeschrieben um zuzeigen, dass es überhaupt Folgen gibt im definitionsbereich die gegen 0 konvergieren. Ist das denn überflüssig?


Differenzierbarkeit in 0:
[mm] \lim_{n\to\infty} \frac{F_{\alpha}(x_n)-F_{\alpha}(0)}{x_n-0}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \alpha-1>0 \\ \infty, & \mbox{für } \alpha-1<0 \end{cases} [/mm]

[mm] \lim_{n\to\infty} \frac{F_{\alpha}(y_n)-F_{\alpha}(0)}{y_n-0}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \alpha-1>0 \\ -\infty, & \mbox{für } \alpha-1<0 \end{cases} [/mm]


Fall 1 [mm] \alpha>1: [/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty} \frac{F_{\alpha}(y_n)-F_{\alpha}(0)}{y_n-0}=\lim_{n\to\infty} \frac{F_{\alpha}(x_n)-F_{\alpha}(0)}{x_n-0} [/mm]
Wenn links- und rechtsseitige Ableitung existieren und übereinstimmen erhalten wir Differenzierbarkeit.

Fall 2   [mm] \alpha<1 [/mm]
Da  rechts und linksseitige Ableitung nicht existieren ist die Abbildung nicht differenzierbar. (es würde natürlich schon reichen wenn eine Ableitung nicht existiert)


Fall 3 [mm] \alpha=1 [/mm]
[mm] F_1 (x):=\begin{cases}x, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x=0,\\ -|x|=x, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm]
[mm] F_1(x)=x [/mm]
Die Identität ist überall differenzierbar, insbesondere in x=0

Bezug
                        
Bezug
Funktion, wo diffbar/stetig: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Di 06.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Funktion, wo diffbar/stetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Di 06.01.2015
Autor: sissile

Push;)

LG,
sissi

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