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| Aufgabe | | Wie sehen die NS von [mm] X^4+2 [/mm] aus und wie sieht die Galoisgruppe von [mm] L/\IQ [/mm] aus mit L Zerfällungskörper dieses Polynoms? |
Hallo!
Die Nullstellen sind: [mm] \pm \wurzel[4]{-2} [/mm] und [mm] \pm [/mm] i [mm] \wurzel[4]{-2}. [/mm] Richtig?
Und die Galoisgruppe müsste 8 Elemente enthalten, da:
[mm] [\IQ(\wurzel[4]{2}),i] [/mm] = [mm] [\IQ(i):\IQ(\wurzel[4]{2})]*[\IQ(\wurzel[4]{2}):\IQ]=2*4=8
[/mm]
Dann müsste man die Minimalpolynome von [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) [/mm] und [mm] \IQ(i) [/mm] betrachten, also [mm] X^4-2 [/mm] und [mm] X^2+1 [/mm] und die Nullstellen der Minimalpolynome auf sich abbilden:
[mm] \sigma_1: \wurzel[4]{2} \to \wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] \sigma_2: \wurzel[4]{2} \to [/mm] - [mm] \wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] \sigma_3: \wurzel[4]{2} \to [/mm] i [mm] \wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] \sigma_4: \wurzel[4]{2} \to [/mm] -i [mm] \wurzel[4]{2}
[/mm]
und
[mm] \tau_1: [/mm] i [mm] \to [/mm] i
[mm] \tau_2: [/mm] i [mm] \to [/mm] -i
Hab ich so weit richtig gedacht?
Wenn ja, müsste man doch jetzt die [mm] \sigma_i [/mm] und die [mm] \tau_j [/mm] miteinander verknüpfen und würde die 2*4=8 Elemente der Galoisgruppe erhalten. Richtig?
Es wäre toll, wenn jemand mal schauen könnte, ob ich auf dem richtigen Weg bin ^^
Liebe Grüße, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Sa 03.09.2016 | | Autor: | kai1992 |
> Wie sehen die NS von [mm]X^4+2[/mm] aus und wie sieht die
> Galoisgruppe von [mm]L/\IQ[/mm] aus mit L Zerfällungskörper dieses
> Polynoms?
> Hallo!
>
> Die Nullstellen sind: [mm]\pm \wurzel[4]{-2}[/mm] und [mm]\pm[/mm] i
> [mm]\wurzel[4]{-2}.[/mm] Richtig?
>
Richtig.
> Und die Galoisgruppe müsste 8 Elemente enthalten, da:
> [mm][\IQ(\wurzel[4]{2}),i][/mm] =
> [mm][\IQ(i):\IQ(\wurzel[4]{2})]*[\IQ(\wurzel[4]{2}):\IQ]=2*4=8[/mm]
>
Richtig, aber ich finde immer, das sollte man ein bisschen begründen (Gradformel, warum ist das, was du hingeschrieben hast Zerfällungskörper usw.)
> Dann müsste man die Minimalpolynome von [mm]\IQ(\wurzel[4]{2})[/mm]
> und [mm]\IQ(i)[/mm] betrachten, also [mm]X^4-2[/mm] und [mm]X^2+1[/mm] und die
> Nullstellen der Minimalpolynome auf sich abbilden:
> [mm]\sigma_1: \wurzel[4]{2} \to \wurzel[4]{2}[/mm]
> [mm]\sigma_2: \wurzel[4]{2} \to[/mm]
> - [mm]\wurzel[4]{2}[/mm]
> [mm]\sigma_3: \wurzel[4]{2} \to[/mm] i [mm]\wurzel[4]{2}[/mm]
> [mm]\sigma_4: \wurzel[4]{2} \to[/mm] -i [mm]\wurzel[4]{2}[/mm]
> und
> [mm]\tau_1:[/mm] i [mm]\to[/mm] i
> [mm]\tau_2:[/mm] i [mm]\to[/mm] -i
>
> Hab ich so weit richtig gedacht?
Hast du, aber wir haben immer nur vom Minimalpolynom von [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] bzw. von i und nicht vom Minimalpolynom von [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) [/mm] bzw. von [mm] \IQ(i) [/mm] gesprochen.
>
> Wenn ja, müsste man doch jetzt die [mm]\sigma_i[/mm] und die [mm]\tau_j[/mm]
> miteinander verknüpfen und würde die 2*4=8 Elemente der
> Galoisgruppe erhalten. Richtig?
Müsste man, ja. In diesem Fall geht es aber einfacher. Ihr hattet doch sicher einen Satz, dass die Automorphismengruppe (also hier die Galoisgruppe) isomorph ist zu einer Untergruppe der [mm] S_{n}, [/mm] wobei n der Grad eines nicht konstanten Polynoms ist?  In diesem Falle gibt es dann nur eine Möglichkeit.
>
> Es wäre toll, wenn jemand mal schauen könnte, ob ich auf
> dem richtigen Weg bin ^^
> Liebe Grüße, Lily
Liebe Grüße zurück
PS: Sorry für die vielen Bearbeitungen im Verlauf, war keine Absicht...
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Vielen Dank für deine Antwort!
> > Wie sehen die NS von [mm]X^4+2[/mm] aus und wie sieht die
> > Galoisgruppe von [mm]L/\IQ[/mm] aus mit L Zerfällungskörper dieses
> > Polynoms?
> > Und die Galoisgruppe müsste 8 Elemente enthalten, da:
> > [mm][\IQ(\wurzel[4]{2}),i][/mm] =
> > [mm][\IQ(i):\IQ(\wurzel[4]{2})]*[\IQ(\wurzel[4]{2}):\IQ]=2*4=8[/mm]
> >
>
> Richtig, aber ich finde immer, das sollte man ein bisschen
> begründen (Gradformel, warum ist das, was du
> hingeschrieben hast Zerfällungskörper usw.)
Achso ja, das ist Zerfällungskörper, weil darüber das Polynom [mm] x^4+2 [/mm] vollständig in Linearfaktoren zerfällt, da man durch die Adjunktionen die Nullstellen darstellen kann.
Außerdem wissen wir, dass der Grad der Körpererweiterung mit der Ordnung der Galoisgruppe übereinstimmt, wenn die Körpererweiterung endlich ist, daher kann man aus dieser Gleichung schließen, dass die Galoisgruppe 8 Elemente haben muss.
>
> > Dann müsste man die Minimalpolynome von [mm]\IQ(\wurzel[4]{2})[/mm]
> > und [mm]\IQ(i)[/mm] betrachten, also [mm]X^4-2[/mm] und [mm]X^2+1[/mm] und die
> > Nullstellen der Minimalpolynome auf sich abbilden:
> > [mm]\sigma_1: \wurzel[4]{2} \to \wurzel[4]{2}[/mm]
> > [mm]\sigma_2: \wurzel[4]{2} \to[/mm]
> > - [mm]\wurzel[4]{2}[/mm]
> > [mm]\sigma_3: \wurzel[4]{2} \to[/mm] i [mm]\wurzel[4]{2}[/mm]
> > [mm]\sigma_4: \wurzel[4]{2} \to[/mm] -i [mm]\wurzel[4]{2}[/mm]
> > und
> > [mm]\tau_1:[/mm] i [mm]\to[/mm] i
> > [mm]\tau_2:[/mm] i [mm]\to[/mm] -i
> >
> > Hab ich so weit richtig gedacht?
>
> Hast du, aber wir haben immer nur vom Minimalpolynom von
> [mm]\wurzel[4]{2}[/mm] bzw. von i und nicht vom Minimalpolynom von
> [mm]\IQ(\wurzel[4]{2})[/mm] bzw. von [mm]\IQ(i)[/mm] gesprochen.
Hm, den Unterschied in diesem Zusammenhang verstehe ich noch nicht ganz. Also die hier genannten Minimalpolynome haben in [mm] \IQ [/mm] keine Nullstelle, aber in den Zerfällungskörpern. Was muss ich noch beachten?
>
> >
> > Wenn ja, müsste man doch jetzt die [mm]\sigma_i[/mm] und die [mm]\tau_j[/mm]
> > miteinander verknüpfen und würde die 2*4=8 Elemente der
> > Galoisgruppe erhalten. Richtig?
>
> Müsste man, ja. In diesem Fall geht es aber einfacher. Ihr
> hattet doch sicher einen Satz, dass die
> Automorphismengruppe (also hier die Galoisgruppe) isomorph
> ist zu einer Untergruppe der [mm]S_{n},[/mm] wobei n der Grad eines
> nicht konstanten Polynoms ist? In diesem Falle gibt es
> dann nur eine Möglichkeit.
>
Nach gründlichem Suchen habe ich nur gefunden, dass [mm] Aut(\mu_n) [/mm] isomorph zu [mm] (\IZ/n\IZ)^x [/mm] ist mit [mm] \mu_n [/mm] die Gruppe der Einheitswurzeln im n-ten Kreisteilungskörper. Den von dir genannten Satz habe ich nicht gefunden.
Wäre das dann hier [mm] S_4, [/mm] da [mm] x^4+2 [/mm] ein Minimalpolynom mit Grad 4 ist?
Aber um das Prinzip zu verstehen würde ich gerne noch den langen Weg gehen. Leider komm ich da nicht so recht weiter:
[mm] \sigma_1*\tau_1: [/mm] id
[mm] \sigma_i*tau_1: \sigma_i [/mm] (i=2,3,4)
[mm] \sigma_1*\tau_2: [/mm] i [mm] \wurzel[4]{2} \to [/mm] -i [mm] \wurzel[4]{2}
[/mm]
[mm] \sigma_2*\tau_2: [/mm] i [mm] \wurzel[4]{2} \to [/mm] (-i) (- [mm] \wurzel[4]{2}) [/mm] = i [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] [/mm] also wieder id
[mm] \sigma_3*\tau_2: [/mm] i [mm] \wurzel[4]{2} \to -i^2 \wurzel[4]{2} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{2}[/mm]
[/mm]
[mm] \sigma_4*\tau_2: [/mm] i [mm] \wurzel[4]{2} \to (-i)^2 \wurzel[4]{2} [/mm] = - [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] [/mm]
Aber dann sind es ja nur 7!
Irgendwas mache ich falsch! Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 12.09.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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