Funktionsschar - Nullstellen? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:50 Fr 23.11.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktionsschar [mm] -kx^{3} +4x^2-kx-4. [/mm] |
Hallo nochmal
nach dem ich weiss wie ich das Symmetrieverhalten dieser Funktion ermitteln muss, brauche ich aber nochmal eure Hilfe im Bezug auf Nullstellenberechnung einer Funktionsschar eure Hilfe.
Wie muss ich bei dieser Funktion (auch generell von irgendeiner anderen Funktionsschar) die Nullstellen berechnen ?
Nullstellenberechnung von Funktionen lautet ja die Bedingung die Funktion gleich 0 zu setzen.
[mm] -kx^{3} +4x^2-kx-4 [/mm] = 0
[mm] -kx^{3} +4x^2-kx [/mm] = 4 ...Schön.... und jetzt????
1.Problem wie kriege ich den Exponent zu [mm] x^2 [/mm] , damit ich später dann somit die Nullstellen anhand der pq-Formel berechnen kann. Darf ich hier einfach das x ausklammern?
2. Was muss ich mit dem "k" machen? Ich sehe hier nichts mehr von möglicher Zusammenfassung/Vereinfachungen.
3. Frage: Müssen hier auch Fälle betrachtet werden? Also wie beim Symmetrieverhalten k > 0 und k = 0 und k < 0
Vielen dank schonmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Bist du dir sicher dass alle Rechenzeichen richtig sind?
Sollte der Term eventuell so lauten: [mm] $-kx^3+4x^2\red{+}kx-4$?
[/mm]
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Hallo betina,
bei Polynomen 3. Grades ist eine systematische Lösung ja ziemlich schwierig. Oft hilft es weiter, eine Nullstelle zu "raten", was meistens eher mit einem gewissen System geschieht.
Ansonsten braucht man manchmal etwas Geduld und einen guten "Blick" für den Aufbau des betreffenden Polynoms.
> Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktionsschar [mm]-kx^{3} +4x^2-kx-4.[/mm]
>
> nach dem ich weiss wie ich das Symmetrieverhalten dieser
> Funktion ermitteln muss, brauche ich aber nochmal eure
> Hilfe im Bezug auf Nullstellenberechnung einer
> Funktionsschar eure Hilfe.
>
> Wie muss ich bei dieser Funktion (auch generell von
> irgendeiner anderen Funktionsschar) die Nullstellen
> berechnen ?
Ich denke, dass man auf diese Frage keine Antwort geben kann.
> Nullstellenberechnung von Funktionen lautet ja die
> Bedingung die Funktion gleich 0 zu setzen.
>
> [mm]-kx^{3} +4x^2-kx-4[/mm] = 0
> [mm]-kx^{3} +4x^2-kx[/mm] = 4 ...Schön.... und jetzt????
Die letzte Umformung ist überhaupt nicht hilfreich.
Nebenbei: Liegt in der Aufgabe vielleicht ein Tippfehler vor? Nullstellen von [mm] -kx^3+4x^2-kx\blue{+}4 [/mm] wären viel leichter zu finden. 
> 1.Problem wie kriege ich den Exponent zu [mm]x^2[/mm] , damit ich
> später dann somit die Nullstellen anhand der pq-Formel
> berechnen kann. Darf ich hier einfach das x ausklammern?
Du kannst ausklammern, was auszuklammern ist. Hier kommst Du aber damit einer Lösung nicht näher.
> 2. Was muss ich mit dem "k" machen? Ich sehe hier nichts
> mehr von möglicher Zusammenfassung/Vereinfachungen.
Ich so auf Anhieb auch nicht.
> 3. Frage: Müssen hier auch Fälle betrachtet werden? Also
> wie beim Symmetrieverhalten k > 0 und k = 0 und k < 0
Vielleicht. Wer weiß?
Erst einmal braucht man doch überhaupt einen Ansatz.
Da gibt es zwei Möglichkeiten, soweit ich sehe.
Es genügt ja, eine einzige Nullstelle zu finden, die beiden anderen bekommt man nach Polynomdivision ja über die p-q-Formel.
1) Vielleicht gibt es eine ganzzahlige Nullstelle? Die kann nur bei [mm] \pm1, \pm2, \pm4 [/mm] liegen. Ausprobieren!
2) Wenn man im ersten Schritt nichts gefunden hat, kann man mal probieren, ob man für ein bestimmtes k (oder besser mehrere) Nullstellen ermitteln kann. Vielleicht ist da ja ein Bildungsschema zu erkennen. Bei der vorliegenden Funktion fängt man natürlich mit k=0 an...
So, jetzt bist Du wieder dran.
Und schau nochmal nach, ob das Polynom wirklich so stimmt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Fr 23.11.2012 | | Autor: | betina |
Hallo reverend und alle anderen
danke für den Hinweis wegen dem Tippfehler. Hier noch mal richtig: [mm] -kx^{3} +4x^2-kx+4.
[/mm]
Man verzeihe mir! Ich habe schon zich Internetseiten besucht - helfen mir aber leider nicht weiter.
Also reverend: Ich versuchs mal mit deinem 1. Vorschlag, die erste Nullstelle zu raten.
Los gehts mit dem ausprobieren mit der Zahl +1 für x einsetzten
Ich schreibs jetzt mal absolut schrittschenweise auf, falls ich irgendein Fehler mache:
f(x) = - [mm] kx^{3} +4x^2-kx+4
[/mm]
f(1) = [mm] -k*1^{3} +4*1^2-k*1+4
[/mm]
f(1) = - k + 4 * -k + 4 zusammenfassen
f(1) = - k * -k + 8
f(1) = - 2k + 8 aber hier bleibt ja jetzt kein x mehr übrig ...
- 2k + 8 = 0
[mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] = - 8 + 2k
Es ist ganz bestimmt falsch was ich da jetzt gemacht habe!!
HILFE!!!
Edit: Habe jetzt erst M.Rex antwort gesehen, kurz nach dem ich diese Frage abgesickt habe.
Also hier das nicht beachten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Fr 23.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo reverend und alle anderen
>
> danke für den Hinweis wegen dem Tippfehler. Hier noch mal
> richtig: [mm]-kx^{3} +4x^2-kx+4.[/mm]
>
> Man verzeihe mir! Ich habe schon zich Internetseiten
> besucht - helfen mir aber leider nicht weiter.
>
> Also reverend: Ich versuchs mal mit deinem 1. Vorschlag,
> die erste Nullstelle zu raten.
>
> Los gehts mit dem ausprobieren mit der Zahl +1 für x
> einsetzten
> Ich schreibs jetzt mal absolut schrittschenweise auf,
> falls ich irgendein Fehler mache:
> f(x) = - [mm]kx^{3} +4x^2-kx+4[/mm]
> f(1) = [mm]-k*1^{3} +4*1^2-k*1+4[/mm]
>
> f(1) = - k + 4 * -k + 4 zusammenfassen
> f(1) = - k * -k + 8
> f(1) = - 2k + 8 aber hier bleibt ja jetzt kein x mehr
> übrig ...
>
> - 2k + 8 = 0
> [mm]x_1[/mm] , [mm]x_2[/mm] = - 8 + 2k
>
> Es ist ganz bestimmt falsch was ich da jetzt gemacht
> habe!!
Ja ist es. Du suchst Nullstellen, und 1 ist offensichtlich keine. Damit hast du nur gezeigt, dass die 1 keine Nullstelle ist.
>
> HILFE!!!
>
Nimm mal den Weg des Ausklammerns, den ich dir gezeigt habe:
Hier also:
$ [mm] f_{k}(x)=-kx^{3} +4x^2-kx+4 [/mm] $
$ [mm] f_{k}(x)=-kx(x^{2}+1)+4(x^2+1) [/mm] $
$ [mm] f_{k}(x)=(4-kx)\cdot(x^{2}+1) [/mm] $
Nun bist du wieder dran. Überlege mal, wann ein Produkt zu Null wird.
Die Lösung (hier gibt es nur eine Nullstelle) hättest man mit "Erraten" auch nie gefunden.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Fr 23.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nehmen wir mal die Korrektur [mm] f_{k}(x)=-kx^3+4x^2\red{+}kx-4
[/mm]
Dann kannst du umformen:
[mm] f_{k}(x)=-kx^3+4x^2\red{+}kx-4
[/mm]
[mm] =kx-kx^3+4x^2-4
[/mm]
[mm] =kx(1-x^2)+4(x^2-1)
[/mm]
[mm] =kx(1-x^2)-4(-x^2+1)
[/mm]
[mm] =kx(1-x^2)-4(1-x^2)
[/mm]
[mm] =(kx-4)\cdot(1-x^2)
[/mm]
Nun kannst du die Nullstellen über das zu Null werdende Produkt wunderbar finden.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Fr 23.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo
>
> Nehmen wir mal die Korrektur
> [mm]f_{k}(x)=-kx^3+4x^2\red{+}kx-4[/mm]
Das war dann wohl die falsche Korrektur, aber der Weg führt zum Ziel, dazu mal meine andere Antwort.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 23.11.2012 | | Autor: | betina |
Wenn einer der Fakoren Null wird.
[mm] =(kx-4)\cdot(1-x^2) [/mm]
Wenn ich für x eine 1 in die 2. Klammer einsetzte wird der Term in der Klammer zu 0 und wenn ich dann die zweite Klammer (die ja dann Null) mit der ersten Klammer (kx-4) multipliziere dann wird das auch zu Null.
[mm] =(kx-4)\cdot(1-x^2) [/mm]
[mm] =(kx-4)\cdot(1-1^2) [/mm]
[mm] =(kx-4)\cdot(0) [/mm]
= 0
Heisst das, dass ich wenn ich für [mm] x^2 [/mm] eine Doppelte Nullstelle bei [mm] x_1 [/mm] = 1 und [mm] x_2 [/mm] = 1 habe?
Was sagst du/ihr dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Fr 23.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wenn einer der Fakoren Null wird.
Ja.
> [mm]=(kx-4)\cdot(1-x^2)[/mm]
>
> Wenn ich für x eine 1 in die 2. Klammer einsetzte wird der
> Term in der Klammer zu 0 und wenn ich dann die zweite
> Klammer (die ja dann Null) mit der ersten Klammer (kx-4)
> multipliziere dann wird das auch zu Null.
>
> [mm]=(kx-4)\cdot(1-x^2)[/mm]
> [mm]=(kx-4)\cdot(1-1^2)[/mm]
> [mm]=(kx-4)\cdot(0)[/mm]
> = 0
>
> Heisst das, dass ich wenn ich für [mm]x^2[/mm] eine Doppeltstelle
> für [mm]x_1[/mm] = 1 und [mm]x_2[/mm] = 1
>
> Was sagst du/ihr dazu?
Das ist falsch, aus 1-x²=0 würden zwei Lösungen folgen. Aber, wir haben die falsche Funktion. In einer anderen Antwort hast du gezeigt, dass 1 keine Nullstelle ist, denn [mm] f_{k}(1)\ne0 [/mm] Daran hat sich durch das Ausklammern auch nichts geändert.
Da sind wir von der falschen Korrektur ausgegangen.
[mm] f_{k}(x)=-kx^{3}+4x²-kx+4=(4-kx)\cdot(x^{2}+1) [/mm] $
Nun nichts einsetzen oder herumraten, sondern die beiden Gleichungen $4-kx=0$ und [mm] $x^2+1=0$ [/mm] (je nach x) lösen, um die Nullstellen zu ermitteln, hier gibt es nur eine, die von k abhängig ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Fr 23.11.2012 | | Autor: | betina |
4-kx=0
-kx= - 4
x= [mm] \bruch{- 4}{-k}
[/mm]
x = [mm] \bruch{4}{k} [/mm] Hier bin ich mir leider sehr unsicher
[mm] x^2+1=0
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] = -1
x = [mm] \wurzel{-1} [/mm] Aber aus einer negativen Zahl darf/kann ich doch keine Wurzel ziehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Fr 23.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 4-kx=0
> -kx= - 4
> x= [mm]\bruch{- 4}{-k}[/mm]
> x = [mm]\bruch{4}{k}[/mm] Hier bin ich mir
> leider sehr unsicher
Das ist ok.
>
>
> [mm]x^2+1=0[/mm]
> [mm]x^2[/mm] = -1
> x = [mm]\wurzel{-1}[/mm] Aber aus einer negativen Zahl darf/kann
> ich doch keine Wurzel ziehen
Eben, und genau darum gibt es ja nur eine Nullstelle, die von k abhängig ist, da nur der erste Faktor Null werden kann.
P.S. [mm] $\sqrt{n^{2}}=\pm [/mm] n$, vergiss die zweite Lösung beim Wurzelziehen nicht. Hier ist es irrelevant, da [mm] \sqrt{-1} [/mm] - zumindest in [mm] \IR [/mm] - nicht definiert ist.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 23.11.2012 | | Autor: | betina |
Heisst das, dass das schon die Berechnung der Nullstellen schon fertig ist?
Als Ergebnis kommt nur eine Nullstelle heraus und das ist [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{4}{k} [/mm] gibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Fr 23.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Heisst das, dass das schon die Berechnung der Nullstellen
> schon fertig ist?
>
> Als Ergebnis kommt nur eine Nullstelle heraus und das ist
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{4}{k}[/mm] gibt?
>
So ist es.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 23.11.2012 | | Autor: | betina |
Cool! Ist ja doch nicht so schrecklich wie ich gedacht habe!
Ein riesiges + [mm] \infty [/mm] Dankeschön für deine Schrittchenweise Erklärungen und Rechenschritte
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