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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Funktionenschar Extrema
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Funktionenschar Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Mi 01.10.2014
Autor: micha20000

Aufgabe
Durch die Gleichung [mm] f_{a}(x)= (x^{2}-a^{2})*e^{ax} [/mm] wird für jede positive reelle Zahl a eine Funktion [mm] f_{a} [/mm] definiert.

Zeigen Sie, dass die positive Nullstelle von [mm] f_{a} [/mm] niemals eine Extremstelle dieser Funktion sein kann.

Hallo,

ich komme irgendwie nicht weiter...

Ich habe folgendes berechnet:
f'_{a}(x)= [mm] 2x*e^{ax}+(x^{2}-a^{2})*(e^{ax}*a) [/mm]

= [mm] 2x*e^{ax}+(x^{2}*e^{ax}+ax^{2}-a^{2}*e^{ax} -a^{3}) [/mm]

= [mm] e^{ax} [/mm] * [mm] (2x+x^{2} [/mm] - [mm] a^{3}-a^{2} [/mm] ...?)

hier komme ich nicht weiter... Kann mir jemand helfen?

(Und eine Frage nebenbei: Wenn man für diese Funktionenschar [mm] (f_{a}) [/mm] die Nullstellen bestimmen möchte, muss man nach x oder nach a auflösen??)

        
Bezug
Funktionenschar Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Mi 01.10.2014
Autor: MathePower

Hallo  micha20000,

> Durch die Gleichung [mm]f_{a}(x)= (x^{2}-a^{2})*e^{ax}[/mm] wird
> für jede positive reelle Zahl a eine Funktion [mm]f_{a}[/mm]
> definiert.
>  
> Zeigen Sie, dass die positive Nullstelle von [mm]f_{a}[/mm] niemals
> eine Extremstelle dieser Funktion sein kann.
>  Hallo,
>  
> ich komme irgendwie nicht weiter...
>  
> Ich habe folgendes berechnet:
>  f'_{a}(x)= [mm]2x*e^{ax}+(x^{2}-a^{2})*(e^{ax}*a)[/mm]
>  
> = [mm]2x*e^{ax}+(x^{2}*e^{ax}+ax^{2}-a^{2}*e^{ax} -a^{3})[/mm]
>  


Der zweite Summand schreibt sich als Summe*Produkt.
Damit ist jede dieser Summen mit dem Produkt zu multiplizieren:

[mm](x^{2}-a^{2})*(e^{ax}*a)=x^{2}*e^{a*x}*a-a^{2}*e^{a*x}*a[/mm]


> = [mm]e^{ax}[/mm] * [mm](2x+x^{2}[/mm] - [mm]a^{3}-a^{2}[/mm] ...?)
>  
> hier komme ich nicht weiter... Kann mir jemand helfen?
>  
> (Und eine Frage nebenbei: Wenn man für diese
> Funktionenschar [mm](f_{a})[/mm] die Nullstellen bestimmen möchte,
> muss man nach x oder nach a auflösen??)


Nach x.


Gruss
MathePower

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Bezug
Funktionenschar Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Mi 01.10.2014
Autor: micha20000

oja, jetzt habe ich den Fehler gesehen, danke!

Ich habe nun folgendes:

f'_{a}(x)= [mm] e^{ax}*(2x+ax^{2}-a^{3}) [/mm]

Nun muss ich ja f'_{a}(a)= 0 setzen
[mm] e^{a^{2}}*2a=0 [/mm]

Dann bekomme ich für a 0 raus. Ist das richtig? Muss ich das jetzt in die 2. Ableitung einsetzen?

Bezug
                        
Bezug
Funktionenschar Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Mi 01.10.2014
Autor: DieAcht

Hallo Micha,


> Ich habe nun folgendes:
>  
> f'_{a}(x)= [mm]e^{ax}*(2x+ax^{2}-a^{3})[/mm]

[ok]

> Ist das richtig?

Es soll übrigens [mm] $a>0\$ [/mm] sein! Lies noch einmal die Aufgabenstellung. ;-)

(editiert)


Gruß
DieAcht

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Funktionenschar Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Mi 01.10.2014
Autor: micha20000

Wenn ich jetzt f'(x) nach x auflöse, dann bekomme ich x=0 raus... stimmt das?

Bezug
                                        
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Funktionenschar Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Mi 01.10.2014
Autor: DieAcht

Tut mir leid, ich habe einen Fehler gemacht. Die einzige positive
Nullstelle von [mm] f_{a}(x) [/mm] ist [mm] $a\$ [/mm] und um diese geht es. Ich bin mir
nicht sicher ob das nun zufällig von dir richtig benutzt worden
ist. Du bekommst also [mm] $a=0\$ [/mm] raus, aber es muss [mm] $a>0\$ [/mm] gelten.
Da hast du den Widerspruch und die Aufgabe ist gelöst.

Demnach ist also deine andere Antwort völlig richtig. Sorry!

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Funktionenschar Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Mi 01.10.2014
Autor: micha20000

okay, vielen Dank! Wir haben von unserem Lehrer den Tipp bekommen, am Ende a einzusetzen und es nicht bei x zu belassen...

Aber wäre ich nicht auch auf die Lösung gekommen, wenn ich einfach ganz normal nach x aufgelöst hätte, ohne irgendwo a einzusetzen?

Bezug
                                                        
Bezug
Funktionenschar Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Mi 01.10.2014
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ja, Du hättest auch [mm] f_a'(x)=0 [/mm] nach x auflösen können, und dann nachschauen (=errechnen), für welches a das errechnete x gleich a ist.

LG Angela

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