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Forum "Funktionalanalysis" - Funktional stet bzgl glm. konv
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Funktional stet bzgl glm. konv: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:22 Sa 25.04.2015
Autor: DudiPupan

Aufgabe
Sei [mm] $\Omega\neq\emptyset$ [/mm] eine Menge, [mm] $X\subset \mathbb{R}^\Omega$ [/mm] ein Vektorrau welcher alle konstanten Funktionen enthält und [mm] $I\,:\,X\to \mathbb{R}$ [/mm] ein positives, lineares Funktional. Zeige, dass $I$ stetig bezüglich gleichmäßiger Konvergenz [mm] ist.\\ [/mm]
Gilt die gleiche Aussage, wenn $X$ nicht alle Konstanten enthält? Gib ein Beispiel oder ein Gegenbeispiel an.

Guten Abend liebe Forenmitglieder,

ich sitze derzeit an dieser Aufgabe, aber leider fehlt mir einfach der richtige Ansatz. Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.
Zeigen soll ich ja, dass für jede Folge [mm] $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset [/mm] X$ mit [mm] $\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_\infty=0$ [/mm] für ein $f$ (also glm. Konvergenz gegen $f$) gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}I(f_n)=I(f)$. [/mm]
Nun finde ich aber leider keinen Ansatz un würde mich sehr über einen kleinen Tipp freuen.

Vielen Dank

Liebe Grüße
Dudi

        
Bezug
Funktional stet bzgl glm. konv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:13 Sa 25.04.2015
Autor: fred97


> Sei [mm]\Omega\neq\emptyset[/mm] eine Menge, [mm]X\subset \mathbb{R}^\Omega[/mm]
> ein Vektorrau welcher alle konstanten Funktionen enthält
> und [mm]I\,:\,X\to \mathbb{R}[/mm] ein positives, lineares
> Funktional. Zeige, dass [mm]I[/mm] stetig bezüglich gleichmäßiger
> Konvergenz [mm]ist.\\[/mm]
>  Gilt die gleiche Aussage, wenn [mm]X[/mm] nicht alle Konstanten
> enthält? Gib ein Beispiel oder ein Gegenbeispiel an.
>  Guten Abend liebe Forenmitglieder,
>  
> ich sitze derzeit an dieser Aufgabe, aber leider fehlt mir
> einfach der richtige Ansatz. Ich weiß nicht, wie ich
> anfangen soll.
>  Zeigen soll ich ja, dass für jede Folge
> [mm](f_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset X[/mm] mit
> [mm]\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_\infty=0[/mm] für ein [mm]f[/mm] (also glm.
> Konvergenz gegen [mm]f[/mm]) gilt [mm]\lim_{n\to\infty}I(f_n)=I(f)[/mm].
> Nun finde ich aber leider keinen Ansatz un würde mich sehr
> über einen kleinen Tipp freuen.
>  
> Vielen Dank
>  
> Liebe Grüße
>  Dudi


Zu zeigen ist ja eine Art Stetigkeit von I. Orientiere Dich mal an Beweisen für die Stetigkeit positiver linearer Operatoren.

FRED

Bezug
                
Bezug
Funktional stet bzgl glm. konv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Sa 25.04.2015
Autor: DudiPupan

Also ich habe jetzt mal weitere Gedanken gemacht und dachte, dass ich ja erst zeigen kann, dass I beschränkt ist (und damit ja auch stetig) und dann daraus die Stetigkeit bzgl. glm. Konvergenz zeige. Wenn ich das so mache, habe ich mir bisher überlegt:

Angenommen I sei nicht beschränkt, dann gilt für alle $C>0$:
[mm] $$\sup\limits_{f\in M}I(f)> [/mm] C$$ mit [mm] $M:=\{f\in X\,|\,\|f\|_\infty\leq1,\,f\geq 0\}$Somit [/mm] existiert eine Folge [mm] $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset$M [/mm] mit [mm] $2^n\leq I(f_n),\forall n\in\mathbb{N}$. [/mm] Setzen wir nun [mm] $f:=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{f_n}{2^n}$, [/mm] dann ist [mm] $\frac{f_n}{2^n}\in X^+:=\{f\in X\,|\,f\geq 0\}$ [/mm] für alle [mm] $n\in \mathbb{N}$ [/mm] (X abgeschl. bzgl. Skalarmultiplikation). Außerdem Konvergiert die Reihe wegen der konvergenten Majorante [mm] $\sum\limits_{n\in\mathbbb{N}}\frac{1}{2^n}=1$ [/mm] und [mm] $|f_n(x)2^{-n}|\leq \|f\|_\infty 2^{-n}\leq 2^{-n},\,\forall n\in \mathbb{N},\,\forall x\in\Omega$. [/mm] Außerdem ist [mm] $f\in\,X^+$, [/mm] da X als Vektorraum abgeschlossen bzgl. Addition und Skalarmultiplikation ist und alle Reigenglieder größer-gleich 0. Nun gilt wegen [mm] $2^n\leq I(f_n)$ [/mm] auch [mm] $1\leq I(f_n2^{-n})$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$. [/mm] Da I positiv ist, ist I monoton steigend, denn betrachtet man [mm] $f,g\in$ [/mm] X mit [mm] f\geq [/mm] g, dann gilt [mm] f-g\geq 0\Rightarrow I(f-g)\geq 0\Rightarrow I(f)-I(g)\geq 0\Rightarrow I(f)\geq [/mm] I(g).
Damit gilt dann insgesamt
[mm] $$N\leq \sum\limits_{n=1}^{N}I(f_n2^{-n})=I\left(\sum\limits_{n=1}^{N}f_n2^{-n}\right)\leq I(f)\quad \forall n\in\mathbb{N}$$ [/mm]
Das würde aber heißen, dass $I(f)$ eine obere Schranke der natürlichen Zahlen ist. Das kann natürlich nicht sein und damit ist I beschränkt.

Stimmt das bis hier her?

Vielen Dank und liebe Grüße

Dudi

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Funktional stet bzgl glm. konv: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:38 Sa 25.04.2015
Autor: DudiPupan

Weiter würde ich wie folgt vorgehen:

Da nun also I beschränkt ist existiert ein $C>0$, sodass [mm] $|I(f)|\leq C\|f\|_\infty$ [/mm] für alle [mm] $f\in [/mm] X$.Sei [mm] $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset [/mm] X$ eine Folge, die glm. gegen [mm] $f\in [/mm] X$ konvergiert, d.h. [mm] $\|f_n-f\|_\infty\to 0\,(n\to\infty)$, [/mm] dann gilt:
[mm] $$|I(f_n)-I(f)|=|I(f_n-f)|\leq C\|f_n-f\|_\infty\to 0\,(n\to\infty)$$ [/mm]
Und damit ist I stetig bzgl. glm Konvergenz.

Passt das so?

Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi

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Bezug
Funktional stet bzgl glm. konv: 2. Teil
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:42 Sa 25.04.2015
Autor: DudiPupan

Für den 2. Teil der Aufgabe, also ob dies auch gilt, falls X nicht alle Konstanten enthält (und damit ja keine, da sonst wegen Abgeschl. unter Skalarmult. alle Konstenten in X wären), sehe ich nicht, wo diese Bedingung in meinem Beweis mit eingeflossen sein sollte und damit würde ich behaupten, dass dies trotzdem gilt.
Bezug
                                        
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Funktional stet bzgl glm. konv: *Push*
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:10 So 26.04.2015
Autor: DudiPupan

*Push*

Bezug
                                        
Bezug
Funktional stet bzgl glm. konv: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Mo 27.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Funktional stet bzgl glm. konv: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Mo 27.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Funktional stet bzgl glm. konv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:41 Mo 27.04.2015
Autor: fred97


> Also ich habe jetzt mal weitere Gedanken gemacht und
> dachte, dass ich ja erst zeigen kann, dass I beschränkt
> ist (und damit ja auch stetig) und dann daraus die
> Stetigkeit bzgl. glm. Konvergenz zeige. Wenn ich das so
> mache, habe ich mir bisher überlegt:
>  
> Angenommen I sei nicht beschränkt, dann gilt für alle
> [mm]C>0[/mm]:
>  [mm]\sup\limits_{f\in M}I(f)> C[/mm] mit [mm]$M:=\{f\in X\,|\,\|f\|_\infty\leq1,\,f\geq 0\}$Somit[/mm]
> existiert eine Folge [mm]$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset$M[/mm] mit
> [mm]$2^n\leq I(f_n),\forall n\in\mathbb{N}$.[/mm] Setzen wir nun
> [mm]$f:=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{f_n}{2^n}$,[/mm] dann ist
> [mm]$\frac{f_n}{2^n}\in X^+:=\{f\in X\,|\,f\geq 0\}$[/mm] für alle
> [mm]$n\in \mathbb{N}$[/mm] (X abgeschl. bzgl. Skalarmultiplikation).
> Außerdem Konvergiert die Reihe wegen der konvergenten
> Majorante [mm]$\sum\limits_{n\in\mathbbb{N}}\frac{1}{2^n}=1$[/mm]
> und [mm]$|f_n(x)2^{-n}|\leq \|f\|_\infty 2^{-n}\leq 2^{-n},\,\forall n\in \mathbb{N},\,\forall x\in\Omega$.[/mm]
> Außerdem ist [mm]$f\in\,X^+$,[/mm] da X als Vektorraum
> abgeschlossen bzgl. Addition und Skalarmultiplikation ist
> und alle Reigenglieder größer-gleich 0. Nun gilt wegen
> [mm]$2^n\leq I(f_n)$[/mm] auch [mm]$1\leq I(f_n2^{-n})$[/mm] für alle
> [mm]$n\in\mathbb{N}$.[/mm] Da I positiv ist, ist I monoton steigend,
> denn betrachtet man [mm]$f,g\in$[/mm] X mit [mm]f\geq[/mm] g, dann gilt
> [mm]f-g\geq 0\Rightarrow I(f-g)\geq 0\Rightarrow I(f)-I(g)\geq 0\Rightarrow I(f)\geq[/mm]
> I(g).
>  Damit gilt dann insgesamt
>  [mm]N\leq \sum\limits_{n=1}^{N}I(f_n2^{-n})=I\left(\sum\limits_{n=1}^{N}f_n2^{-n}\right)\leq I(f)\quad \forall n\in\mathbb{N}[/mm]
>  
> Das würde aber heißen, dass [mm]I(f)[/mm] eine obere Schranke der
> natürlichen Zahlen ist. Das kann natürlich nicht sein und
> damit ist I beschränkt.
>  
> Stimmt das bis hier her?



So allgemein, wie X in der Aufgabenstellung gehalten ist, wird [mm] $(X,||*||_{\infty}$ [/mm]  kein(!) normierter Raum sein.

Oder hast Du weitere Eigenschaften von X vergessen zu erwähnen?

FREd

>  
> Vielen Dank und liebe Grüße
>  
> Dudi


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