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Funktionsschar: 2. Winkelhalbierende& Tangente
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mi 29.02.2012
Autor: xedir

Aufgabe 1
c) Für welchen Wert des Parameters ist die 2. Winkelhalbierende Tangente des Graphen im Ursprung?


Aufgabe 2
d) Für welchen Wert des Parameters liegen die Extrempunkte auf der 2. Winkelhalbierenden?


Hallo Allerseits.
Folgende Funktionsschar ist gegeben: f[t](x) = x³ - 3t³ * x  mit t > 0

Bei den oben genannten Aufgaben kamen mir ein paar Zweifel, allgemeine Panik befiel mich... und dann wusste ich irgendwie gar nicht mehr weiter. Ich habe das ganze kurz zur Illustrierung in Geogebra dargestellt ( http://imageshack.us/photo/my-images/836/mathewg.jpg/ )
Mein Lösungsweg zu c) war, die Gleichung mit y=-x gleich zu setzen (-x = x³ - 3t³ * x ) und dann für t auf zu lösen. Als Ergebnis habe ich t = 3. Wurzel ((1/3 * x ²) + (1/3)). Für t eingesetzt ergibt es den blauen Graph der Zeichnung. => Ist das richtig, wenn nein warum nicht :(

Zu d) eine ähnliche Frage, mein Lösungsansatz war die Ableitung von f mit -x gleich zu setzen
( -x = 3x²-3t³) und als Lösung erhielt ich 3 = (3. Wurzel aus x² ) + ( 3. Wurzel aus (x / 3). Auch hier wieder die Frage, ist es richtig und zweitens, warum erfüllt der schwarze Graph der Zeichnung die gleichen Voraussetzungen wenn ich für t = 3. Wurzel aus ( x² + (x/3)) einsetze.

Vielen Dank wenn sie es bis hier hin durchgehalten haben. Ich weiß es sind bestimmt Fragen, bei denen man sich vor die Stirn hauen könne aber mein Mathelehrer ist krank und mir Fehlt leider der Lösungszettel für die Aufgaben. Am schlimmsten ist die Ungewissheit... :)

Achso... PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Funktionsschar: zu Aufgabe c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Mi 29.02.2012
Autor: Loddar

Hallo xedir,

[willkommenmr] !!


Deine Lösungen können nicht stimmen, da Du in Deinen Ergebnissen für $t_$ noch jeweils die Variable $x_$ enthalten hast.


Damit die 2. Winkelhalbierende $g(x) \ = \ -x$ eine Tangente im Ursprung sein kann, muss [mm] $f_t(x)$ [/mm] an dieser Stelle (nämlich [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$) dieselbe Steigung wie die Gerade haben.

Es muss also gelten:  [mm] $f_t'(0) [/mm] \ = \ g'(0)$ .


Gruß
Loddar


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Funktionsschar: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:08 Mi 29.02.2012
Autor: xedir

Okay, jetzt habe ich zwar (glaube ich) verstanden was Falsch ist. Stehe bei einer neuen "richtigen" Lösung aber total auf dem Schlauch, hast du vllt. einen Tipp für mich, ich blick da nicht mehr so richtig durch...

Bezug
                        
Bezug
Funktionsschar: Was hast Du gerechnet?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Mi 29.02.2012
Autor: Loddar

Hallo xedir!


Wie lautet [mm] $f_t'(x)$ [/mm] und damit auch [mm] $f_t'(0)$ [/mm] ?

Wie lautet $g'(x)$ und damit auch $g'(0)$ ?

Und welche Gleichung ergibt sich dann für [mm] $f_t'(0) [/mm] \ = \ g'(0)$ ?


Gruß
Loddar


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Bezug
Funktionsschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Mi 29.02.2012
Autor: xedir

Also für die Ableitung von [mm] f_{t} [/mm] habe ich [mm] 3\* x^{2} [/mm] - [mm] 3t^{3} [/mm]  für x=0 bleibt lediglich [mm] -3t^{3} [/mm] über oder?

Was ich für [mm] g_{x} [/mm] machen muss weiß ich nicht, muss ich da [mm] g_{x} [/mm] = -x ableiten ?


Danke schon mal für deine Hilfe

Bezug
                                        
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Funktionsschar: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Mi 29.02.2012
Autor: Loddar

Hallo xedir!



> Also für die Ableitung von [mm]f_{t}[/mm] habe ich [mm]3\* x^{2}[/mm] - [mm]3t^{3}[/mm]

[ok]

> für x=0 bleibt lediglich [mm]-3t^{3}[/mm] über oder?

[ok]


> Was ich für [mm]g_{x}[/mm] machen muss weiß ich nicht, muss ich da
> [mm]g_{x}[/mm] = -x ableiten ?

[ok] Richtig erkannt.


Gruß
Loddar


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Funktionsschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Mi 29.02.2012
Autor: xedir

Okay, (immerhin Erfolgserlebnisse hier)

dann hätte ich für
[mm] g_{x} [/mm] = -x  
$ g'(x) $= -1 und
für $ g'(0) $ = 0 heißt
$ g'(0) $ = $ f'(0) $
0 = [mm] 3\* t^{2} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Funktionsschar: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mi 29.02.2012
Autor: Loddar

Hallo xedir!


> dann hätte ich für
> [mm]g_{x}[/mm] = -x  
> [mm]g'(x) [/mm]= -1

[ok]

> und  für [mm]g'(0)[/mm] = 0

[notok] Nee. Wo kommt die 0 her?


>  [mm]g'(0)[/mm] = [mm]f'(0)[/mm]
>  0 = [mm]3\* t^{2}[/mm]  

[notok] Siehe oben.


Gruß
Loddar


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Bezug
Funktionsschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mi 29.02.2012
Autor: xedir

[mm] g_{x} [/mm] = -x  
$ g'(x) $= -1 und
für  $ g'(0) $ = -1 heißt  <=doofer Fehler -.-
$ [mm] f_t'(0) [/mm] \ = \ g'(0) $  
-1 = $ 3* [mm] t^{2} [/mm] $

Weiter in die Gleichung eingebaut macht das dann
-1 = 3 * [mm] t^{3} [/mm] | /3
[mm] -\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] t^{3} [/mm]    | [mm] \wurzel[3]{*} [/mm]
[mm] \wurzel[3]{(-\bruch{1}{3})} [/mm] = t

Bezug
                                                                        
Bezug
Funktionsschar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Mi 29.02.2012
Autor: MathePower

Hallo xedir,

> [mm]g_{x}[/mm] = -x  
> [mm]g'(x) [/mm]= -1 und
> für  [mm]g'(0)[/mm] = -1 heißt  <=doofer Fehler -.-
>  [mm]f_t'(0) \ = \ g'(0)[/mm]  
> -1 = [mm]3* t^{2}[/mm]
>  
> Weiter in die Gleichung eingebaut macht das dann
> -1 = 3 * [mm]t^{3}[/mm] | /3


Hier ist das "-" verlorengegangen:

[mm]-1 = \blue{-}3 *t^{3}[/mm]


>  [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]t^{3}[/mm]    | [mm]\wurzel[3]{*}[/mm]
>  [mm]\wurzel[3]{(-\bruch{1}{3})}[/mm] = t


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Funktionsschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Mi 29.02.2012
Autor: xedir

Oh Backe, der eine Fehler ist weg, kommt der nächste dumme (Fehler)...
Aber nimmt man
$ -1 = [mm] \blue{-}3 \cdot{}t^{3} [/mm] $
wäre der weitere Verlauf ja fast gleich,
statt der 3. Wurzel aus [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] zieht man jetzt die 3. Wurzel aus [mm] \bruch{1}{3} [/mm] wenn man sich den Term vereinfacht und mit (-1) multipliziert.
Nur, wie geht es jetzt weiter. Muss ich einfach t in die Gleichung vom Anfang einsetzen und dann hab ich das Ergebnis?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Funktionsschar: das Ergebnis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Mi 29.02.2012
Autor: Loddar

Hallo xedir!


Das ist das gesuchte Ergebnis.


Gruß
Loddar


PS: bitte stelle Rückfragen als Fragen und nicht als Mitteilung, danke.


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Funktionsschar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Mi 29.02.2012
Autor: leduart

Hallo
früher war mal [mm] f'(0)=-3t^3 [/mm] jetzt hast du das Vorzeichen verloren!
Aber  wnn du das noch korrigierst ist es richtig.
gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Funktionsschar: zu Aufgabe d.) [edit]
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mi 29.02.2012
Autor: Loddar

Hallo xedir!


Hier solltest Du zunächst die Extremwerte allgemein bestimmen; also [mm] $f_t'(x) [/mm] \ = \ 0$ .

Gesucht ist quasi die Ortskurve der Extrempunkte. Diese erhältst Du, indem Du die Gleichung [mm] $f_t'(x) [/mm] \ = \ 0$ nach $t \ = \ ...$ auflöst und anschließend in die Funktionsvorschrift einsetzt.

Setze die ermittelten Werte der Extremstellen in die Funktionsvorschrift ein.

Dieser Term soll dann am Ende $... \ = \ -x$ ergeben.


Gruß
Loddar


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Funktionsschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Mi 29.02.2012
Autor: xedir

Okay, vielen dank für die Hilde bei Aufgabe c). Teil d) ist mir aber z.T. noch ein Rätsel, ich habe jetzt
$ [mm] f_t'(x) [/mm] $ = 0
[mm] x^{2}=t^{3} [/mm]   | [mm] \wurzel[3]{*} [/mm]
[mm] \wurzel[3]{x^{2}} [/mm] = t
Jedoch weiß ich nicht, in welchen Term ich das jetzt einsetzen soll. In den Term der Gleichung? wäre das dann:
$ [mm] f_t(x) [/mm] $ = [mm] x^{3} [/mm] - ( 3 * [mm] (\wurzel[3]{x^{2}})^{3}) [/mm] * x
Da merke sogar ich, dass etwas nicht stimmt :P

Bezug
                        
Bezug
Funktionsschar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mi 29.02.2012
Autor: MathePower

Hallo xedir,

> Okay, vielen dank für die Hilde bei Aufgabe c). Teil d)
> ist mir aber z.T. noch ein Rätsel, ich habe jetzt
> [mm]f_t'(x)[/mm] = 0
> [mm]x^{2}=t^{3}[/mm]   | [mm]\wurzel[3]{*}[/mm]
>  [mm]\wurzel[3]{x^{2}}[/mm] = t
>  Jedoch weiß ich nicht, in welchen Term ich das jetzt
> einsetzen soll. In den Term der Gleichung? wäre das dann:
>  [mm]f_t(x)[/mm] = [mm]x^{3}[/mm] - ( 3 * [mm](\wurzel[3]{x^{2}})^{3})[/mm] * x
> Da merke sogar ich, dass etwas nicht stimmt :P


Setze die Extremwerte [mm]x_{E}[/mm] , die Du aus der Gleichung

[mm]x_{E}^{2}=t^{3}[/mm]

bekommst, in die Funktionsgleichung ein.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Funktionsschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Mi 29.02.2012
Autor: xedir

Genau da ist mein Problem, was von $ [mm] x_{E}^{2}=t^{3} [/mm] $ ist meine Lösung die ich in die Funktionsgleichung einsetzten soll, setze ich für t³ = x² ein erhalte ich
[mm] x^{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] x^{3} [/mm] das wäre doch nur für x = 0 richtig oder?

Bezug
                                        
Bezug
Funktionsschar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Mi 29.02.2012
Autor: MathePower

Hallo  xedir,

> Genau da ist mein Problem, was von [mm]x_{E}^{2}=t^{3}[/mm] ist
> meine Lösung die ich in die Funktionsgleichung einsetzten


Die Lösung ist in der Form [mm]x_{E}= \ ...[/mm]


> soll, setze ich für t³ = x² ein erhalte ich
>   [mm]x^{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]x^{3}[/mm] das wäre doch nur für x =
> 0 richtig oder?


Gruss
MathePower

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