Funktionalgleichung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hallo ihr,
ich vewezweifle schon seit heute morgen an diesem Stetigkeitsbeweis und hoffe ihr könnt mir helfen
Ich soll beweisen, das die Funktion f mir f(x+y)=f(x)+f(y)für alle x Element der reelen Zahlen in einem Punkt stetig ist, sodass gilt f(x)=1*(x) für alle x
mein Ansatz:
für beliebige a [mm] \in \Ir [/mm] gilt ja:
|f(x)-f(y)|=|f(x)+f(a)+f(y)-f(a)|=|f(a+(x-y))-f(a)|
das gilt, wegen f(y)=-f(y) und das gilt wiederum wegen:f(0)=0 gilt doch wegen f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) daher f(0) = 0.
Fur jedes x ∈ R folgt aus 0 = f(x+(−x)) =f(x) + f(−x)
und daher f(x)=-f(x)
Allerdings weiß ich nicht, wie ich dies jetzt genau weiter benutzen soll um obiges zu zeigen. habt ihr eine Idee?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 So 19.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ihr,
> ich vewezweifle schon seit heute morgen an diesem
> Stetigkeitsbeweis und hoffe ihr könnt mir helfen
> Ich soll beweisen, das die Funktion f mir
> f(x+y)=f(x)+f(y)für alle x Element der reelen Zahlen in
> einem Punkt stetig ist, sodass gilt f(x)=1*(x)
Das lautet sicher f(x)=f(1)*x
> für alle x
>
> mein Ansatz:
> für beliebige a [mm]\in \Ir[/mm] gilt ja:
> |f(x)-f(y)|=|f(x)+f(a)+f(y)-f(a)|=|f(a+(x-y))-f(a)|
> das gilt, wegen f(y)=-f(y) und das gilt wiederum
> wegen:f(0)=0 gilt doch wegen f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) daher
> f(0) = 0.
> Fur jedes x ∈ R folgt aus 0 = f(x+(−x)) =f(x) + f(−x)
> und daher f(x)=-f(x)
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich dies jetzt genau weiter
> benutzen soll um obiges zu zeigen. habt ihr eine Idee?
> LG
>
Sei a:=f(1)
Zeige:
1. f(n)=a*n für alle n [mm] \in \IN [/mm] (Induktion !)
2. f f(k)=a*k für alle k [mm] \in \IZ
[/mm]
3. [mm] f(\bruch{m}{n})=a*\bruch{m}{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und m [mm] \in \IZ
[/mm]
Dann haben wir f(r)=a*r für alle r [mm] \in \IQ.
[/mm]
Mit der Stetigkeit von f zeige dann: f(x)=a*x für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 So 19.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
danke. also soll ich aller 3 dieser Gleichungen mit Induktion beweisen?
und
z.B. zu 1: IV) f(n)=n*a
Induktionsanfang ist ja dann f(1)=a und das ist ja eh unsere Annahme
Induktionsschritt ist doch dann: f(n+1)=(n+1)*a
[mm] \gdw [/mm] f(n+1)=an*a
[mm] \gdw [/mm] f(n+1)=f(n)*a
[mm] \gwd [/mm] f(n+1)= f(n)*f(1)
und diese Gleichung ist ja erfüllt oder?
und so mache ich das mit den übrigens beiden auch, oder?
benötige ich jetzt überhaupt noch meinen Ansatz?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 So 19.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> danke. also soll ich aller 3 dieser Gleichungen mit
> Induktion beweisen?
> und
> z.B. zu 1: IV) f(n)=n*a
> Induktionsanfang ist ja dann f(1)=a und das ist ja eh
> unsere Annahme
> Induktionsschritt ist doch dann: f(n+1)=(n+1)*a
Ja, das ist zu zeigen unter der Vor. f(n)=a*n
> [mm]\gdw[/mm] f(n+1)=an*a
> [mm]\gdw[/mm] f(n+1)=f(n)*a
> [mm]\gwd[/mm] f(n+1)= f(n)*f(1)
Das ist doch Quatsch !
Es ist f(n+1)=f(n)+f(1)=a*n+a=a*(n+1)
> und diese Gleichung ist ja erfüllt oder?
> und so mache ich das mit den übrigens beiden auch, oder?
Sei k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Fall 1: k=0. f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0). Also ist f(0)=0=a*0
Fall 2: k>0. Das haben wir oben schon behandelt.
Fall 3: k<0. Dann ist -k>0, also
0=f(0)=f(k-k)=f(k)+f(-k)=f(k)+(a*(-k))=f(k)-a*k,
also: f(k)=a*k.
> benötige ich jetzt überhaupt noch meinen Ansatz?
Nein.
FRED
>
> LG
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 So 19.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
wenn ich jetzt nun noch, den von dir aufgeführten dritten Punkt beweisen will, reicht es doch schlichtergreifend in dem von dir aufgeführtem 2. Beweis k durch (k/m) zu ersetzen, oder?
also:
> Sei k/m [mm] \IR
[/mm]
>
> Fall 1: k/m =0. f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0). Also ist f(0)=0=a*0
>
> Fall 2: k/m >0. siehe oben
>
> Fall 3: k/m<0. Dann ist -k/m >0, also
> also: f(k)=a*k.
reicht das so aus?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 19.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
>
> wenn ich jetzt nun noch, den von dir aufgeführten dritten
> Punkt beweisen will, reicht es doch schlichtergreifend in
> dem von dir aufgeführtem 2. Beweis k durch (k/m) zu
> ersetzen, oder?
Das ist doch Unsinn !
FRED
> also:
>
> > Sei k/m [mm]\IR[/mm]
> >
> > Fall 1: k/m =0. f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0). Also ist f(0)=0=a*0
> >
> > Fall 2: k/m >0. siehe oben
> >
> > Fall 3: k/m<0. Dann ist -k/m >0, also
>
> > also: f(k)=a*k.
>
> reicht das so aus?
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 19.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
also muss ich das ganze für k kleiner größer und gleich 0 nochmal in Abhängigkeit zu n darstellen?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
kann mir hier vielleicht noch jemand weiterhelfen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir machen jetzt mal folgendes:
1. Zeige induktiv: ist n [mm] \in \IN [/mm] und sind [mm] x_1,...,x_n \in \IR, [/mm] so ist
[mm] f(x_1+...+x_n)=f(x_1)+...+f(x_n)
[/mm]
2. ist x [mm] \in \IR, [/mm] so ist
0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),
also
f(-x)=-f(x).
Was wissen wir schon ? Das: mit a:=f(1) ist
f(k)=a*k für alle k [mm] \in \IZ.
[/mm]
_______________________________________________________
a) Sei n [mm] \in \IN
[/mm]
Dann ist [mm] a=f(1)=f(n*\bruch{1}{n}).
[/mm]
Zeige Du, dass [mm] f(\bruch{1}{n})=\bruch{a}{n} [/mm] ist.
b)Sei r [mm] \in \IQ [/mm] und r>0. Damit gibt es m,n [mm] \in \IN: [/mm] r=m/n
Dann ist
[mm] f(r)=f(m/n)=f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n}) [/mm] ( n Summanden.
Edit : m Summanden
Jetzt mach Du mal weiter und zeige: f(r)=a*r.
c)Sei r [mm] \in \IQ [/mm] und r<0. Zeige: f(r)=a*r
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
zu allererst(tut mir leid das ich nochmal nachfragen muss aber irgendwie verstehe ich den Schritt nicht so ganz:
Wie kommst du nochmal auf die Annahmen, dass f(1)=a?
Dann:
> a) Sei n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Dann ist [mm]a=f(1)=f(n*\bruch{1}{n}).[/mm]
>
> Zeige Du, dass [mm]f(\bruch{1}{n})=\bruch{a}{n}[/mm] ist.
(a/n)= [mm] \frac{f(1)}{n}= \frac{f(n*(1/n))}{n} [/mm] = f(1/n)
> b)Sei r [mm]\in \IQ[/mm] und r>0. Damit gibt es m,n [mm]\in \IN:[/mm] r=m/n
>
> Dann ist
>
> [mm]f(r)=f(m/n)=f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})[/mm] ( n
> Summanden.
>
> Jetzt mach Du mal weiter und zeige: f(r)=a*r.
>
okay: [mm] a*f(r)=a*f(m/n)=a*f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})= f(\bruch{a}{n}+...+\bruch{a}{n})
[/mm]
> c)Sei r [mm]\in \IQ[/mm] und r<0. Zeige: f(r)=a*r
[mm] a*f(r)=a*-f(m/n)=a*-f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})= -f(\bruch{a}{n}+...+\bruch{a}{n})
[/mm]
das können wir ja wegen der Annahme f(-x)=-f(x) machen
stimmt das so?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> zu allererst(tut mir leid das ich nochmal nachfragen muss
> aber irgendwie verstehe ich den Schritt nicht so ganz:
> Wie kommst du nochmal auf die Annahmen, dass f(1)=a?
Mann , oh mann ! Das hatten wir doch schon ganz oben ! Ich bin faul, also führe ich Abkürzungen ein, z.B.: a:=f(1).
>
> Dann:
> > a) Sei n [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]a=f(1)=f(n*\bruch{1}{n}).[/mm]
> >
> > Zeige Du, dass [mm]f(\bruch{1}{n})=\bruch{a}{n}[/mm] ist.
> (a/n)= [mm]\frac{f(1)}{n}= \frac{f(n*(1/n))}{n}[/mm] = f(1/n)
Wie begründest Du das letzte "=" ??
>
>
> > b)Sei r [mm]\in \IQ[/mm] und r>0. Damit gibt es m,n [mm]\in \IN:[/mm] r=m/n
> >
> > Dann ist
> >
> > [mm]f(r)=f(m/n)=f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})[/mm] ( n
> > Summanden.
> >
> > Jetzt mach Du mal weiter und zeige: f(r)=a*r.
> >
> okay: [mm]a*f(r)=a*f(m/n)=a*f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})= f(\bruch{a}{n}+...+\bruch{a}{n})[/mm]
>
> > c)Sei r [mm]\in \IQ[/mm] und r<0. Zeige: f(r)=a*r
> [mm]a*f(r)=a*-f(m/n)=a*-f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})= -f(\bruch{a}{n}+...+\bruch{a}{n})[/mm]
Das ist Unfug und Stochern im Nebel
FRED
>
> das können wir ja wegen der Annahme f(-x)=-f(x) machen
> stimmt das so?
>
> LG
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
>
> Mann , oh mann ! Das hatten wir doch schon ganz oben ! Ich
> bin faul, also führe ich Abkürzungen ein, z.B.: a:=f(1).
aber wieso dann ausgerechnet f(1) und nicht z.B f(x)?
> >
> > Dann:
> > > a) Sei n [mm]\in \IN[/mm]
> > >
> > > Dann ist [mm]a=f(1)=f(n*\bruch{1}{n}).[/mm]
> > >
> > > Zeige Du, dass [mm]f(\bruch{1}{n})=\bruch{a}{n}[/mm] ist.
> > (a/n)= [mm]\frac{f(1)}{n}= \frac{f(n*(1/n))}{n}[/mm] = f(1/n)
>
> Wie begründest Du das letzte "=" ??
es gilt doch f(x)/n= f(x/n)
> > > b)Sei r [mm]\in \IQ[/mm] und r>0. Damit gibt es m,n [mm]\in \IN:[/mm] r=m/n
> > >
> > > Dann ist
> > >
> > > [mm]f(r)=f(m/n)=f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})[/mm] ( n
> > > Summanden.
> > >
> > > Jetzt mach Du mal weiter und zeige: f(r)=a*r.
> > >
> > okay: [mm]a*f(r)=a*f(m/n)=a*f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})= f(\bruch{a}{n}+...+\bruch{a}{n})[/mm]
>
> >
> > > c)Sei r [mm]\in \IQ[/mm] und r<0. Zeige: f(r)=a*r
> > [mm]a*f(r)=a*-f(m/n)=a*-f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})= -f(\bruch{a}{n}+...+\bruch{a}{n})[/mm]
aber was meinst du dann?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> >
> > Mann , oh mann ! Das hatten wir doch schon ganz oben ! Ich
> > bin faul, also führe ich Abkürzungen ein, z.B.: a:=f(1).
> aber wieso dann ausgerechnet f(1) und nicht z.B f(x)?
Ist das die Möglichkeit ?
Zeigen sollst Du doch: f(x)=f(1)*x für alle x [mm] \in \IR. [/mm]
> > >
> > > Dann:
> > > > a) Sei n [mm]\in \IN[/mm]
> > > >
> > > > Dann ist [mm]a=f(1)=f(n*\bruch{1}{n}).[/mm]
> > > >
> > > > Zeige Du, dass [mm]f(\bruch{1}{n})=\bruch{a}{n}[/mm] ist.
> > > (a/n)= [mm]\frac{f(1)}{n}= \frac{f(n*(1/n))}{n}[/mm] =
> f(1/n)
> >
> > Wie begründest Du das letzte "=" ??
>
> es gilt doch f(x)/n= f(x/n)
Das stimmt schon, aber gezeigt ist das noch nicht !
>
> > > > b)Sei r [mm]\in \IQ[/mm] und r>0. Damit gibt es m,n [mm]\in \IN:[/mm] r=m/n
> > > >
> > > > Dann ist
> > > >
> > > > [mm]f(r)=f(m/n)=f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})[/mm] ( n
> > > > Summanden.
> > > >
> > > > Jetzt mach Du mal weiter und zeige: f(r)=a*r.
> > > >
> > > okay: [mm]a*f(r)=a*f(m/n)=a*f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})= f(\bruch{a}{n}+...+\bruch{a}{n})[/mm]
>
> >
> > >
> > > > c)Sei r [mm]\in \IQ[/mm] und r<0. Zeige: f(r)=a*r
> > >
> [mm]a*f(r)=a*-f(m/n)=a*-f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n})= -f(\bruch{a}{n}+...+\bruch{a}{n})[/mm]
>
> aber was meinst du dann?
Sag mal, ich hab Dir fast alles vorgekaut. Verdauen solltesrt Du das aber selber !
$ [mm] f(r)=f(m/n)=f(\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{n}) =m*f(1/n)=m*a*\bruch{1}{n}=a*r$
[/mm]
FRED
>
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey,
Dann hast du ja jetzt gezeigt, dass f(1)=a für alle rationalen und natürlichen Zahlen gilt. Müssen wir das auch noch für die ganzen Zahlen zeigen?
und wenn ich das nun weiß gilt ja: f(x)=a*x
was hat das in diesem Falle mit der Stetigkeit zu tuen?
LG
und tausend Dank für deine Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
> Dann hast du ja jetzt gezeigt, dass f(1)=a für alle
> rationalen und natürlichen Zahlen gilt.
Gehts noch ??????? Ich habe abkürzend gesetzt: a:=f(1)
> Müssen wir das
> auch noch für die ganzen Zahlen zeigen?
> und wenn ich das nun weiß gilt ja: f(x)=a*x
> was hat das in diesem Falle mit der Stetigkeit zu tuen?
Ich hab Dir schon in meiner ersten Antwort gesagt:
Zeige zunächst: f(r)=a*r für alle r [mm] \in \IQ
[/mm]
Dafür braucht man die Stetigkeit von f nicht.
Die braucht man erst, wenn man zeigen will:
f(x)=a*x für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
FRED
>
> LG
> und tausend Dank für deine Hilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
das dies für alle rationalen Zahlen gilt ist ja dann nun gezeigt. Wie gehe ich dann nun mit den reellen Zahlen um?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> das dies für alle rationalen Zahlen gilt ist ja dann nun
> gezeigt.
Das hast Du noch nicht gezeigt. !!!!!!
> Wie gehe ich dann nun mit den reellen Zahlen um?
Sei x [mm] \in \IR. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (r_n) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] mit [mm] r_n \to [/mm] x
Jetzt Du.
FRED
P.S. wenn Du nicht bald mal selbst etwas vernünftiges beiträgst, klinke ich mich aus dieser Diskussion aus.
>
> LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
owei, vielleicht hast du recht und es ist besser wenn ich diese Aufgabe einfach sein lassen. normal gebe ich nicht auf aber das hier treibt mich an den Rand des Wahnsinns.
ja: [mm] r_{n} [/mm] ist eine Folge die dann gegen x konvergieren soll. Wahrscheinlich vertreibe ich dich jetzt auch völlig in die Flucht wenn ich dir sage, dass ich keine Ahnung habe wie man das zeigt. Wo kommt den jetzt aufeinmal eine Folge her?? und wie ist die definiert. Klar durch (m/n)=r aber weiter komme ich auch nicht. sorry ehrlich. ich wünschte auch ich könnte das
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> owei, vielleicht hast du recht und es ist besser wenn ich
> diese Aufgabe einfach sein lassen.
Das habe ich nicht gesagt.
> normal gebe ich nicht
> auf aber das hier treibt mich an den Rand des Wahnsinns.
Du tust einfach nicht, was man Dir rät.
> ja: [mm]r_{n}[/mm] ist eine Folge die dann gegen x konvergieren
> soll. Wahrscheinlich vertreibe ich dich jetzt auch völlig
> in die Flucht wenn ich dir sage, dass ich keine Ahnung habe
> wie man das zeigt. Wo kommt den jetzt aufeinmal eine Folge
> her??
[mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IR. [/mm] Hast Du das schon mal gehört/gelesen ?
FRED
> und wie ist die definiert. Klar durch (m/n)=r aber
> weiter komme ich auch nicht. sorry ehrlich. ich wünschte
> auch ich könnte das
>
> LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
nein, in der Vorlesung jedenfalls nicht. in einem anderen Thread habe ich aber schon etwas von dem Verdichtungssatz gelesen?
hier:
Sind a, b ∈ R und gilt a < b, dann gibt es im Intervall ]a, b[ sowohl rationale als auch nicht rationale
(= irrationale) Zahlen.
Hieraus folgt: F¨ur jedes x ∈ R und jedes ε > 0 gibt es ein r ∈ Q mit |r − x| < ε
das meinst du oder?
muss dazu dann noch der vollständige Beweis durchgeführt werden?
oder kann ich nun darauf schließen, dass a:=f(1) auch für x [mm] \in \IR [/mm] gilt?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mo 20.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> nein, in der Vorlesung jedenfalls nicht. in einem anderen
> Thread habe ich aber schon etwas von dem Verdichtungssatz
> gelesen?
> hier:
> Sind a, b ∈ R und gilt a < b, dann gibt es im Intervall
> ]a, b[ sowohl rationale als auch nicht rationale
> (= irrationale) Zahlen.
> Hieraus folgt: F¨ur jedes x ∈ R und jedes ε > 0 gibt
> es ein r ∈ Q mit |r − x| < ε
> das meinst du oder?
Ja
> muss dazu dann noch der vollständige Beweis durchgeführt
> werden?
Das hattet Ihr sicher, anderenfalls kannst Du die Aufgabe nicht lösen.
> oder kann ich nun darauf schließen, dass a:=f(1) auch
> für x [mm]\in \IR[/mm] gilt?
Jetzt geb ich auf, denn ich fühle mich verarscht !
FRED
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
hey
ja okay. ich mach das ja nicht mit Absicht. kann dich wahrscheinlich sogar verstehen. dennoch danke für deine Mühen und ich gebe diese Aufgabe somit auch offiziell auf 
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